六年级数学专题详解容斥原理.docx

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六年级数学专题详解容斥原理

容斥原理

在一些计数问题中，经常遇到有关集合元素个数的计算。

我们用|A|表示有限集A的元素的个数。

在两个集合的研究中，已经知道，求两个集合并集的元素个数，不能简单地把两个集合的元素个数相加，而要从两根集合的个数之中减去重复计算的元素个数，用式子可以表示成|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|。

我们称这一公式为包含与排除原理，简称为容斥原理。

包含与排除原理|告诉我们，要计算两个集合A、B的并集A∪B的元素个数，可以分一下两步进行：

第一步：

分别计算集合A、B的元素个数，然后加起来。

即先求|A|+|B|（意思是把A、B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；

第二步“从上面的和中减去交集的元素的个数，即减去|A∩B|（意思是“排除”了重复计算的元素的个数）。

例1．求不超过20的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少？

解：

设I={1、2、3、…、19、20}，A={I中2的倍数}，B={I中3的倍数}。

显然题目中要求计算并集A∪B的元素个数，即求|A∪B|。

我们知道A={2、4、6、……、20}，所以|A|=10，

B={3、6、9、12、15、18}，|B|=6。

A∩B={I中既是2的倍数又是3的倍数}={6、12、18}，所以|A∩B|=3，

根据容斥原理有|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|=10+6–3=13.

答：

所求的数共有13个。

此题可以直观地用图表示如下：

例2．某班统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中至少有一科在90分以上的有38人，问两科都在90分以上的有多少人？

解：

设A={数学在90分以上的学生}，B={语文在90分以上的学生}，

由题意知|A|=25，|B|=21。

A∪B={数学、语文至少一科在90分以上的学生}，|A∪B|=38。

A∩B={数学、语文都在90分以上的学生}，

由容斥原理知|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|，

所以|A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=25+21–38=8。

答：

两科都在90分以上的有8人。

画图分析一下：

其中A的人数是x+n=25，B的人数是y+n=21，A∪B的人数是x+n+y=38，求n等于多少？

很明显n=（x+n）+（y+n）–（x+y+n）=25+21–38=8。

例3．如图所示，一个边长为2的正方形与一个边长为3的正方形放在桌面上，它们所盖住的面积有多大？

解：

如果把两个正方形的面积加起来是32+22=9+4=13，就会发现多计算了一块阴影的面积，应该从上面的和中减去这一部分。

因此两个正方形所覆盖住的面积是32+22–1.52=13–2.25=10.75。

例4．有100位旅客，其中10人既不懂英语又不懂俄语，有75人懂英语，83人懂俄语。

问既懂英语又懂俄语的有多少人？

解：

设A={懂英语的旅客}，B={懂俄语的旅客}，那么英语或俄语至少懂一种的旅客是A∪B，而两种语言都懂的旅客是A∩B。

由题意|A|=75，|B|=83，|A∪B|=100–10=90，

根据容斥原理得|A∩B|=|A|+|B|–|A∪B|=75+83–90=68.

答：

两种语言都懂的旅客有68人。

对于任意三个有限集合A、B、C，我们可以将上面的容斥原理推广得到如下的公式：

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|。

三个集合的容斥原理告诉我们要计算并集A∪B∪C的元素个数，可以分三步进行：

第一步：

求|A|+|B|+|C|；

第二步：

减去|A∩B|，|B∩C|，|C∩A|；

第三步：

加上|A∩B∩C|。

结合下图作出说明。

由于A∪B∪C可以有七个部分组成，其中I、II、III部分的元素仅属于某个集合，而IV、V、VI部分的元素分别属于某两个集合，第VII部分则是三个集合的交集。

由于A∪B∪C的元素分别来自集合A、B、C，因此先计算|A|+|B|+|C|。

在这个和里，第I、II、III部分的元素只计算了一次，而第IV、V、VI部分的元素各自计算了两次，第VII部分的元素计算了三次。

在第二步中减去了|A∩B|，|B∩C|，|C∩A|后，得|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|，

这样显然消除了第IV、V、VI部分的元素的重复计算，但是请注意同时对第VII部分的元素是减去了三次，这样第VII部分的元素都被减去了，因此必须补回来，即再加上|A∩B∩C|。

综上所述得|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|。

例5．某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋、国际象棋三个组进行。

参加围棋比赛的有42人，参加中国象棋比赛的有51人，参加国际象棋比赛的有30人。

同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人，同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人，其中三种棋都参加的有3人。

问参加棋类比赛的共有多少人？

解：

设A={参加围棋比赛的人}，B={参加中国象棋比赛的人}，C={参加国际象棋比赛的人}。

那么参加棋类比赛的人的集合为A∪B∪C。

由题意知，|A|=42，|B|=51，|C|=30，又|A∩B|=13，|A∩C|=7，|B∩C|=11，|A∩B∩C|=3。

根据容斥原理得

|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|=42+51+30–13–7–11+3=95（人）。

答：

参加棋类比赛的共有95人。

画图来计算：

A、B、C三个圆表示三个集合，先把三个圆相交的最中间部分填上3，

由于同时参加围棋和中国象棋比赛的有13人，所以第IV部分应该是10人；

同时参加中国象棋和国际象棋比赛的有11人，所以第V部分应该是8人；

同时参加围棋和国际象棋比赛的有7人，所以第VI部分应该是4人；

再根据参加围棋比赛的有42人，于是第I部分是42–10–3–4=25人；

参加中国象棋比赛的有51人，于是第II部分是51–10–3–8=30人；

参加国际象棋比赛的有30人。

于是第III部分是30–8–3–4=15人；

由此得出参加棋类比赛的总人数是25+30+15+10+8+4+3=95（人）。

例6．边长分别为6、5、2的三个正方形，如图所示放在桌面上，问它们所盖住的面积是多大？

解：

设R表示正方形区域ABCD，M表示正方形区域A1B1C1D1，N表示正方形区域A2B2C2D2，则|R|=36，|M|=25，|N|=4，|R∩M|=9，|R∩N|=2，|M∩N|=2，|R∩M∩N|=1，

所以|M∪M∪N|=|R|+|M|+|N|–|R∩M|–|R∩N|–|M∩N|+|R∩M∩N|

=36+25+4–9–2–2+1=53.

答：

三个正方形所盖住的面积是53.

例7．某班学生手中分别拿有红、黄、蓝三种颜色的球。

已知手中有红球的共有34人，手中有黄球的共有26人，手中有篮球的共有18人，其中手中有红、黄、蓝三种球的有6人，而手中只有红、黄两种球的有9人，手中只有黄、蓝两种球的有4人，手中只有红、蓝两种球的有3人，那么这个班共有多少人？

解：

设A、B、C分别表示手中有、红球、黄球、篮球的人的集合，

由题意，画出图来逐一填上人数计算。

最中间应该填上6，由手中只有红、黄两种球的有9人，手中只有红、蓝两种球的有3人，手中只有黄、蓝两种球的有4人，则在区域VI、V、VI中分别填上9、3、4。

最后由手中有红球的共有34人，手中有黄球的共有26人，手中有篮球的共有18人，可以填出区域I、II、III内分别填上16、7、5。

所以全班共有16+7+5+9+3+4+6=50（人）。

答：

全班共有50人。

解法2：

设A、B、C分别表示手中有、红球、黄球、篮球的人的集合，

则|A|=34，|B|=26，|C|=18，所以|A|+|B|+|C|=34+26+18=78，

显然这样的计算中对于区域IV、V、VI的部分重复计算了一次（需要减去1次），而对于区域VII的部分重复计算了两次，也就是计算了三次（需要减去2次）。

所以全班人数是34+26+18–（9+4+3）–2×6=50（人）。

答：

全班共有50人。

例8．求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少个？

解：

设A={1到200中间能被2整除的自然数}；B={1到200中间能被3整除的自然数}；C={1到200中间能被5整除的自然数}；

那么A∩B={1到200中间能被2×3整除的自然数}；A∩C={1到200中间能被2×5整除的自然数}；B∩C={1到200中间能被3×5整除的自然数}；A∩B∩C={1到200中间能被2×3×5整除的自然数}；

求出|A|=100，|B|=66，|C|=40，|A∩B|=33，|A∩C|=20，|B∩C|=13，|A∩B∩C|=6，

所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|

=100+66+40–33–20–13+6=146.

这是1到200中间的自然数至少有能被2、3、5中一个数整除的数的个数。

所以1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有200–146=54（个）。

练习题

1．某班有团员23人，这个班里男生共有20人，则这个班里女生团员比男生非团员多人。

解：

设男生团员为x人，则女生团员为23–x若，男生非团员为20–x人，

所以这个班里女生团员比男生非团员多（23–x）–（20–x）=3（人）。

答：

这个班里女生团员比男生非团员多3人。

2．一张纸片的面积为7，另一张是边长为2的正方形纸片，把这两张纸片放在桌子上，覆盖的面积为8，则两张纸片重合部分的面积是。

解：

设第一张纸片为A，第二张纸片为B，

则|A|=7，|B|=4，|A∪B|=8，所以|A∩B|=7+4–8=3.

答：

两张纸片重合部分的面积是3.

3．从1到100的自然数中，

（1）不能被6或10整除的数有个；

（2）至少能被2、3、5中一个数整除的数有个。

解：

（1）设A={1到100中被6整除的数}，B={1到100中被10整除的数}，

A∩B={1到100中被30整除的数}，其中30是6与10的最小公倍数。

则|A|=16，|B|=10，|A∩B|=3，所以|A∪B|=|A|+|B|–|A∩B|=16+10–3=23.

在1到100中能被6或10整除的数有23个，不能被6或10整除的数有100–23=77（个）。

答：

不能被6或10整除的数有77个。

（2）设C={1到100中被2整除的数}；D={1到100中被3整除的数}；E={1到100中被5整除的数}；C∩D={1到100中既能被2整除又能被3整除的数}；C∩E={1到100中既能被2整除又能被5整除的数}；D∩E={1到100中既能被3整除又能被5整除的数}；C∩D∩E={1到100中同时能被2、3、5整除的数}；

|C|=50、|D|=33，|E|=20，|C∩D|=16，|C∩E|=10，|D∩E|=6，|C∩D∩E|=3，

所以|C∪D∪E|=|C|+|D|+|E|–|C∩D|–|C∩E|–|D∩E|+|C∩D∩E|

=50+33+20–16–10–6+3=74（个）。

答：

至少能被2、3、5中一个数整除的数有74个。

4．盛夏的一天，有10个同学去冷饮店，向服务员交了一份需要冷饮的统计表：

要可乐、雪碧、果汁的各有5人；可乐、雪碧都要的有3人；可乐、果汁都要的有2人；雪碧、果汁都要的有2人，三样都要的只有1人。

证明：

其中有1人这三种饮料都没有要。

解：

设A={要可乐的同学}，B={要雪碧的同学}，C={要果汁的同学}，

则|A|=5，|B|=5，|C|=5，|A∩B|=3，|A∩C|=2，|B∩C|=2，|A∩B∩C|=1，

所以|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|–|A∩B|–|B∩C|–|A∩C|+|A∩B∩C|

=5+5+5–3–2–2+1=9（人）。

可见一定有1人没有要饮料。

5．对100个学生课外学科活动的调查结果如下：

32人参加数学小组；20人参加英语小组；45人参加生物小组。

其中15人既参加了数学小组又参加了生物小组；7人既参加了英语小组又参加了数学小组；10人既参加了英语小组又参加了生物小组。

还有30人没有参加上述任何一个学科小组。

（1）求三个学科小组都参加的人数；

（2）在文氏图的8个小区域内填入相应的学生人数，其中A、B、C分别代表参加数学、英语、生物小组的学生的集合，被调查的100个学生的集合为全集I。

解：

（1）设A={参加数学小组的学生}；B={参加英语小组的学生}；C={参加生物小组的学生}；A∩B={既参加数学小组又参加英语小组的学生}；A∩C={既参加数学小组又参加生物小组的学生}；B∩C={既参加英语小组又参加生物小组的学生}；A∩B∩C={三个小组都参加的学生}，A∪B∪C={三个小组中至少参加一个小组的学生}

则|A|=32，|B|=20，|C|=45，|A∩B|=7，|A∩C|=15，|B∩C|=10，

|A∪B∪C|=100–30=70.

根据容斥原理

|A∩B∩C|=|A∪B∪C|–|A|–|B|–|C|+|A∩B|+|A∩C|+|B∩C|

=70–32–20–45+7+15+10=5（人）。

答：

三个小组都参加的有5人。

（2）