杭州中考数学二次函数的综合题试题.docx
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杭州中考数学二次函数的综合题试题
2020-2021杭州中考数学二次函数的综合题试题
一、二次函数
1.如图，抛物线y=x2-mx-（m+1）与x轴负半轴交于点A（xb0）,与x轴正半轴交于点B（x2,0）（OAvOB）,与y轴交于点C,且?
t足xi2+x22-xix2=13.
（1）求抛物线的解析式；
（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作RtABCD）,CD交抛物线于第四象限的点E,若EC
=ED,求点E的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点Q,使得S>Aacq=2S\aoc?
若存在，求出点Q的坐标；若不存
在，说明理由.
【答案】
（1）y=x2-2x-3;
（2）E点坐标为（1屈,-1屈）;（3）点Q的坐
标为（-3,12）或（2,-3）.理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）由根与系数的关系可得x〔+x2=m,x1？
x2=-（m+1）,代入x12+x22-x1x2=13,求出m1=2,m2=-5.根据OAvOB,得出抛物线白^对称轴在y轴右侧，那么m=2,即可确定抛物线的解析式；
1
（2）连接BE、OE.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE=-CD=CE,利
2
用SSS证明△OB®4OCE得出/BOE=/COE即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m,-m）,代入y=x2-2x-3,求出m的值，即可得到E点坐标；
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,根据三角形的面积公式可得Saaca
Saacf.由Saacq=2Saaoc,得出Saac『2Saaoc,那么AF=2OA=2,F（1,0）.利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=-3x-3.根据AC//FQ,可设直线FQ的解析式为y=-3x+b,将F（1,0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y=-3x+3,把它与抛
2
物线的解析式联立，得出方程组yxx，求解即可得出点Q的坐标.
y3x3
【详解】
（1）,「抛物线y=x2-mx-（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0）,与x轴正半轴交于点B（加，0）,
••x1+x2=m,x1？
x2=一（m+1）,
・・22
・X1+x2—X1X2=13,（X1+X2）2—3X1X2=13,
m2+3（m+1）=13,
即m2+3m—10=0,解得m1=2,m2=-5.
.OAvOB,
，抛物线的对称轴在y轴右侧，
m=2,
，抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
（2）连接BE、OE.
•.在Rt^BCD中，ZCBD=90；EC=ED,
一1一—BE=—CD=CE.
2
令y=x2-2x-3=0,解得X1=—1,x2=3,
••A（T,0）,B（3,0）,
•C（0,-3）,
.•.OB=OC,
又..BE=CE,OE=OE,
.-.△OBE^AOCE（SSS,
/BOE=/COE
・••点E在第四象限的角平分线上，
设E点坐标为（m,—m）,将E（m,—m）代入y=x2-2x-3,
得m=m2-2m-3,解得m=1-Y13,
2
3）；
2
•・•点E在第四象限，
・•・E点坐标为（1而
2
（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F,连接CF,则SAacaSaacf.
Saac『2S\aog
.•.AF=2OA=2,
.•.F（1,0）.
-A（—1,0）,C（0,—3）,
「•直线AC的解析式为y=-3x-3.
1.AC//FQ,
「•设直线FQ的解析式为y=-3x+b,
将F（1,0）代入，得
0=-3+b,解得b=3,
•・・直线FQ的解析式为
y=-3x+3.
x22x3
3x
解得
小
3
12'
X2
V2
2
3'
.••点Q的坐标为
3,12）或（2,-3）.
【点睛】
本题是二次函数综合题，其中涉及到
二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析
式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中.利用数形结合与方程思想是解题的关键.
2.如图，抛物线y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
⑴求点A、B、C的坐标；
（2）点M（m,0）为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线
AC交于点E,与抛物线交于点P,过点P作PQ//AB交抛物线于点Q,过点Q作QN^x轴于点N,可得矩形PQNM.如图，点P在点Q左边，试用含m的式子表示矩形PQNM的周长；
（3）当矩形PQNM的周长最大时，m的值是多少？
并求出此时的4AEM的面积；
（4）在（3）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ,过抛物线上一点F作y轴的平
行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）.若FG=2&DQ,求点F的坐标.
PMNQ的周长=-
2m2—8m+2;（3）m=
【答案】
（1）A（—3,0）,B（1,0）;C（0,3）;
（2）矩形
—2;S=-;（4）F（—4,-5）或（1,0）.
2
【分析】
（1）利用函数图象与坐标轴的交点的求法，求出点A,B,C的坐标;
（2）先确定出抛物线对称轴，用m表示出PM,MN即可；
（3）由
（2）得到的结论判断出矩形周长最大时，确定出m,进而求出直线AC解析式,
即可；
（4）在（3）的基础上，判断出N应与原点重合，Q点与C点重合，求出DQ=DC=
收,再建立方程（n+3）-（-n2-2n+3）=4即可.
【详解】
（1）由抛物线y=—x2―2x+3可知，C（0,3）.
令y=0,贝U0=—x2-2x+3,
解得，x=-3或x=l,
.•.A（-3,0）,B（1,0）.
（2）由抛物线y=-x2-2x+3可知，对称轴为x=-1.
•・M（m,0）,
.-.PM=-m2-2m+3,MN=（-mT）x染-2m-2,
•.矩形PMNQ的周长=2（PM+MN）=（-m2-2m+3-2m-2）X2=-2m2-8m+2.
（3）/-2m2-8m+2=-2（m+2）2+10,
，矩形的周长最大时，m=-2.
.A（-3,0）,C（0,3）,
设直线AC的解析式y=kx+b,
3kb0b3
解得k=l,b=3,「•解析式y=x+3,令x=-2,则y=1,•-E（-2,1）,
，EM=1,AM=1,
-11
•.S=—AMXEM=—•
22
（4）-M（-2,0）,抛物线的对称轴为x=-l,，N应与原点重合，Q点与C点重合，
•.DQ=DC,
把x=-1代入y=-x2-2x+3,解得y=4,-D（-1,4）,
-.dq=dc=72-
.FG=22DQ,•.FG=4.
设F（n,-n2-2n+3）,贝UG（n,n+3）,
丁点G在点F的上方且FG=4,（n+3）-（-n2-2n+3）=4.
解得n=-4或n=1,
•.F（-4,-5）或（1,0）.【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，待定系数法求函数解析式，函数极值的确定，解本题的关键是用m表示出矩形PMNQ的周长.
3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为P（2,9）,与x轴交于
点A,B,与y轴交于点C（0,5）.
（I）求二次函数的解析式及点A,B的坐标；
（n）设点Q在第一象限的抛物线上，若其关于原点的对称点Q'也在抛物线上，求点Q的
坐标；
（出）若点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，使得以A,C,M,N为顶点的四
边形是平行四边形，且AC为其一边，求点M,N的坐标.
【答案】
（1）y=-x2+4x+5,A（-1,0）,B（5,0）；
（2）Q（75,4遍）；（3）M
（1,8）,N（2,13）或M（3,8）,N'（2,3）.
【解析】
【分析】
（1）设顶点式，再代入C点坐标即可求解解析式，再令y=0可求解A和B点坐标；
（2）设点Q（m,-m2+4m+5）,则其关于原点的对称点Q'（-m,m2-4m-5）,再将Q
坐标代入抛物线解析式即可求解m的值，同时注意题干条件“Q在第一象限的抛物线上”；
（3）利用平移AC的思路，作MK，对称轴x=2于K,使MK=OC,分M点在对称轴左边和右边两种情况分类讨论即可.
【详解】
（I）设二次函数的解析式为y=a（x-2）2+9,把C（0,5）代入得到a=-1,
••y=-（x—2）2+9,即y=-X2+4x+5,
令y=0,得到：
x2-4x-5=0,
解得x=-1或5,
.•.A（T,0）,B（5,0）.
（n）设点Q（m,—m2+4m+5）,则Q'（—m,m2—4m—5）.
把点Q'坐标代入y=-x2+4x+5,
得至km2-4m-5=-m2-4m+5,
，m=J5或J5（舍弃），
••Q（75,4斯）.
（出）如图，作MKL对称轴x=2于K.
①当MK=OA,NK=OC=5时，四边形ACNM是平行四边形.
•・・此时点M的横坐标为1,
y=8,
.•.M（1,8）,N（2,13）,
②当M'K=OA=1KN'=OC=5,四边形ACM平行四边形，
此时M的横坐标为3,可得M（3,8）,N'（2,3）.
【点睛】
本题主要考查了二次函数的应用，第3问中理解通过平移AC可应用”组对边平行且相等
得到平行四边形.
4.如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2bxc交x轴于点A4,0、
B2,0，交y轴于点C0,6，在y轴上有一点E0,2,连接AE.
（1）求二次函数的表达式；
（2）若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求ADE面积的最大值；
（3）抛物线对称轴上是否存在点P,使AEP为等腰三角形，若存在，请直接写出所有
P点的坐标，若不存在请说明理由.
32一
-x6；
（2）当x一时，ADE的
23
1,布，1,2VT9.
32
【答案】
（1）二次函数的解析式为y3x2
4
50
面积取得最大值3；（3）P点的坐标为1,1
3
【解析】分析：
（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可;
（2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DG，x轴，交AE于点F,表示4ADE的
面积，运用二次函数分析最值即可；
（3）设出点P坐标，分PA=PE,PA=AE,PE=AE三种情况讨论分析即可.
详解：
（1）...二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-4,0）、B（2,0）,C（0,6）,
16a4bc0
・•.4a2bc0,
c6
3a-
4
一,3
解得：
b-,
2
c6
323
所以二次函数的解析式为：
y=3x23x6；
42
（2）由A（-4,0）,E（0,-2）,可求AE所在直线解析式为
过点D作DN^x轴，交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EHI±DF,垂足为H,如图,
设D（m,
323……，
一m—m6）,则点F（m,
42
.•.DF=3m23m6-
42
Im2）=3m2m24
•••Saade=S\adf+Saedf=-XDF>AG+-DF>EH
22
=-XDF>AG+->DF>EH
22
1
=-X4DF
2
c/32c、
=2（x-mm8）
4
3/2o50
=m
233
2..，，一」50
.•.当m=一时4ADE的面积取得最大值为一.
33
°323
（3）y=—x—x6的对称轴为x=-1,设P（-1,n）,又E（0,-2）,A（
42
4,0）,可求PA=、,9n2，PE=.1（n2）2,AE=、1642-5,分三种情况讨论:
当PA=PE时，J9n2=K（n2）2，解得：
n=1,此时P（-1,1）;
当PA=AE时，而―n2=^/?
6—4275,解得：
n=JU，此时点P坐标为（-1,
而）；
当PEAE时，石（n2）2=V1642芯，解得：
n=-2J19,此时点P坐标为:
（-1,-2屈）.
综上所述：
p点的坐标为：
（-1,1）,（-1,布），（-1，-2J19）点睛：
本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键.
5.已知点A（-1,2）、B（3,6）在抛物线y=ax+bx上
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1,点F的坐标为（0,m）（m>2）,直线AF交抛物线于另一点G,过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E,连接FH、AE,求证：
FH//AE；（3）如图2,直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点.点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒加个单位长度；同时点Q从原点。
出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度.点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，
QM=2PM,直接写出t的值.
17+
【答案】⑴抛物线的解析式为y=x2-x；
（2）证明见解析；（3）当运动时间为一二一或
15士，57
yx2-x
y=（m-2）x+m
x=Tly=2
，点G的坐标为（m,m2-m）.
.「GH^x轴,
，点H的坐标为（m,0）.
;抛物线的解析式为y=x2-x=x（x-1）,
•・•点E的坐标为（1,0）.
过点A作AA'^x轴，垂足为点A,如图1所示.
丁点A（—1,2）,
「•A'（T,0），
.•.AE=2,AA'=2
AA
TiT=1，
FOm
OH与=1'
AAFO
TFTOH，
./AA'E=FOH,••.△AA/^AFOHI,•••/AEA'上FHO,••.FH//AE.
（3）设直线AB的解析式为y=kox+b0,
公一，.一_一、八、、.一，■北口+加=2.一「
将A（―1,2）、B（3，6）代入y=kox+bo中，得（3&+瓦.6,解得：
1如=1,
••・直线AB的解析式为y=x+3,
当运动时间为t秒时，点P的坐标为（t-3,t）,点Q的坐标为（t,0）.
当点M在线段PQ上时，过点P作PP^x轴于点P',过点M作MM，x轴于点M,则
△PQPs^mqM,如图2所示，
•.QM=2PM,
QM'MM12
可二k=T
21212
・•.QM'qQP'=2,mm'qPP'qt,
2
.・•点M的坐标为（t-2,§t）.
又二点M在抛物线y=x2-x上,
2
.t=（t-2）2—（t-2）,
解得：
t=当点M在线段QP的延长线上时，
同理可得出点M的坐标为（t-6,2t）,
一点M在抛物线y=x2-x±,
•.2t=（t-6）2-（♦6）,
解得：
t15±/77
2
17+yJTJ15iA.57
综上所述：
当运动时间秒-_或-一时，QM=2PM.
62
【点睛】
本题考查二次函数综合运用，综合能力是解题关键
16
一a
39
（1）根据题意得到M（2,
1）、N（1,b）,代入抛物线解析式即可求出
b、c;
2
6.已知抛物线yaxbxc上有两点M（m+1,a）、N（m,b）.
2
⑴当a=—1,m=1时，求抛物线yaxbxc的解析式；
（2）用含a、m的代数式表示b和c;
223
⑶当a<0时，抛物线yaxbxc满足b4aca,bc2a,m一，
4
求a的取值范围.
b1
【答案】
（1）
；
（2）b=-am,c=-am；（3）
c1
（2）将点M（m+1,a）、N（m,b）代入抛物线yax2bxc,可得
2
a（m1）b（m1）ca八r
'2''',化简即可得出；
ambmcb
1
（3）把bam,cam代入b24aca可得a-，把bam,
m4m
cam代入b
c2a可得m1,然后根据m的取值范围可得a的取值范围.
【详解】
解：
（1）/a=-1,m=1,M（2,—1）、N（1,b）
42bc1zb1
由题息，得，解，得
1bcbc1
ax2bxc上
（2）.•点M（m+1,a）、N（m,b）在抛物线y
a（m1）2b（m1）ca①am2bmcb②
①—②得，2ambb,bam
把bam代入②，得cam
⑶把b
am,c
am代入b24ac
a得a2m24a2ma
…c2,/
Qa0,am4am1,a
把b
Qm
_2
Qm
am,cam代入bc
2..
4m（m2）4,当m
1
-2—"-
m4m
2a得2am2a,m1
2时，m24m随m的增大而增大
2
3m4m
39
16
161
TT-2"-
39m4m
161
即——a
393
【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出bam,cam是解题关键.
7.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-2x+a-3,当a=0时，抛物线与y轴交于点A,将点A向右平移4个单位长度，得到点B.
（1）求点B的坐标；
（2）将抛物线在直线y=a上方的部分沿直线y=a翻折，图象的其他部分保持不变，得到一个新的图象，记为图形M,若图形M与线段AB恰有两个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围.
【答案】
（1）A（0,—3）,B（4,—3）;
（2）—3vawq
【解析】
【分析】
（1）由题意直接可求A,根据平移点的特点求B;
（2）图形M与线段AB恰有两个公共点，y=a要在AB线段的上方，当函数经过点A时，
AB与函数两个交点的临界点；
【详解】
解：
（1）A（0,—3）,B（4,-3）;
（2）当函数经过点A时，a=0,
;图形M与线段AB恰有两个公共点，
..y=a要在AB线段的上方，
••a>-3
-3VawQ
【点睛】
本题二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象的特点，函数与线段相交的交点情况是解题的关键.
8.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为（2,0）,且经过点（4,1）,
1
如图，直线y=-x与抛物线交于A、B两点，直线l为y=-1.
4
（1）求抛物线的解析式；
（2）在l上是否存在一点P,使PA+PB取得最小值？
若存在，求出点P的坐标；若不存
在，请说明理由.
（3）知F（x0,yo）为平面内一定点，M（m,n）为抛物线上一动点，且点M到直线l的
距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标.
【答案】
（1）抛物线的解析式为y=1x2-x+1.
（2）点P的坐标为（竺，-1）.（3）413
定点F的坐标为（2,1）.
【解析】
分析：
（1）由抛物线的顶点坐标为（2,0）,可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2,由抛
物线过点（4,1）,利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，作点
B关于直线l的对称点B；连接AB'交直线l于点巳此时PA+PB取得最小值，根据点B的坐标可得出点B'的坐标，根据点A、B'的坐标利用待定系数法可求出直线AB'的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标；
（3）由点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等结合二次函数图象上点的坐标
特征，即可得出（1-；-；yo）m2+（2-2xo+2yo）m+X02+y02-2yo-3=0,由m的任意性可得出关
于xo、yo的方程组，解之即可求出顶点F的坐标.
详解：
（1）二•抛物线的顶点坐标为（2,0）,设抛物线的解析式为y=a（x-2）2.
;该抛物线经过点（4,1）,
1
1=4a,解得：
a=—,
4
，抛物线的解析式为y=1（x-2）2=lx2-x+1.
44
（2）联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得：
x1=1
x2=4
y2=1
_1
yx
4——
解得:
12
y=-xx1
4
，点A的坐标为（1,1）,点B的坐标为（4,1）.
4
作点B关于直线l的对称点B',连接AB'交直线l于点P,此时PA+PB取得最小值（如图
•・•点B（4,1），直线l为y=-1,
.・•点B的坐标为（4,-3）.
设直线AB'的解析式为y=kx+b（kwQ,
将A（1,1）、B'（4,-3）代入y=kx+b,得:
4
,1
kb=—…口
4,解得:
4kb^3
13
k=—
12
4b
3
••・直线AB的解析式为
y=34,
123
当y=-1时，有-!
3x+3=-1,123
28解得：
x=—,
13
，点P的坐标为（^8,-1）.
13
（3）二•点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等,
（m-xo）2+（n-yo）2=（n+1）2,
-1•
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