不等式组的应用方案问题.docx
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不等式组的应用方案问题
不等式（组）的应用——方案问题
一．解答题（共12小题）
1．（2014•舟山）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
2．（2014•台湾）小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？
请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．
3．（2014•湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
4．（2014•南宁）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
哪种购车方案总费用最少？
最少总费用是多少？
5．（2014•福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
6．（2014•齐齐哈尔）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在
（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？
（成本=材料费+加工费）
7．（2014•黄石）某校九（3）班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：
花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．（假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等）
种植户
玫瑰花种植面积（亩）
蓑衣草种植面积（亩）
卖花总收入（元）
甲
5
3
33500
乙
3
7
43500
（1）试求玫瑰花，蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少？
（2）甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积（两种花的种植面积均为整数亩），花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127500元，则他们有几种种植方案？
8．（2014•开封二模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？
并直接写出其中获利最大的购货方案．
9．（2014•道里区三模）我市为创建全国卫生城市，有关部门计划购买甲、乙两种名贵树苗，栽种在入城大道的两侧，已知买甲种树苗、乙种树苗各1棵共需220元；买甲种树苗3棵，乙种树苗1棵共需420元，资料提示：
甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．
（1）购买两种树苗每棵各需多少元；
（2）市相关部门研究决定：
购买甲、乙两种树苗共800棵，购买树苗的钱数不得超过86500元，且这批树苗的成活率不低于92%，共有多少种购买方案？
（3）直接写出最省钱的购买方案及此时买树苗的费用．
10．（2014•昌宁县二模）某商店欲购进甲、乙两种商品，已知购进的甲商品的单价是乙商品的一半，进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元，该商店决定用不少于6710元且不超过6810元购进这两种商品共100件．
（1）求购进的这两种商品的单价．
（2）该商店有哪几种进货方案？
11．（2014•牡丹江一模）为响应“大课间”活动，某学校准备购买棒球和篮球共200个，已知棒球每个55元，篮球每个95元，学校计划至少投入资金18200元，但不多于18300元．
（1）学校有多少种购买方案；
（2）哪种购买方案使学校投入资金最少？
（3）当学校按
（2）的方案买回200个球在“大课间”投入使用后，学校领导根据实际情况发现还应同时购买足球和大绳若干，来补充“大课间”活动，所以又投入资金2880元，若每个足球80元，每条大绳30元，则在钱全部用尽的情况下有多少种购买方法，请直接写出购买方法的种数．
12．（2014•濮阳一模）某中学计划购买A，B两种型号的课桌凳，已知一套A型课桌凳比一套B型课桌凳少40元，且购买5套A型和1套B型共需1000元．
（1）购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需要多少元？
（2）学校根据实际情况计划购买A，B两种型号的共100套，且购买课桌凳的总费用不超过18480元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳数量的
，求该校本次购买A型和B型课桌凳共有几种方案？
哪种方案的总费用最低？
不等式（组）的应用——方案问题
参考答案与试题解析
一．解答题（共12小题）
1．（2014•舟山）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车．上周售出1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元；本周已售出2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元．
（1）求每辆A型车和B型车的售价各为多少元．
（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元．则有哪几种购车方案？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则等量关系为：
1辆A型车和3辆B型车，销售额为96万元，2辆A型车和1辆B型车，销售额为62万元；
（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则根据“购买A，B两种型号的新能源汽车共6辆，购车费不少于130万元，且不超过140万元”得到不等式组．
解答：
解：
（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元、y万元．则
，
解得
．
答：
每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；
（2）设购买A型车a辆，则购买B型车（6﹣a）辆，则依题意得
，
解得2≤a≤3
．
∵a是正整数，
∴a=2或a=3．
∴共有两种方案：
方案一：
购买2辆A型车和4辆B型车；
方案二：
购买3辆A型车和3辆B型车．
点评：
本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
2．（2014•台湾）小佳的老板预计订购5盒巧克力，每盒颗数皆相同，分给工作人员，预定每人分15颗，会剩余80颗，后来因经费不足少订了2盒，于是改成每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗）．请问所有可能的工作人员人数为何？
请完整写出你的解题过程及所有可能的答案．
考点：
一元一次不等式组的应用．
分析：
设该公司的工作人员为x人．则每盒巧克力的颗数是
，根据不等关系：
每人分12颗，但最后分到小佳时巧克力不够分，只有小佳拿不到12颗，但她仍分到3颗以上（含3颗），列不等式组．
解答：
解：
设该公司的工作人员为x人．则
，
解得16＜x≤19．
因为x是整数，
所以x=17，18，19．
答：
所有可能的工作人员人数是17人、18人、19人．
点评：
本题考查了一元一次不等式组的应用．解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
3．（2014•湘潭）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表：
A型
B型
价格（万元/台）
12
10
月污水处理能力（吨/月）
200
160
经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．
（1）该企业有几种购买方案？
（2）哪种方案更省钱，说明理由．
考点：
一元一次不等式组的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，根据企业最多支出89万元购买设备，要求月处理污水能力不低于1380吨，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．
（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．
解答：
解：
设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台，
根据题意，得
，
解这个不等式组，得：
2.5≤x≤4.5．
∵x是整数，
∴x=3或x=4．
当x=3时，8﹣x=5；
当x=4时，8﹣x=4．
答：
有2种购买方案：
第一种是购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；
第二种是购买4台A型污水处理设备，4台B型污水处理设备；
（2）当x=3时，购买资金为12×3+10×5=86（万元），
当x=4时，购买资金为12×4+10×4=88（万元）．
因为88＞86，
所以为了节约资金，应购污水处理设备A型号3台，B型号5台．
答：
购买3台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备更省钱．
点评：
本题考查了一元一次不等式组的应用，本题是“方案设计”问题，一般可把它转化为求不等式组的整数解问题，通过表格获取相关信息，在实际问题中抽象出不等式组是解决这类问题的关键．
4．（2014•南宁）“保护好环境，拒绝冒黑烟”．某市公交公司将淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的公交车，计划购买A型和B型两种环保节能公交车共10辆，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元．
（1）求购买A型和B型公交车每辆各需多少万元？
（2）预计在该线路上A型和B型公交车每辆年均载客量分别为60万人次和100万人次．若该公司购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次，则该公司有哪几种购车方案？
哪种购车方案总费用最少？
最少总费用是多少？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题：
优选方案问题．
分析：
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，根据“A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需400万元；A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需350万元”列出方程组解决问题；
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由“购买A型和B型公交车的总费用不超过1200万元”和“10辆公交车在该线路的年均载客总和不少于680万人次”列出不等式组探讨得出答案即可．
解答：
解：
（1）设购买A型公交车每辆需x万元，购买B型公交车每辆需y万元，由题意得
，
解得
答：
设购买A型公交车每辆需100万元，购买B型公交车每辆需150万元．
（2）设购买A型公交车a辆，则B型公交车（10﹣a）辆，由题意得
，
解得：
6≤a≤8，
所以a=6，7，8；
则（10﹣a）=4，3，2；
三种方案：
①购买A型公交车6辆，则B型公交车4辆：
100×6+150×4=1200万元；
②购买A型公交车7辆，则B型公交车3辆：
100×7+150×3=1150万元；
③购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆：
100×8+150×2=1100万元；
购买A型公交车8辆，则B型公交车2辆费用最少，最少总费用为1100万元．
点评：
此题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组或不等式组解决问题．
5．（2014•福州）现有A，B两种商品，买2件A商品和1件B商品用了90元，买3件A商品和2件B商品用了160元．
（1）求A，B两种商品每件各是多少元？
（2）如果小亮准备购买A，B两种商品共10件，总费用不超过350元，但不低于300元，问有几种购买方案，哪种方案费用最低？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题：
优选方案问题．
分析：
（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，根据关系式列出二元一次方程组．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件，根据关系式列出二元一次不等式方程组．求解再比较两种方案．
解答：
解：
（1）设A商品每件x元，B商品每件y元，
依题意，得
，
解得
．
答：
A商品每件20元，B商品每件50元．
（2）设小亮准备购买A商品a件，则购买B商品（10﹣a）件
解得5≤a≤6
根据题意，a的值应为整数，所以a=5或a=6．
方案一：
当a=5时，购买费用为20×5+50×（10﹣5）=350元；
方案二：
当a=6时，购买费用为20×6+50×（10﹣6）=320元；
∵350＞320
∴购买A商品6件，B商品4件的费用最低．
答：
有两种购买方案，方案一：
购买A商品5件，B商品5件；方案二：
购买A商品6件，B商品4件，其中方案二费用最低．
点评：
此题主要考查二元一次方程组及二元一次不等式方程组的应用，根据题意得出关系式是解题关键．
6．（2014•齐齐哈尔）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．
（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元，且生产B产品不少于38件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？
（3）在
（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，使生产这60件产品的成本最低？
（成本=材料费+加工费）
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，根据购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元，可列出方程组
，解方程组即可得到甲材料每千克25元，乙材料每千克35元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（60﹣m）件，先表示出生产这60件产品的材料费为25×4m+35×1m+25×3（60﹣m）+35×3（60﹣m）=﹣45m+10800，根据购买甲、乙两种材料的资金不超过9900元得到﹣45m+10800≤9900，根据生产B产品不少于38件得到60﹣m≥38，然后解两个不等式求出其公共部分得到20≤m≤22，而m为整数，则m的值为20，21，22，易得符合条件的生产方案；
（3）设总生产成本为W元，加工费为：
40m+50（60﹣m），根据成本=材料费+加工费得到W=﹣45m+10800+40m+50（60﹣m）=﹣55m+13800，根据一次函数的性质得到W随m的增大而减小，然后把m=22代入，即可得到最低成本的生产方案．
解答：
解：
（1）设甲材料每千克x元，乙材料每千克y元，
则
，解得
，
所以甲材料每千克25元，乙材料每千克35元；
（2）设生产A产品m件，生产B产品（60﹣m）件，则生产这60件产品的材料费为
25×4m+35×1m+25×3（60﹣m）+35×3（60﹣m）=﹣45m+10800，
由题意：
﹣45m+10800≤9900，解得m≥20，
又∵60﹣m≥38，解得m≤22，
∴20≤m≤22，
∴m的值为20，21，22，
共有三种方案：
①生产A产品20件，生产B产品40件；
②生产A产品21件，生产B产品39件；
③生产A产品22件，生产B产品38件；
（3）设生产A产品m件，总生产成本为W元，加工费为：
40m+50（60﹣m），
则W=﹣45m+10800+40m+50（60﹣m）=﹣55m+13800，
∵﹣55＜0，
∴W随m的增大而减小，
而m=20，21，22，
∴当m=22时，总成本最低．
答：
选择生产A产品22件，生产B产品38件，总成本最低．
点评：
本题考查了一次函数的应用：
通过实际问题列出一次函数关系式，然后根据一次函数的性质解决问题．也考查了二元一次方程组以及一元一次不等式组的应用．
7．（2014•黄石）某校九（3）班去大冶茗山乡花卉基地参加社会实践活动，该基地有玫瑰花和蓑衣草两种花卉，活动后，小明编制了一道数学题：
花卉基地有甲乙两家种植户，种植面积与卖花总收入如下表．（假设不同种植户种植的同种花卉每亩卖花平均收入相等）
种植户
玫瑰花种植面积（亩）
蓑衣草种植面积（亩）
卖花总收入（元）
甲
5
3
33500
乙
3
7
43500
（1）试求玫瑰花，蓑衣草每亩卖花的平均收入各是多少？
（2）甲、乙种植户计划合租30亩地用来种植玫瑰花和蓑衣草，根据市场调查，要求玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积（两种花的种植面积均为整数亩），花卉基地对种植玫瑰花的种植给予补贴，种植玫瑰花的面积不超过15亩的部分，每亩补贴100元；超过15亩但不超过20亩的部分，每亩补贴200元；超过20亩的部分每亩补贴300元．为了使总收入不低于127500元，则他们有几种种植方案？
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题：
应用题．
分析：
（1）设玫瑰花，蓑衣草的亩平均收入分别为x，y元，根据表格中的等量关系列出方程组求解；
（2）设种植玫瑰花m亩，则种植蓑衣草面积为（30﹣m）亩，根据玫瑰花的种植面积大于蓑衣草的种植面积，可得m＞15，然后分段讨论求解．
解答：
解：
（1）设玫瑰花，蓑衣草的亩平均收入分别为x，y元，
依题意得：
，
解得：
．
答：
玫瑰花每亩的收入为4000元，蓑衣草每亩的平均收入是4500元．
（2）设种植玫瑰花m亩，则种植蓑衣草面积为（30﹣m）亩，
依题意得：
m＞30﹣m，
解得：
m＞15，
当15＜m≤20时，总收入w=4000m+4500（30﹣m）+15×100+（m﹣15）×200≥127500，
解得：
15＜m≤20，
当m＞20时，总收入w=4000m+4500（30﹣m）+15×100+5×200+（m﹣20）×300≥127500，
解得：
m≤20，（不合题意），
综上所述，种植方案如下：
种植类型
种植面积（亩）
方案一
方案二
方案三
方案四
方案五
玫瑰花
16
17
18
19
20
蓑衣草
14
13
12
11
10
点评：
本题考查了二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系与不等关系．
8．（2014•开封二模）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？
（2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？
并直接写出其中获利最大的购货方案．
考点：
一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的应用．
专题：
方案型；图表型．
分析：
（1）等量关系为：
甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100．
（2）设出所需未知数，甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．
解答：
解：
（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件．
根据题意得：
．（1分）
解得：
．（2分）
答：
甲种商品购进100件，乙种商品购进60件．（1分）
（2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件．
根据题意得
．（2分）
解不等式组，得65＜a＜68．（2分）
∵a为非负整数，∴a取66，67．
∴160﹣a相应取94，93．（1分）
方案一：
甲种商品购进66件，乙种商品购进94件．
方案二：
甲种商品购进67件，乙种商品购进93件．
答：
有两种购货方案，其中获利最大的是方案一．（1分）
点评：
解决本题的关键是读懂题意，找到所求量的等量关系及符合题意的不等关系式组：
甲件数+乙件数=160；甲总利润+乙总利润=1100．甲进价×甲数量+乙进价×乙数量＜4300；甲总利润+乙总利润＞1260．
9．（2014•道里区三模）我市为创建全国卫生城市，有关部门计划购买甲、乙两种名贵树苗，栽种在入城大道的两侧，已知买甲种树苗、乙种树苗各1棵共需220元；买甲种树苗3棵，乙种树苗1棵共需420元，资料提示：
甲、乙两种树苗的成活率分别为90%和95%．
（1）购买两种树苗每棵各需多少元；
（2）市相关部门研究决定：
购买甲、乙两种树苗共800棵，购买树苗的钱数不得超过86500元，且这批树苗的成活率不低于92%，共有多少种购买方案？
（3）直接写出最省钱的购买方案及此时买树苗的费用．
考点：
一元一次不等式组的应用．
分析：
（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵需y元，根据买甲种树苗、乙种树苗各1棵共需220元；买甲种树苗3棵，乙种树苗1棵共需420元，列出方程，求出方程的解即可；
（2）先找到关键描述语购买树苗的钱数不得超过86500元和这批树苗的成活率不低于92%”进而找到所求的量的数量关系，列出不等式求出甲种树苗的取值范围，即可求出购买方案；
（3）根据
（2）得出的购买方案和
（1）得出的甲种树苗和乙种树苗的价格，即可得出答案．
解答：
解：
（1）设甲种树苗每棵x元，乙种树苗每棵需y元，根据题意得：
，
解得：
，
答：
甲种树苗每棵100元，乙种树苗每棵需120元；
（2）设购买甲树苗a
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