《复合函数的导数》参考教案.doc

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课题：

复合函数的导数

（1）

教学目的：

1.理解，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律．

教学重点：

复合函数的求导法则的概念与应用

教学难点：

复合函数的求导法则的导入与理解

授课类型：

新授课

课时安排：

1课时

教具：

多媒体、实物投影仪

内容分析：

  复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点.要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解

教学过程：

一、复习引入：

1.常见函数的导数公式：

；；；

2.法则1　．

法则2,

法则3

二、讲解新课：

1.复合函数:

由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u称为中间变量．

2.求函数的导数的两种方法与思路：

方法一：

；

方法二：

将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下：

，

两个导数相乘，得

，

从而有

对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y′x时，就可以转化为求yu′和u′x的乘积，关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同.

3.复合函数的导数：

设函数u=（x）在点x处有导数u′x=′（x），函数y=f（u）在点x的对应点u处有导数y′u=f′（u），则复合函数y=f（（x））在点x处也有导数，且或f′x（（x））=f′（u）′（x）.

证明：

（教师参考不需要给学生讲）

设x有增量Δx，则对应的u，y分别有增量Δu，Δy，因为u=φ（x）在点x可导，所以u=（x）在点x处连续.因此当Δx→0时，Δu→0.

当Δu≠0时，由.且.

∴

即（当Δu＝0时，也成立）

4.复合函数的求导法则

复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数

5.复合函数求导的基本步骤是：

分解——求导——相乘——回代．

三、讲解范例：

例1试说明下列函数是怎样复合而成的？

⑴；⑵；

⑶；⑷．

解：

⑴函数由函数和复合而成；

⑵函数由函数和复合而成；

⑶函数由函数和复合而成；

⑷函数由函数、和复合而成．

说明：

讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．

例2写出由下列函数复合而成的函数：

⑴，；　　⑵，．

解：

⑴；⑵．

例3求的导数．

解：

设，，则

　　　　．

注意：

在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数.有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导.

例4求f（x）=sinx2的导数.

解：

令y=f（x）=sinu;u=x2

∴=（sinu）′u·（x2）x′=cosu·2x=cosx2·2x=2xcosx2

∴f′（x）=2xcosx2

例5求y=sin2（2x+）的导数.

分析:

设u=sin（2x+）时，求u′x，但此时u仍是复合函数，所以可再设v=2x+.

解：

令y=u2，u=sin（2x+），再令u=sinv，v=2x+

∴=y′u（u′v·v′x）

∴y′x=y′u·u′v·v′x=（u2）′u·（sinv）′v·（2x+）′x

=2u·cosv·2=2sin（2x+）cos（2x+）·2

=4sin（2x+）cos（2x+）=2sin（4x+）

即y′x=2sin（4x+）

例6求的导数.

解：

令y=，u=ax2+bx+c

∴=（）′u·（ax2+bx+c）′x=·（2ax+b）

=（ax2+bx+c）（2ax+b）=

即y′x=

例7求y=的导数.

解：

令

∴=（）′u·（）′x

即y′x=－

例8求y=sin2的导数.

解：

令y=u2，u=sin，再令u=sinv，v=

∴·v′x=（u2）′u·（sinv）′v·（）′x

=2u·cosv·=2sin·cos·=－·sin

∴y′x=－sin

例9求函数y=（2x2－3）的导数.

分析:

y可看成两个函数的乘积，2x2－3可求导，是复合函数，可以先算出对x的导数.

解：

令y=uv，u=2x2－3，v=,令v=，ω=1+x2

=（1+x2）′x

=

∴y′x=（uv）′x=u′xv+uv′x

=（2x2－3）′x·+（2x2－3）·

=4x

即y′x=

四、课堂练习：

1．求下列函数的导数（先设中间变量，再求导）.

（1）y=（5x－3）4

（2）y=（2+3x）5（3）y=（2－x2）3 （4）y=（2x3+x）2

解：

（1）令y=u4，u=5x－3

∴=（u4）′u·（5x－3）′x=4u3·5=4（5x－3）3·5=20（5x－3）3

（2）令y=u5，u=2+3x

∴=（u5）′u·（2+3x）′x=5u4·3=5（2+3x）4·3=15（2+3x）4

（3）令y=u3，u=2－x2

∴=（u3）′u·（2－x2）′x

=3u2·（－2x）=3（2－x2）2（－2x）=－6x（2－x2）2

（4）令y=u2，u=2x3+x

∴=（u2）′u·（2x3+x）′x

=2u·（2·3x2+1）=2（2x3+x）（6x2+1）=24x5+16x3+2x

2.求下列函数的导数（先设中间变量，再求导）（n∈N*）

（1）y=sinnx

（2）y=cosnx（3）y=tannx（4）y=cotnx

解：

（1）令y=sinu，u=nx

=（sinu）′u·（nx）′x=cosu·n=ncosnx

（2）令y=cosu，u=nx

=（cosu）′u·（nx）′x=－sinu·n=－nsinnx

（3）令y=tanu，u=nx

=（tanu）′u·（nx）′x=（）′u·n

=·n==n·sec2nx

（4）令y=cotu，u=nx

=（cotu）′u·（nx）′x=（）′u·n

=·n=－·n=－=－ncsc2nx

五、小结：

⑴复合函数的求导，要注意分析复合函数的结构，引入中间变量，将复合函数分解成为较简单的函数，然后再用复合函数的求导法则求导；⑵复合函数求导的基本步骤是：

分解——求导——相乘——回代

六、课后作业：



七、板书设计（略）

八、课后记：

7/7