八上轴对称知识全梳理.docx
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八上轴对称知识全梳理
第01讲_轴对称
知识图谱第01讲_轴对称轴对称线段的垂直平分线轴对称作图
轴对称
知识精讲一.轴对称相关概念和性质
轴对称
将一个图形沿着一条直线折叠,如果能够与另一个图形重合,则这两个图形关于这条直线成轴对称
(1)△与△关于
直线l成轴对称,l为对称轴,与,与,与是对应
轴对称图
形
如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形就叫做轴对称图形
(2)将△、△与
直线l看做一个整体,则它是一个轴对称图形
垂直平分
线
l为线段AB的垂直平分线
经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线
(1)△△
(2)l为线段AA'、BB'、CC'的垂直平分线
(3)对称轴l是任何一对对应点连线的垂直平分线
易错点:
1.对称轴是一条直线,而不是线段或者射线
2.注意轴对称和轴对称图形的区别
三点剖析
一.考点:
1.轴对称基本概念和性质;2.轴对称图形.
二.重难点:
轴对称的两个图形是全等的,对应点的连线被对称轴垂直平分.三.易错点:
1.对称轴是一条直线,而不是线段或者射线.
2.把成轴对称的两个图形看成一个整体,它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形,这两个图形关于这条对称轴对称.
Array
线段的垂直平分线
知识精讲
一、垂直平分线的概念和性质
垂直平分线
(中垂线)
定义1:
经过某条线段的中点,且垂直于这条线段的直线
定义2:
中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合,中垂线是线段的一条对称轴
性质
(1)垂直平分线垂直且平分其所在线段
(2)垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等
判定
在同一平面内,到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上
l为中垂线
AC=BC,AD=BD
尺规作图
作法:
如图
(1)分别以点A、B为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于C、D两点;
(2)作直线CD,CD为所求直线
三点剖析
重难点:
垂直平分线的性质和判定,垂直平分线的画法考点:
垂直平分线的性质和判定,垂直平分线的画法易错点:
①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分②垂直平分线垂直平分的一定是线段,不能是射线或直线,这根据射线和直线可以无限延长有关,再看后面的,垂直平分线是一条直线。
轴对称作图
知识精讲
.轴对称作图
轴对称图形的
作法
(1)作出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点
(2)连接以上对称点,即可得到原图形的轴对称图形
将图中其余小正方形涂黑一个,使整个被
涂黑的图案构成一个轴对称图形
构造轴对称图
形
反射问题
实质为图形的对称变换,常涉及到光线和
台球的反射等
折叠问题
(1)折痕是对称前后图形的对称轴
(2)对应边相等、对应角相等(3)对应点的连线被对称轴垂直平分连接CE,则AD所在直线为CE的中垂线
易错点:
(1)对称轴是一条直线
(2)作图使用虚线
三点剖析
重难点:
轴对称作图问题反射问题,折叠问题考点:
轴对称作图问题,反射问题,折叠问题易错点:
①对称轴是一条直线,②作图需虚线,
③折叠前后的对应关系
第02讲_等腰三角形
知识图谱
第02讲_等腰三角形等腰三角形
等腰三角形
知识精讲
一、等腰三角形
等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三
角形
性质
1.两个底角相等,两条腰相等.
2.三线合一:
(1)顶角角平分线、
(2)底边上的中线、
(3)底边上的高
(可直接使用)
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等
判定
三线合一逆定理:
一个三角形
(1)对角角平分线、
(2)该边上的中线、
(3)该边上的高有两条互相重合,则是等腰三角形(需简单证明)
二、思路点拨
等腰三角形边或者周长的计
算
注意三边关系的隐含条件
等腰、角平分线、平行
(1)△ABC是等腰三角形,
(2)AD∥BC(3)∠1=∠2以上三个结论知二推一(需简单证明)
三角形中角的2倍关系
三点剖析
重难点
1.等腰三角形的三线合一及其逆定理2.角平分线、平行线、等腰三角形知二推
3.等腰三角形与全等三角形综合问题考点
1.等腰三角形的性质和判定2.等腰三角形的三线合一及其逆定理3.角平分线、平行线、等腰三角形知二推4.等腰三角形与全等三角形综合问题
易错点
1.等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2.等腰三角形的三线合一及可以直接使用,但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用
3.角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练,在使用的时候是需要简单证明的,不可直接得出结论
第03讲_等边三角形
知识图谱
第03讲_等边三角形等边三角形
等边三角形
知识精讲
.等边三角形
等边三角形
(1)三条边都相等的三角形
(2)是一种特殊的等腰三角形
性质
三个内角都等于
判定
判定1:
三个角都相等的三角形是等边三角形
判定2:
有一个角是的等腰三
角形是等边三角形
在直角三角形中,如果一个锐角
直角三角形
等于,那么它所对的直角边等
性质定理
于斜边的一半
垂直平分,,
证明:
延长至使
,
是等边三角
形,,
非共线
手拉手
等腰直
角手拉
手
7)BH平分∠AHC;
8)AH=DH+BH;
9)CH=EH+BH;
三点剖析
一.考点:
1.等边三角形的性质与判定;2.直角三角形性质定理;3.等边三角形与全等三角形综合.
二.重难点:
1.等边三角形是特殊的等腰三角形,具有等腰三角形的所有性质.做题时常作为隐藏条件考察.
2.等边三角形的判定用定义判断的不多,一般都是利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形
来判定,所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等,并且可以推导出有一个角为60°.
3.等边三角形的性质非常特殊,在证明或计算中要注意边角之间的转化,尤其是含30°角的直角三
角形中边的关系.
4.在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时,关键是抓住边相等,角度都是特殊角.
三.易错点:
在利用直角三角形性质定理的过程中,需要注意两点:
一是必须在直角三角形中才能运用,锐角三角
形和钝角三角形均不存在上述关系;二是一定要注意是所对的直角边等于斜边的一半.
第01讲_勾股定理
知识图谱
第01讲_勾股定理勾股定理的证明勾股定理的逆定理
勾股定理的证明
知识精讲一.勾股定理
定理
如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么.
举例
如图,在中,的
对边分别用字母a、b、c来表示,
则有:
其中,当时,则有斜边
变形
,,.
证明方法
二:
(等面
积法)
证明方法
三:
(总统
证法)
三.易错点:
1.运用勾股定理求直角三角形边长时,注意分清直角边和斜边,采用正确的
计算公式。
如∠C=90°时,公式为,∠A=90°时,公式为
,∠B=90°时,公式为
2.计算结果注意开平方,开方要彻底,如或化简不完全
3.注意隐含条件。
如已知直角三角形的两边长为3cm,4cm,求第三边长。
不能理所当然的认为3cm,4cm为直角边,应考虑多种情况,3cm一定为直角边,但4cm可能为直角边,也可能为斜边
4.忽视判勾股定理
断三角形形状。
不确定该三角形是否为直角三角形时,不可以使用
三点剖析
一.考点:
1.勾股定理的证明;2.勾股定理.
二.重难点:
熟悉勾股定理的证明过程,求直角三角形的边长.
三.易错点:
在运用勾股定理求直角三角形边长时,一定要注意分清直角边和斜边,采用正确的计算公式,并在计算后注意开平方.
勾股定理的逆定理
知识精讲
.勾股定理逆定理
序号
性质
图示
勾股定
如果三角形的三边长a,b,c满
理逆定
足,那么这个三角形是
理
直角三角形
勾股定理:
勾股定理与其逆定理
△ABC是直角三角形→
逆定理:
→△ABC是直角三角形
1.勾股数:
满足的三个
常用勾股数:
3、4、5;
勾股数
正整数
5、12、
6、8、
8、15、
13;
10;7、24、25;
17;9、40、41
2.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾
股数
二.易错点:
1.运用勾股定理判断三角形形状时,注意对直角的确定
如,Rt△ABC中,∠B=90°,a=5,b=12,求c的长
∵∠B=90°∴b=12为斜边,而不是长直角边
2.勾股数需要①满足勾股定理外,②满足是正整数
如,32、42、52并不满足勾股定理
虽然满足勾股定理,但并不都是正整数,因此不是一组勾股数
三点剖析
一.考点:
1.勾股定理逆定理;2.勾股数.
二.重难点:
掌握常用的勾股数,结合勾股定理逆定理利用线段长度可证明直角三角形.
三.易错点:
勾股数除了要满足勾股定理外,还需要满足是整数.
第02讲_勾股定理的应用及其逆定理
知识图谱
第02讲_勾股定理的应用及其逆定理勾股定理的应用勾股定理与实际问题
勾股定理的应用
知识精讲一.求线段长
求1.直接利用勾股定理:
已知直角三角形的两条边,求另外一条;2.通过设未知数,根据勾股定理列方程,解方程;
角形比例关系
图1中,
图2中,
等面积法求
已知,AD为∠CAB的角平分线,则CD=CE,AC=AE
已知AD、AC,根据勾股定理,可求出CD
直角三角形ABC中,折叠使点C与点A重合,则AE=CE,
C△ABE=AB+BC=9+12=21
折叠问题结合
网格与勾股定理辅助线构造直角
角
形
(1)与等腰三角形三线合一结合求各边长
上图等腰△ABC中,作AD⊥BC,构造出30°、60°、90°的特殊三角形
(2)作垂直构造直角三角形,并与特殊角结合下图中,已知任意一边长,可求出图中其他的边长
.勾股定理与最短距离
1.画出立体图形的展开图
1.圆柱体:
看做是多个最短路径的结合2.长方体:
展开侧面,连接A、B两点即可
三.两点间距离公式
在平面直角坐标系中,任意给定两点,.过点A、B分别向坐
标轴作垂线,则,
,由勾股定理可得,
.(初中阶段解答题中不能直接应用,如果需要,应提前
说明“由勾股定理得”)
四.易错点
1.“30所°对的直角边是斜边的一半”该定理仅在直角三角形中,在普通三角形中不能使用,可以证明该三角形为直角三角形或者通过辅助线构造直角三角形。
注意分清楚“所对的直角边”和“斜边
例:
如图,已知∠ABC=3°0,题中未指明∠BAC=9°0,所以不能想当然的使用勾股定理,
也不能使用“30所°对的直角边是斜边的一半
①证明∠BAC=9°0
②作AD⊥BC,构造直角三角形
三点剖析
一.考点:
1.求线段长;2.最短路径问题;3.两点之间距离公式.
二.重难点:
根据已知条件,分析相应图形,并选取合适的方法,求线段长.三.易错点:
1.在应用勾股定理的过程中,注意分清楚直角边和斜边,选择正确的公式来进行计算;
2.所对的直角边是斜边的一半,注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”.
勾股定理与实际问题
知识精讲
一.勾股定理与实际问题
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤:
1.认真审题,读懂题目,理解题意;
2.根据题意,画出相应的几何图形,并在图中标出相应的数量关系;
3.根据几何图形和数量关系,解三角形,求出答案;
二.易错点
1.把实际问题转化成几何模型,注意已知条件和图形的对应关系三点剖析
一.考点:
勾股定理与实际问题.
.重难点:
利用勾股定理解决实际问题.
.易错点:
把实际问题转化成几何模型,注意已知条件和图形的对应关系.
第01讲_实数
知识图谱
第01讲_实数平方根立方根实数
平方根
知识精讲
一.平方根
定义
如果一个数的平方等于,那么这个数叫做的平方根.
表示
若,则就叫做的平方根,例:
,的平方根就是.
一个非负数的平方根可用符号表示为“”
特征
1.正数有两个平方根,且互为相反数,和为0;2.0的平方根只有一个,是它本身;3.负数没有平方根.
.算术平方根
概念
如果一个非负数x的平方等于a,即,那么非负数x是a
的算术平方根.
表示
a的算术平方根用表示.a叫做被开方数().
例:
,9叫做被开方数,3是9的算术平方根.
性质
双重非负性,在中有,.
三.开平方
概念
求一个非负数的平方根的运算,叫做开平方.
意义
开平方与平方是互逆运算,可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根,以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根.
1.当被开方数扩大(或缩小)倍,它的算术平方根相应地扩大(或
缩小)n倍().例:
1扩大100倍为100,它的平方根相应
性质
的变为10.
2.平方根和算术平方根与被开方数之间的关系:
若,则;
不管为何值,总有注意二者之间的区别及联
系.
四.易错点:
1.只有非负数才有平方根,负数没有平方根;
2.正数的平方根有两个,且互为相反数;
3.0的平方根和算术平方根都是0;
4.计算.例如,求的算术平方根,学生会错写为4,应该是2;
5.求一个带分数的平方根时,必须把带分数化为假分数.
三点剖析
一.考点:
算术平方根、平方根.
重难点:
算术平方根的双重非负性,常见平方数.
易错点:
只有非负数才有平方根;正数的平方根有两个,且互为相反数;0
的平方根和算术平方根都是0.
立方根
知识精讲
一.立方根
定义
如果一个数的立方等于,那么这个数叫做的立方根.例:
,那么叫做的立方根.
表示
若则就叫做的立方根,一个数的立方根可用符号表
“”,其中“”叫做根指数,不能省略.
例:
,此时2就叫做8的立方根.
特征
1.任意一个数都有立方根;
2.正数立方根是正值;3.负数的立方根是负值;4.0的立方根是0.
.开立方
定义
求一个数的立方根的运算
意义
开立方与立方是互逆运算,可以通过立方运算来求一个数的立方
根,以及检验一个数是不是另一个数的立方根.
性质
1.当被开方数(大于0)扩大(或缩小)倍,它的立方根相应地扩大(或缩小)倍.例:
1扩大1000倍变为1000,则它的立方
根由1变为10,扩大了10倍.
1.平方根“”其实省略了根指数“”,即:
也可以表示为,而立方根“的根指数“3不”能省略.
2.立方根等于本身的数有“”和“0”.3.两个数互为相反数,则它们的立方根也互为相反数.
4.当两个数相等时这两个数的立方根相等,反过来,当两个数的立方根相等时,这两个数也相等.
5.求一个带分数的立方根时,必须把带分数化为假分数.
三点剖析一.考点:
立方根.二.重难点:
立方根的运算.三.易错点:
1.平方根“”其实省略了根指数“”,即:
也可以表示为,而立方
根“”的根指数“3不”能省略.
2.立方根等于本身的数有“”和“0”.
3.两个数互为相反数,则它们的立方根也互为相反数.
实数
知识精讲
一.无理数
无理数的概念:
无理数是无限不循环小数;常见的无理数有:
无限不循环小数(例如π),开方开不尽的数(例
如√5,3√7).
二.实数的概念
概
概有理数和无理数统称为实数.
1.有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式,都可以表示成分数qp的
形式;
性2.任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数;例:
-1.5+3=1.5
3.两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数.如:
两个相同的无理数作减法则为04.无理数与有理数的和、差一定是无理数;
例:
5-√2经计算依旧是无理数
5.无理数乘或除以一个不为0的有理数结果一定是无理数例:
√2×3=3√2,其结果仍然是无理数.
6.任何实数与0的乘积都是有理数即0.
三.实数的分类
四.易错点:
1.只有非负数才有平方根,无理数是无限不循环小数,不能写成分数qp的形式,这里p、q是互质的整数,且p≠0;
2.实数与数轴上的点一一对应;
三点剖析
一.考点:
实数的概念和分类,实数的性质.
二.重难点:
实数的性质三.易错点:
1.无理数是无限不循环小数,不能写成分数的形式,这里、是互质的
整数,且.
2.实数与数轴上的点一一对应.
第02讲_实数的运算
知识图谱
第02讲_实数的运算实数的运算实数的比较大小
实数的运算
知识精讲
一.实数的运算
实数的运算法则
先算乘方开方,再算乘除,最后算加减;如果有括号,先算括号里面的.
定义新运算
近几年的中考题中出现了一类“定义新运算”型的题目,这类题目
以加、减、乘、除、乘方等运算为基础,定义了很多具有实际意义的新运算.这些新的运算及其符号,在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律,其实质是给出了一种变换规则,以此考查同学们的思维应变能力和计算能力.解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则,将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算.
二.易错点
1.运算顺序需要注意.
2.解答定义新运算题,关键是要正确地理解新定义的算式的含义,在计算时,严格按照规定的法则代入数值,然后转化为常规的四则运算算式进行计算.三点剖析
一.考点:
实数的运算,定义新运算.
二.重难点:
定义新运算.
三.易错点:
解答定义新运算题,关键是要正确地理解新定义的算式的含义,在计算时,严格按照规定的法则代入数值,然后转化为常规的四则运算算式进行计算.
实数的比较大小
知识精讲一.比较大小
对于任意两个实数a,b:
1.,则;
作差法
2.,则;
3.,则.
对于任意两个正实数a,b:
对于任意两个负实数a,b:
1.,则;
1.,则;
作商法
2.,则;
2.,则;
3.,则.
3.,则.
对于任意两个同号的实数a
,b:
倒数法
1.若a,b同为正,,
则;
2.若a,b同为负,,则.
平方法
对于任意两个同号的实数a,b、:
1.若a,b同为正,,则;
2.若a,b同为负,,则.
特殊值法
用特殊值法比较实数大小的基本思路是:
根据题意设出适当的值,代入,比较代入后的值的大小.
估算法
用估算法比较实数大小的基本思路是:
对任意两个实数a,b,先估算出两实数的范围,再进行比较.
精确估算
法
1.根据估算法,确定该无理数在哪两个整数之间.
2.比较该无理数和两个整数中点值的大小.
3.大于中点值更接近较大数,小于中点值更接近较小数.
二.易错点
1.对于作商法,倒数法,平方法,要注意正实数所得出的结论与负实数所得出的结论相反.
2.最接近的整数是几?
由估算法可知,,为进一步确定最接近4还是5,我们只需要比较和4.5的大小,
第01讲_平面直角坐标系
知识图谱
第01讲_平面直角坐标系平面直角坐标系
平面直角坐标系
知识精讲
一.有序数对
定义:
用含有两个数的词表示一个确定的位置,其中各个数表示不同的含义,
我们把这种有顺序的两个数与组成的数对,叫做有序数对,记作.
二.平面直角坐标系的相关概念
概念
平面直角坐
由平面内两条互相垂直,原点重合的数轴组成
标系
x轴(横轴)
水平的数轴称为x轴或横轴,习惯上取向右方向为正方向
y轴(纵轴)
竖直的数轴称为y轴或纵轴,取向上方向为正方向
象限
在直角坐标系中,两条坐标轴把平面分成四个区域,按逆时针顺序分别称为第一、二、三、四象限
如图坐标系中的点P,从点P分别向x轴和y轴作垂线,垂足分别为M和N,这时点M在x轴上对应的数称为点P的横坐标(图中点P的横坐标为3),
点N在y轴上对应的数称为点P的纵坐标(图中点P的纵坐标为2),
依次写出点P的横、纵坐标得到一对有序数对,称为点P的
坐标,
表示
则点P可记作.同理,我们可以得到Q点的坐标.
三.坐标系内点的特征
1.点在第一象限;即:
横纵坐标同号
各象限内点
2.点在第二象限;即:
横纵坐标异号
的坐标特征
3.点在第三象限;;即:
横纵坐标同号
4.点在第四象限.即:
横纵坐标异号
1.点在轴上,为任意实数;
坐标轴上点
即:
x轴上的点,横坐标为0
的坐标特征
2.点在轴上,为任意实数;
即:
y轴上的点,纵坐标为0
3.点既在轴上,又在轴上,即点为坐标原点.
一、三象限,二、四象限角平分线上点的坐标特征
1.点在第一、三象限夹角的角平分线上;即:
横纵坐标相等
2.点在第二、四象限夹角的角平分线上,即即:
横纵坐标互为相反数
对称点的坐标特征
1.点关于轴的对称点是,
即:
横坐标不变,纵坐标变为其相反数.
2.点关于轴的对称点是,
即:
纵坐标不变,横坐标变为其相反数.
3.点关于坐标原点的对称点是,即:
横坐标变为其相反数,纵坐标也变为其相反数.
四.易错点:
1.对有序数对是强调顺序的,a与b表示不同