333
A/l2-r2
圆台
S侧=兀Hi+r2）1
1一r—1
V=~（S±+S下+寸S上序）h=吊
33
d+r2+r1「2）h
直棱柱
S侧=Ch
V=Sh
正棱锥
-1,
S侧=§Ch
1V=-Sh
3
正棱台
S侧=2（C+C）h'
V=1（S上+S下+4S上Sr）h
球
-,一2
S球面=4tiR
43
V=三求3
3
2.几何体的表面积
（1）棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和.
（2）圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环形；它们的表面积等丁侧面积与底面面积之和.
^=助喜感炸
两种方法
.…
（1）限m环gw白更!
■仓作叫理凶力:
汰，…二皂1内切,一一二也1处按:
…限题1■坚认………一.殳分折图形2…明速切乂如按丈怛仗茸?
一…一仰正句天无一困网的燹苹关一系一，一一…一为作也会道..的成也贸?
一…如球内以工正方性?
一一…切一点&正方佐各仝皿的一中心一2一…一一正方北也棱长笠J_.球也互彳至;…一球外接亍正力性一,…一正方体的顶点为在球皿上2…一一正方体的体对角一线长笠一.壬球此直径:
…一球，旋招体珂组合一,一…一迥宣作它一们顶，剑截回进行解魁一，……球m多皿体的.组一合一，…通过多画体的二条侧拔*口球心或一一…一一:
:
切点一”…、…―:
接点:
一一作用戒回图：
…一
02
（2）笠俎法;…笠积法包括笠回积法也笠伐想法二…笠班项勺项提是几何罔形（或几位体）的也积一（或体枳）通过目如条件可以得ilk一…利用笠枳法可以一用咪逑链几何罔形的…一.肓或几何体的一宣,一…特划是任丞三角应敢有和三校锥的匝:
……这二方法回遮了具体;1一.过作阁很到二角形…（或三棱锥一面也…而厘过口接让篡径到何一的数值:
……一
KAOXlANGTANJIUDAOXI
泳考向探究导析
考向一几何体的表面积
【例1】?
（2011安徽）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积
（）•
A.48
B.32+^17
D.80
C.48+8而
［审题视点］由三视图还原几何体，把图中的数据转化为几何体的尺寸计算表面
积.
解析换个视角看问题，该几何体可以看成是底面为等腰梯形，高为4的直棱柱,且等腰梯形的两底分别为2,4,高为4,故腰长为V17,所以该几何体的表面积为48+8面.
答案C
方诱总蜻》以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进
行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素问的位置关系及数量关系.
【训练1】若
）•
B.2
D.6
个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，则其侧面积等丁
A.3
C.2\[3
解析由正视图可知此三棱柱是一个底面边长为2的正三角形、侧棱为1的直三
棱柱，则此三棱柱的侧面积为2X1X3=6.
答案D
考向二几何体的体积
【例2】？
（2011广东）如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，贝U该几何体的体积为（）.
B.
123C.93
［审题视点］根据三视图还原几何体的形状，根据图中的数据和几何体的体积公
式求解.
解析该几何体为一个斜棱柱，其直观图如图所示，由题知该几何体的底面是边
长为3的正方形，高为寸3,故V=3x3X寸3=W3.
答案C
方喘总蜻力以三视图为载体考查几何体的体积，解题的关键是根据三视图想象原
几何体的形状构成，并从三视图中发现几何体中各元素问的位置关系及数量关系，然后在直观图中求解.
【训练2】（2012东莞模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等
丁（）•
28
A—攵3
解析由三视图可知，该几何体是底面半径为2,高为2的圆柱和半径为1的球
的组合体，则该几何体的体积为兀x22x2+4U28兀.
33
答案A
考向三几何体的展开与折叠
【例3】？
（2012广州模拟）如图1,在直角梯形ABCD中，ZADC=90°,CD//AB,AB=4,AD=CD=2,将AADC沿AC折起，使平■面ADCL平面ABC,得到几何体DABC,如图2所示.
⑴求证：
BCL平面ACD;
（2）求几何体DABC的体积.
［审题视点］
（1）利用线面垂直的判定定理，证明BC垂直丁平■面ACD内的两条相
交线即可；
（2）利用体积公式及等体积法证明.
（1）证明在图中，可得AC=BC=2艘,
从而AC2+BC2=AB2,故AC±BC,取AC的中点O,连接DO,
WJDO±AC,乂平面ADCL平面ABC,平面ADCA平面ABC=AC,DO?
平面
ADC,从而DOL平面ABC,..DO±BC,
乂AC±BC,ACADO=O,..BCL平面ACD.
⑵解由⑴可知，BC为三棱锥BACD的高，BC=2也，、△ACD=2,•,-Vbacd=
1-1c…4,2
-S^AACDBC=^X2X2寸2=^-,
333
由等体积性可知，几何体DABC的体积为432
（1）有关折叠问题，一定要分活折叠前后两图形（折前的平■面图形和折叠
后的空间图形）各元素问的位置和数量关系，哪些变，哪些不变.
（2）研究几何体表面上两点的最短距离问题，常选择恰当的母线或棱展开，转化
为平■面上两点间的最短距离问题.
【训练3】已知
在直三棱柱ABCAiBiCi中，底面为直角三角形，ZACB=90°,AC=6,BC=CCi=曲，P是BCi上一动点，如图所示，MCP+PAi的最小值为.
解析RAi在平■面AiBCi内，PC在平■面BCCi内，将其铺平后转化为平■面上的问
题解决.计算AiB=ABi=寸40,BCi=2,乂AiCi=6,故AAiBCi是ZAiCiB=90°
的直角三角形.铺平■平■面AiBCi、平面BCCi,如图所示.
CP+FAi>AiC.
在MCiC中，由余弦定理得
AiC=/62+（V2f—26也cosi35=何=5枳，故（CP+FAi）min=^2.
答案5.2
考向四转换法——等体积法
能很容易的求出其高和底面△AMN的面积，从而代入公式求解.
解：
1111112313
VaJMNP=Vp上MN=—$△A1MNh=,X—AMANA\P—3—a~a=切a-
3323223424
评注：
转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平■面距离的一个理论依据.
考向五分割法
分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几
何体的体积之比时经常要用到分割法.
例5如图2,在三棱柱ABC—A1B1C1中，E,F分别为AB,AC的中点，平面EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比.
分析：
截面EB1C1F将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台
AEF-AB1C1;另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱
柱的体积减去棱台的体积求得.
解：
设棱柱的底面积为S,高为h,其体积V=Sh.
则三角形AEF的面积为-S.
4
…1S八S7八
由于Vaef^bc=一,h，.—+S+—=—Sh,
-7一5一
=Sh-一Sh=—Sh,
1212
AEFFG34212
则剩余不规则几何体的体积为V,=V-VAEFABCi
AEF-^A|B1C1
所以两部分的体积之比为Vaefybq：
V'=7:
5.
评注：
在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算.
H*KAOTlZHUAIMXdAM^rLJPD・・■・—・・
03冷考题专项突破
难点突破17——空间几何体的表面积和体积的求解
空间几何体的表面积和体积计算是高考的一个常见考点，解决这类问题，首先要
熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如
把不规则几何体分割成几个规则几何体的技巧、把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧、对旋转体作其轴截面的技巧、通过方程或方程组求解的技巧等，这是化解空间几何体面积和体积计算难点的关键.
【示例1】?
（2010安徽）一个几何体的三视图如图，该几何体的表面积为
（）•
IIm—6——I.6—
正（主]推图测（左）视图
偏视周
A.280B.292C.360D.372
♦想象该几何体的形状及构成
•该几何体是由两个长方体组合成的
表面积S=（10X8+8X2+1□乂幻X2+：
^（6X8+2X8）X,2=3龄・选C
「末惠葛复携D；源画是拒亟香彼南蔑赢而葩丽“I积也算进去了
【示例2]?
（2011全国新课标）已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的金，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为.
乂h=2无=2\j~iS,•-S圆柱侧=（^flS）2=4S.
答案A
2.（2012东北三校联考）设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）.
A.3探B.6探C.12：
a2D.24探
解析由丁长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,则长方体的体对角线长为
t（2af+a2+a2=J6a.乂长方体外接球的直径2R等丁长方体的体对角线，二2R=寸6a...S球=4R=6着.
答案B
3.（2011北京）某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是
（）•
A.8B.62
C.10D.82
解析由三视图可知，该几何体的四个面都是直角三角形，面积分别为6,6/2,8,10，所以面积最大的是10,故选择C.
答案C
4.
（2011湖南）设
99
A.2Tt+12B.^^+18
C.9计42D.36计18
解析该几何体是由一个球与一个长方体组成的组合体，球的直径为3,长方体
的底面是边长为3的正方形，高为2,故所求体积为2X32+3兀¥）=2^+18.答案B
5.若一个球的体积为4®,则它的表面积为.
解析V=£R=4寸3兀，..R=寸3,S=4R=4兀日12兀.3
答案12兀
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