连续时间混沌系统MATLAB程序和SIMULINK模型.doc
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第6章连续时间混沌系统
本章讨论连续时间混沌系统的基本特点与分析方法，主要包括混沌数值仿真和硬件实验方法简介、混沌系数平衡点的计算、平衡点的分类与性质、相空间中的轨道、几类典型连续混沌系统的介绍、混沌机理的分析方法、用特征向量空间法寻找异宿轨道、Lorenz系统及混沌机理定性分析、Lorenz映射、Poincare截面、Chua系统及其混沌机理定性分析、时间序列与相空间重构等内容。
6.1混沌数值仿真和硬件实验方法简介
混沌的数值仿真主要包括MATLAB编程、SIMULINK模块构建、EWB仿真以及其他一些相关的软件仿真或数值计算等方法，从而获取混沌吸引子的相图、时域波形图、李氏指数、分叉图和功率谱等。
混沌的硬件实验主要包括模拟/数字电路设计与硬件实验、现场可编程门阵列器件（FPGA）、数字信号处理器（DSP）等硬件实现方法来产生混沌信号。
本节仅对各种数值仿真方法作简单介绍。
1）混沌系统的MATLAB数值仿真
该方法主要根据混沌系统的状态方程来编写MATLAB程序。
现举二例来说明这种编程方法。
（1）已知Lorenz系统的状态方程为
dx/dt=-a（x-y）
dy/dt=bx-xz-y
dz/dt=-cz+xy
式中a=10,b=30,c=8/3。
MATLAB仿真程序如下：
>>%**************************************************
Functiondxdt=lorenz（t,x）
%除符号dxdt外，还可用其他编程者习惯的有意义的符号
A=10;
B=30;
C=8/3;
dxdt=zeros（3,1）;
dxdt
（1）=-A*（x
（1）-x
（2））;
dxdt
（2）=B*x
（1）-x
（1）.*x（3）-x
（2）;
dxdt（3）=x
（1）*x
（2）-C*x（3）;
%*************************************************
options=odeset（'RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-61e-61e-6]）;
t0=[0200];
x0=[0.02,0.01,0.03];
[t,x]=ode45（'lorenz',t0,x0,options）;
%**************************************************
n=length（t）
n1=round（n/2）
%n1=1;
%**************************************************
figure
（1）;
plot（t（n1:
n,1）,x（n1:
n,1））;
xlabel（'t','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
ylabel（'x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
figure
（2）;
plot（x（n1:
n,1）,x（n1:
n,3））;
xlabel（'x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
ylabel（'z','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
%*******************************************************************
根据上述MATLAB程序，得Lorenz系统的时域波形图和混沌吸引子相图的数值仿真结果如图6-1所示。
图6-1Lorenz系统的时域波形图和混沌吸引子相图的MATLAB数值仿真结果
（2）已知Chua系统的状态方程为
dx=a[y-f（x）]
dy=x-y+z
dz=-by
式中a=10,b=15,m0=-1/7,m1=2/7,f（x）=m1*x+0.5（m0-m1）[|x+1|-|x-1|]为三分段非线性函数
MATLAB仿真如下：
functiondxdt=chua（t,x）
m0=-1/7;m1=2/7;
a=10;
b=15;
%*******************************************
dxdt=zeros（3,1）;
f=m1*x
（1）+0.5*（m0-m1）*（abs（x
（1）+1）-abs（x
（1）-1））;
dxdt
（1）=a*（x
（2）-f）;
dxdt
（2）=x
（1）-x
（2）+x（3）;
dxdt（3）=-b*x
（2）;
%*****************************************************
options=odeset（'RelTol',1e-6,'AbsTol',[1e-61e-61e-6]）;
t0=[05e+2];
x0=[0.010.020.03];
[t,x]=ode45（'chua',t0,x0,options）;
%****************************************************
n=length（t）
n1=round（n/2）
%******************************************************
figure
（1）;
plot（t（n1:
n）,x（n1:
n,1））;
xlabel（'t','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
ylabel（'x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
figure
（2）;
plot（x（n1:
n,1）,x（n1:
n,2））;
xlabel（'x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
ylabel（'y','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
%********************************************************
根据上述MATLAB程序，得Chua系统的时域波形图和混沌吸引子相图的数值仿真结果如图6-2所示。
图6-2Chua系统的时域波形图和混沌吸引子相图的MATLAB数值仿真结果
2）混沌系统的SIMULINK仿真
该方法主要是根据混沌系统的状态方程，将其转换成积分方程，利用模块和积分算子画出SIMULINK的模块化仿真图。
为保证计算的精确度，又不使仿真时间过长，应对仿真图中几个重要参数进行设置。
第一个参数是仿真时间：
第二个参数是相对误差，通常设为；第三个参数是绝对误差，通常设为，现举二例来说明这种编程方法。
（1）已知Lorenz系统的状态方程仍如（6-1）式，将其转换成积分方程：
dx/dt=-a（x-y）
dy/dt=bx-xz-y
dz/dt=-cz+xy
注意，SIMULINK仿真中的微分子算子为S，积分算子为,故得SIMULINK的仿真如图6-3所示，设其文件名为“simulink_lorenz”,再利用文件名为“y_simulink_lorenz”的程序运行“simulink_lorenz”。
程序如下：
[t,x]=sim（'simulink_lorenz',200）;
n=length（t）
n1=round（n/2）
%*********************************************
figure
（1）;
plot（t（n1:
n,1）,x（n1:
n,1））;
xlabel（'t','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
ylabel（'x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle’,'italic'）;
figure
（2）;
plot（x（n1:
n,1）,x（n1:
n,3））;
xlabel（'x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
ylabel（'z','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngle','italic'）;
%********************************************************
运行结果仍如图6-1所示。
图6-3Lorenz系统的SIMULINK仿真图
（2）已知Chua系统的状态方程仍如（6-2）式，得SIMULINK的仿真图如图6-4所示。
设其文件名为“simulink_chua”,再利用文件名为“y_simulink_chua”的程序运行“simulink_chua”。
程序如下：
%*******************************************
%globala;
a=10;
[t,x]=sim（'simulink_chua',500）;
n=length（t）
n1=round（n/2）
%********************************************
figure
（1）;
plot（t（n1:
n,1）,x（n1:
n,1））;
xlabel（'t','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngel','italic'）;
ylabel（'x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngel','italic'）;
figure
（2）;
plot（x（n1:
n,1）,x（n1:
n,2））;
xlabel（'x','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngel','italic'）;
ylabel（'y','fontsize',20,'fontname','timesnewroman','FontAngel','italic'）;
运行结果仍如图6-2所示。
（a）SIMULINK主框图 （b）三分段线性函数f的SIMULINK子框图
图6-4Chua系统的SIMULINK仿真图
3）连续混沌系统离散化的MATLAB数值仿真
当用DSP和FPGA等现代数字器件来产生混沌信号时，首先需要将连续混沌系统作离散化处理。
离散化和数字化处理方法主要有三种，利用这些离散化的方法，可将状态方程变成差分方程，这些方法将在后续章节中详细介绍。
这里采用了一种较简单的Euler算法。
（1）已知Lorenz系统的状态方程仍如（6-1）式，根据Euler算法
得对应的差分方程为
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