八上轴对称知识全梳理.docx

八上轴对称知识全梳理.docx

《八上轴对称知识全梳理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八上轴对称知识全梳理.docx（45页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

八上轴对称知识全梳理

第01讲_轴对称

知识图谱第01讲_轴对称轴对称线段的垂直平分线轴对称作图

轴对称

知识精讲一．轴对称相关概念和性质

轴对称

将一个图形沿着一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称

（1）△与△关于

直线l成轴对称，l为对称轴，与，与，与是对应

轴对称图

形

如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形

（2）将△、△与

直线l看做一个整体，则它是一个轴对称图形

垂直平分

线

l为线段AB的垂直平分线

经过线段中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线

（1）△△

（2）l为线段AA'、BB'、CC'的垂直平分线

（3）对称轴l是任何一对对应点连线的垂直平分线

易错点：

1．对称轴是一条直线，而不是线段或者射线

2．注意轴对称和轴对称图形的区别

三点剖析

一．考点：

1．轴对称基本概念和性质；2．轴对称图形．

二．重难点：

轴对称的两个图形是全等的，对应点的连线被对称轴垂直平分．三．易错点：

1．对称轴是一条直线，而不是线段或者射线．

2．把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形.把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称．

Array

线段的垂直平分线

知识精讲

一、垂直平分线的概念和性质

垂直平分线

（中垂线）

定义1：

经过某条线段的中点，且垂直于这条线段的直线

定义2：

中垂线可以看成到线段两个端点距离相等的点的集合，中垂线是线段的一条对称轴

性质

（1）垂直平分线垂直且平分其所在线段

（2）垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等

判定

在同一平面内，到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上

l为中垂线

AC=BC，AD=BD

尺规作图

作法：

如图

（1）分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于C、D两点；

（2）作直线CD，CD为所求直线

三点剖析

重难点：

垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法考点：

垂直平分线的性质和判定，垂直平分线的画法易错点：

①垂直平分线的画法和角平分线的画法进行区分②垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有关，再看后面的，垂直平分线是一条直线。

轴对称作图

知识精讲

．轴对称作图

轴对称图形的

作法

（1）作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点

（2）连接以上对称点，即可得到原图形的轴对称图形

将图中其余小正方形涂黑一个，使整个被

涂黑的图案构成一个轴对称图形

构造轴对称图

形

反射问题

实质为图形的对称变换，常涉及到光线和

台球的反射等

折叠问题

（1）折痕是对称前后图形的对称轴

（2）对应边相等、对应角相等（3）对应点的连线被对称轴垂直平分连接CE，则AD所在直线为CE的中垂线

易错点：

（1）对称轴是一条直线

（2）作图使用虚线

三点剖析

重难点：

轴对称作图问题反射问题，折叠问题考点：

轴对称作图问题，反射问题，折叠问题易错点：

①对称轴是一条直线，②作图需虚线，

③折叠前后的对应关系

第02讲_等腰三角形

知识图谱

第02讲_等腰三角形等腰三角形

等腰三角形

知识精讲

一、等腰三角形

等腰三角形

有两条边相等的三角形叫做等腰三

角形

性质

1．两个底角相等，两条腰相等．

2．三线合一：

（1）顶角角平分线、

（2）底边上的中线、

（3）底边上的高

（可直接使用）

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等

判定

三线合一逆定理：

一个三角形

（1）对角角平分线、

（2）该边上的中线、

（3）该边上的高有两条互相重合，则是等腰三角形（需简单证明）

二、思路点拨

等腰三角形边或者周长的计

算

注意三边关系的隐含条件

等腰、角平分线、平行

（1）△ABC是等腰三角形，

（2）AD∥BC（3）∠1=∠2以上三个结论知二推一（需简单证明）

三角形中角的2倍关系

三点剖析

重难点

1．等腰三角形的三线合一及其逆定理2．角平分线、平行线、等腰三角形知二推

3．等腰三角形与全等三角形综合问题考点

1．等腰三角形的性质和判定2．等腰三角形的三线合一及其逆定理3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推4．等腰三角形与全等三角形综合问题

易错点

1．等腰三角形边或者周长的计算问题容易忽略“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”这个隐含的限制条件2．等腰三角形的三线合一及可以直接使用，但是三线合一的逆定理需要证明之后才能用

3．角平分线、平行线、等腰三角形知二推一要非常熟练，在使用的时候是需要简单证明的，不可直接得出结论

第03讲_等边三角形

知识图谱

第03讲_等边三角形等边三角形

等边三角形

知识精讲

．等边三角形

等边三角形

（1）三条边都相等的三角形

（2）是一种特殊的等腰三角形

性质

三个内角都等于

判定

判定1：

三个角都相等的三角形是等边三角形

判定2：

有一个角是的等腰三

角形是等边三角形

在直角三角形中，如果一个锐角

直角三角形

等于，那么它所对的直角边等

性质定理

于斜边的一半

垂直平分，，

证明：

延长至使

，

是等边三角

形，，

非共线

手拉手

等腰直

角手拉

手

7）BH平分∠AHC；

8）AH=DH+BH；

9）CH=EH+BH；

三点剖析

一．考点：

1．等边三角形的性质与判定；2．直角三角形性质定理；3．等边三角形与全等三角形综合．

二．重难点：

1．等边三角形是特殊的等腰三角形，具有等腰三角形的所有性质．做题时常作为隐藏条件考察．

2．等边三角形的判定用定义判断的不多，一般都是利用有一个角是的等腰三角形是等边三角形

来判定，所以在构造全等是要注意同时兼顾边相等，并且可以推导出有一个角为60°．

3．等边三角形的性质非常特殊，在证明或计算中要注意边角之间的转化，尤其是含30°角的直角三

角形中边的关系．

4．在解决建立在等边三角形基础上的全等综合问题时，关键是抓住边相等，角度都是特殊角．

三．易错点：

在利用直角三角形性质定理的过程中，需要注意两点：

一是必须在直角三角形中才能运用，锐角三角

形和钝角三角形均不存在上述关系；二是一定要注意是所对的直角边等于斜边的一半．

第01讲_勾股定理

知识图谱

第01讲_勾股定理勾股定理的证明勾股定理的逆定理

勾股定理的证明

知识精讲一．勾股定理

定理

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么．

举例

如图，在中，的

对边分别用字母a、b、c来表示，

则有：

其中，当时，则有斜边

变形

，，．

证明方法

二：

（等面

积法）

证明方法

三：

（总统

证法）

三．易错点：

1.运用勾股定理求直角三角形边长时，注意分清直角边和斜边，采用正确的

计算公式。

如∠C=90°时，公式为，∠A=90°时，公式为

，∠B=90°时，公式为

2.计算结果注意开平方，开方要彻底，如或化简不完全

3.注意隐含条件。

如已知直角三角形的两边长为3cm,4cm，求第三边长。

不能理所当然的认为3cm,4cm为直角边，应考虑多种情况，3cm一定为直角边，但4cm可能为直角边，也可能为斜边

4.忽视判勾股定理

断三角形形状。

不确定该三角形是否为直角三角形时，不可以使用

三点剖析

一．考点：

1．勾股定理的证明；2．勾股定理．

二．重难点：

熟悉勾股定理的证明过程，求直角三角形的边长．

三．易错点：

在运用勾股定理求直角三角形边长时，一定要注意分清直角边和斜边，采用正确的计算公式，并在计算后注意开平方．

勾股定理的逆定理

知识精讲

．勾股定理逆定理

序号

性质

图示

勾股定

如果三角形的三边长a，b，c满

理逆定

足，那么这个三角形是

理

直角三角形

勾股定理：

勾股定理与其逆定理

△ABC是直角三角形→

逆定理：

→△ABC是直角三角形

1.勾股数：

满足的三个

常用勾股数：

3、4、5；

勾股数

正整数

5、12、

6、8、

8、15、

13；

10；7、24、25；

17；9、40、41

2.勾股数扩大相同倍数后，仍为勾

股数

二．易错点：

1.运用勾股定理判断三角形形状时，注意对直角的确定

如，Rt△ABC中，∠B=90°，a=5，b=12，求c的长

∵∠B=90°∴b=12为斜边，而不是长直角边

2.勾股数需要①满足勾股定理外，②满足是正整数

如，32、42、52并不满足勾股定理

虽然满足勾股定理，但并不都是正整数，因此不是一组勾股数

三点剖析

一．考点：

1．勾股定理逆定理；2．勾股数．

二．重难点：

掌握常用的勾股数，结合勾股定理逆定理利用线段长度可证明直角三角形．

三．易错点：

勾股数除了要满足勾股定理外，还需要满足是整数．

第02讲_勾股定理的应用及其逆定理

知识图谱

第02讲_勾股定理的应用及其逆定理勾股定理的应用勾股定理与实际问题

勾股定理的应用

知识精讲一．求线段长

求1．直接利用勾股定理：

已知直角三角形的两条边，求另外一条；2．通过设未知数，根据勾股定理列方程，解方程；

角形比例关系

图1中，

图2中，

等面积法求

已知，AD为∠CAB的角平分线，则CD=CE，AC=AE

已知AD、AC，根据勾股定理，可求出CD

直角三角形ABC中，折叠使点C与点A重合，则AE=CE，

C△ABE=AB+BC=9+12=21

折叠问题结合

网格与勾股定理辅助线构造直角

角

形

（1）与等腰三角形三线合一结合求各边长

上图等腰△ABC中，作AD⊥BC，构造出30°、60°、90°的特殊三角形

（2）作垂直构造直角三角形，并与特殊角结合下图中，已知任意一边长，可求出图中其他的边长

．勾股定理与最短距离

1.画出立体图形的展开图

1.圆柱体：

看做是多个最短路径的结合2.长方体：

展开侧面，连接A、B两点即可

三．两点间距离公式

在平面直角坐标系中，任意给定两点，．过点A、B分别向坐

标轴作垂线，则，

，由勾股定理可得，

．（初中阶段解答题中不能直接应用，如果需要，应提前

说明“由勾股定理得”）

四.易错点

1．“30所°对的直角边是斜边的一半”该定理仅在直角三角形中，在普通三角形中不能使用，可以证明该三角形为直角三角形或者通过辅助线构造直角三角形。

注意分清楚“所对的直角边”和“斜边

例：

如图，已知∠ABC=3°0，题中未指明∠BAC=9°0，所以不能想当然的使用勾股定理，

也不能使用“30所°对的直角边是斜边的一半

①证明∠BAC=9°0

②作AD⊥BC，构造直角三角形

三点剖析

一．考点：

1．求线段长；2．最短路径问题；3．两点之间距离公式．

二．重难点：

根据已知条件，分析相应图形，并选取合适的方法，求线段长．三．易错点：

1．在应用勾股定理的过程中，注意分清楚直角边和斜边，选择正确的公式来进行计算；

2．所对的直角边是斜边的一半，注意分清楚“所对的直角边”和“斜边”．

勾股定理与实际问题

知识精讲

一．勾股定理与实际问题

利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：

1．认真审题，读懂题目，理解题意；

2．根据题意，画出相应的几何图形，并在图中标出相应的数量关系；

3．根据几何图形和数量关系，解三角形，求出答案；

二．易错点

1.把实际问题转化成几何模型，注意已知条件和图形的对应关系三点剖析

一．考点：

勾股定理与实际问题．

．重难点：

利用勾股定理解决实际问题．

．易错点：

把实际问题转化成几何模型，注意已知条件和图形的对应关系．

第01讲_实数

知识图谱

第01讲_实数平方根立方根实数

平方根

知识精讲

一．平方根

定义

如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根．

表示

若，则就叫做的平方根，例：

，的平方根就是．

一个非负数的平方根可用符号表示为“”

特征

1．正数有两个平方根，且互为相反数，和为0；2．0的平方根只有一个，是它本身；3．负数没有平方根．

．算术平方根

概念

如果一个非负数x的平方等于a，即，那么非负数x是a

的算术平方根．

表示

a的算术平方根用表示．a叫做被开方数（）．

例：

，9叫做被开方数，3是9的算术平方根.

性质

双重非负性，在中有，．

三．开平方

概念

求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方．

意义

开平方与平方是互逆运算，可以通过平方运算来求一个数的平方根或算术平方根，以及检验一个数是不是另一个数的平方根或算术平方根．

1．当被开方数扩大（或缩小）倍，它的算术平方根相应地扩大（或

缩小）n倍（）．例：

1扩大100倍为100，它的平方根相应

性质

的变为10.

2．平方根和算术平方根与被开方数之间的关系：

若，则；

不管为何值，总有注意二者之间的区别及联

系．

四．易错点：

1．只有非负数才有平方根，负数没有平方根；

2．正数的平方根有两个，且互为相反数；

3．0的平方根和算术平方根都是0；

4．计算.例如，求的算术平方根，学生会错写为4，应该是2；

5．求一个带分数的平方根时，必须把带分数化为假分数.

三点剖析

一．考点：

算术平方根、平方根．

重难点：

算术平方根的双重非负性，常见平方数．

易错点：

只有非负数才有平方根；正数的平方根有两个，且互为相反数；0

的平方根和算术平方根都是0．

立方根

知识精讲

一．立方根

定义

如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根.例：

，那么叫做的立方根.

表示

若则就叫做的立方根，一个数的立方根可用符号表

“”，其中“”叫做根指数，不能省略．

例：

，此时2就叫做8的立方根.

特征

1．任意一个数都有立方根；

2．正数立方根是正值；3．负数的立方根是负值；4．0的立方根是0．

．开立方

定义

求一个数的立方根的运算

意义

开立方与立方是互逆运算，可以通过立方运算来求一个数的立方

根，以及检验一个数是不是另一个数的立方根．

性质

1．当被开方数（大于0）扩大（或缩小）倍，它的立方根相应地扩大（或缩小）倍．例：

1扩大1000倍变为1000，则它的立方

根由1变为10，扩大了10倍.

1．平方根“”其实省略了根指数“”，即：

也可以表示为，而立方根“的根指数“3不”能省略．

2．立方根等于本身的数有“”和“0”．3．两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数．

4．当两个数相等时这两个数的立方根相等，反过来，当两个数的立方根相等时，这两个数也相等．

5．求一个带分数的立方根时，必须把带分数化为假分数．

三点剖析一．考点：

立方根．二．重难点：

立方根的运算．三．易错点：

1．平方根“”其实省略了根指数“”，即：

也可以表示为，而立方

根“”的根指数“3不”能省略．

2．立方根等于本身的数有“”和“0”．

3．两个数互为相反数，则它们的立方根也互为相反数．

实数

知识精讲

一．无理数

无理数的概念：

无理数是无限不循环小数；常见的无理数有：

无限不循环小数（例如π），开方开不尽的数（例

如√5，3√7）．

二．实数的概念

概

概有理数和无理数统称为实数．

1．有理数都可以写成有限小数或循环小数的形式，都可以表示成分数qp的

形式；

性2．任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；例：

-1.5+3=1.5

3．两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数．如：

两个相同的无理数作减法则为04．无理数与有理数的和、差一定是无理数；

例：

5-√2经计算依旧是无理数

5．无理数乘或除以一个不为0的有理数结果一定是无理数例：

√2×3=3√2，其结果仍然是无理数.

6．任何实数与0的乘积都是有理数即0.

三．实数的分类

四．易错点：

1．只有非负数才有平方根，无理数是无限不循环小数，不能写成分数qp的形式，这里p、q是互质的整数，且p≠0；

2．实数与数轴上的点一一对应；

三点剖析

一．考点：

实数的概念和分类，实数的性质．

二．重难点：

实数的性质三．易错点：

1．无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式，这里、是互质的

整数，且．

2．实数与数轴上的点一一对应．

第02讲_实数的运算

知识图谱

第02讲_实数的运算实数的运算实数的比较大小

实数的运算

知识精讲

一.实数的运算

实数的运算法则

先算乘方开方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的．

定义新运算

近几年的中考题中出现了一类“定义新运算”型的题目，这类题目

以加、减、乘、除、乘方等运算为基础，定义了很多具有实际意义的新运算．这些新的运算及其符号，在中、小学课本中没有统一的定义及运算规律，其实质是给出了一种变换规则，以此考查同学们的思维应变能力和计算能力．解此类问题的关键是深刻理解所给的定义或规则，将它们转化成我们所熟悉的加、减、乘、除、乘方等运算．

二.易错点

1．运算顺序需要注意.

2．解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算．三点剖析

一．考点：

实数的运算，定义新运算．

二．重难点：

定义新运算．

三．易错点：

解答定义新运算题，关键是要正确地理解新定义的算式的含义，在计算时，严格按照规定的法则代入数值，然后转化为常规的四则运算算式进行计算．

实数的比较大小

知识精讲一．比较大小

对于任意两个实数a，b：

1．，则；

作差法

2．，则；

3．，则．

对于任意两个正实数a，b：

对于任意两个负实数a，b：

1．，则；

1．，则；

作商法

2．，则；

2．，则；

3．，则．

3．，则．

对于任意两个同号的实数a

，b：

倒数法

1．若a，b同为正，，

则；

2．若a，b同为负，，则．

平方法

对于任意两个同号的实数a，b、：

1．若a，b同为正，，则；

2．若a，b同为负，，则．

特殊值法

用特殊值法比较实数大小的基本思路是：

根据题意设出适当的值，代入，比较代入后的值的大小．

估算法

用估算法比较实数大小的基本思路是：

对任意两个实数a，b，先估算出两实数的范围，再进行比较．

精确估算

法

1．根据估算法，确定该无理数在哪两个整数之间.

2．比较该无理数和两个整数中点值的大小.

3．大于中点值更接近较大数，小于中点值更接近较小数.

二．易错点

1．对于作商法，倒数法，平方法，要注意正实数所得出的结论与负实数所得出的结论相反．

2．最接近的整数是几？

由估算法可知，，为进一步确定最接近4还是5，我们只需要比较和4.5的大小，

第01讲_平面直角坐标系

知识图谱

第01讲_平面直角坐标系平面直角坐标系

平面直角坐标系

知识精讲

一．有序数对

定义：

用含有两个数的词表示一个确定的位置，其中各个数表示不同的含义，

我们把这种有顺序的两个数与组成的数对，叫做有序数对，记作．

二．平面直角坐标系的相关概念

概念

平面直角坐

由平面内两条互相垂直，原点重合的数轴组成

标系

x轴（横轴）

水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右方向为正方向

y轴（纵轴）

竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上方向为正方向

象限

在直角坐标系中，两条坐标轴把平面分成四个区域，按逆时针顺序分别称为第一、二、三、四象限

如图坐标系中的点P，从点P分别向x轴和y轴作垂线，垂足分别为M和N，这时点M在x轴上对应的数称为点P的横坐标（图中点P的横坐标为3），

点N在y轴上对应的数称为点P的纵坐标（图中点P的纵坐标为2），

依次写出点P的横、纵坐标得到一对有序数对，称为点P的

坐标，

表示

则点P可记作．同理，我们可以得到Q点的坐标．

三．坐标系内点的特征

1．点在第一象限；即：

横纵坐标同号

各象限内点

2．点在第二象限；即：

横纵坐标异号

的坐标特征

3．点在第三象限；；即：

横纵坐标同号

4．点在第四象限．即：

横纵坐标异号

1．点在轴上，为任意实数；

坐标轴上点

即：

x轴上的点，横坐标为0

的坐标特征

2．点在轴上，为任意实数；

即：

y轴上的点，纵坐标为0

3．点既在轴上，又在轴上，即点为坐标原点．

一、三象限，二、四象限角平分线上点的坐标特征

1．点在第一、三象限夹角的角平分线上；即：

横纵坐标相等

2．点在第二、四象限夹角的角平分线上，即即：

横纵坐标互为相反数

对称点的坐标特征

1．点关于轴的对称点是，

即：

横坐标不变，纵坐标变为其相反数．

2．点关于轴的对称点是，

即：

纵坐标不变，横坐标变为其相反数．

3．点关于坐标原点的对称点是，即：

横坐标变为其相反数，纵坐标也变为其相反数.

四．易错点：

1．对有序数对是强调顺序的，a与b表示不同