高考理科数学直线与圆圆与圆的位置关系复习教案.docx

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高考理科数学直线与圆圆与圆的位置关系复习教案

2013高考理科数学直线与圆、圆与圆的位置关系复习教案

2013年高考第一轮复习数学北师（江西版）理第八84　直线与圆、圆与圆的位置关系

考纲要求

1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系．

2．能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系．

3．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．

4．初步了解用代数方法处理几何问题的思想．

．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置，会推导空间两点间的距离公式．知识梳理

1．直线与圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系有三种：

____、____、____

判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法：

①代数法：

把直线方程与圆的方程联立方程组，消去x或整理成一元二次方程后，计算判别式Δ＝b2－4a>0⇔　　，＝0⇔　　，<0⇔　　

②几何法：

利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系：

d＜r⇔____，

d＝r⇔____，

d＞r⇔____

（2）圆的切线方程：

若圆的方程为x2＋2＝r2，点P（x0，0）在圆上，则过P点且与圆x2＋2＝r2相切的切线方程为____________．

注：

点P必须在圆x2＋2＝r2上．

经过圆（x－a）2＋（－b）2＝r2上点P（x0，0）的切线方程为______________．

经过圆x2＋2＋Dx＋E＋F＝0上点P（x0，0）的切线方程为__________．

（3）直线与圆相交：

直线与圆相交时，若l为弦长，d为弦心距，r为半径，则有r2＝______，即l＝2r2－d2，求弦长或已知弦长求其他量的值，一般用此公式．

2．圆与圆的位置关系

（1）圆与圆的位置关系可分为五种：

_____、_____、_____、_____、_____

（2）判断圆与圆的位置关系常用方法：

①几何法：

设两圆圆心分别为1，2，半径为r1，r2（r1≠r2），则|12|＞r1＋r2⇔____；|12|＝r1＋r2⇔____；|r1－r2|＜|12|＜r1＋r2⇔____；|12|＝|r1－r2|⇔____；|12|＜|r1－r2|⇔____

②代数法：

方程组x2＋2＋D1x＋E1＋F1＝0，x2＋2＋D2x＋E2＋F2＝0，

有两组不同的实数解⇔两圆____；

有两组相同的实数解⇔两圆____；

无实数解⇔两圆相离或内含．

3．在空间直角坐标系中，叫做坐标原点，x，，z轴统称为坐标轴，由坐标轴确定的平面叫做坐标平面．这儿所说的空间直角坐标系是空间右手直角坐标系：

即伸开右手，使拇指指向______轴的正方向，食指指向______轴的正方向，中指指向______轴的正方向．也可这样建立坐标系：

令z轴的正方向竖直向上，先确定x轴的正方向，再将其按逆时针方向旋转90°就是轴的正方向．

4．空间点的坐标

设点P（x，，z）为空间坐标系中的一点，则

（1）关于原点的对称点是______；

（2）关于x轴的对称点是______；（3）关于轴的对称点是______；（4）关于z轴的对称点是______；（）关于x坐标平面的对称点是______；（6）关于z坐标平面的对称点是______；（7）关于xz坐标平面的对称点是______．

．空间两点间的距离

设A（x1，1，z1），B（x2，2，z2），则|AB|＝__________

基础自测

1．在下列直线中，与圆x2＋2＋23x－2＋3＝0相切的直线是（　　）．

A．x＝0B．＝0

．x－＝0D．x＋＝0

2．两圆x2＋2－2＝0与x2＋2－4＝0的位置关系是（　　）．

A．相交B．内切

．外切D．内含

3．直线l：

＝（x－2）＋2与圆：

x2＋2－2x－2＝0有两个不同的公共点，则的取值范围是（　　）．

A．（－∞，－1）B．（－1,1）．（－1，＋∞）D．（－∞，－1）∪（－1，＋∞）

4．圆心在原点且与直线x＋－2＝0相切的圆的方程为________．

．直线l：

＝（x＋3）与圆：

x2＋2＝4交于A，B两点，|AB|＝22，则实数＝__________

6．已知A（x,2,3），B（,4,7），且|AB|＝6，则x的值为__________．

思维拓展

1．在判断直线与圆相交时，当直线方程和圆的方程都含有字母时，如何判断？

提示：

若给出的方程都含有字母，利用代数法和几何法有时比较麻烦，这时只要说明直线过圆内的定点即可．

2．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？

提示：

①首先判断点与圆的位置关系，若点在圆上，该点即为切点，则切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条；若点在圆内，无切线．②若求出的切线条数与判断不一致，则可能漏掉了切线斜率不存在的情况了．一、直线与圆的位置关系

【例1】点（a，b）是圆x2＋2＝r2内异于圆心的一点，则直线ax＋b＝r2与圆的交点个数为（　　）．

A．0B．1．2D．需要讨论确定

方法提炼直线与圆的位置关系有两种判定方法：

代数法与几何法．由于几何法一般比代数法计算量小，简便快捷，所以更容易被人接受．同时，由于它们的几何性质非常明显，所以利用数形结合，并充分考虑有关性质会使问题处理起更加方便．

请做[针对训练]4

二、直线与圆相交问题

【例2－1】过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋2－4＝0所截得的弦长为（　　）．

A．3B．2．6D．23

【例2－2】已知点P（0,）及圆：

x2＋2＋4x－12＋24＝0若直线l过点P且被圆截得的弦长为43，求l的方程．

方法提炼直线与圆相交求弦长有两种方法：

（1）代数方法：

将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系求弦长．弦长公式l＝1＋2•|x1－x2|＝（1＋2）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝1＋2•Δ|a|其中a为一元二次方程中的二次项系数．

（2）几何方法：

若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2r2－d2

代数法计算量较大，我们一般选用几何法．

请做[针对训练]1

三、圆的切线问题

【例3】从圆（x－1）2＋（－1）2＝1外一点P（2,3）向该圆引切线，求切线方程．

方法提炼求圆的切线方程，一般设为点斜式方程．首先判断点是否在圆上，如果过圆上一点，则有且只有一条切线，如果过圆外一点，则有且只有两条切线．若利用点斜式方程求得过圆外一点的切线只有一条，则需结合图形把斜率不存在的那条切线补上．

请做[针对训练]

四、圆与圆的位置关系

【例4－1】已知圆1：

x2＋2－2x＋4＋2－＝0，圆2：

x2＋2＋2x－2＋2－3＝0，为何值时，

（1）圆1与圆2外切；

（2）圆1与圆2内含．

【例4－2】已知圆的圆心在直线x－－4＝0上，并且通过两圆1：

x2＋2－4x－3＝0和2：

x2＋2－4－3＝0的交点，

（1）求圆的方程；

（2）求两圆1和2相交弦所在直线的方程．

方法提炼1．判断两圆的位置关系，通常是用几何法，从圆心距d与两圆半径长的和、差的关系入手．如果用代数法，从交点个数也就是方程组解的个数判断，但有时不能得到准确结论．

2．若所求圆过两圆的交点，则可将圆的方程设为过两圆交点的圆系方程1＋λ2＝0（λ≠－1）．

3．利用两圆方程相减即可得到相交弦所在直线的方程．

请做[针对训练]2

五、空间直角坐标系

【例－1】在空间直角坐标系中，已知点A（1,0,2），B（1，－3,1），点在轴上，且到A与B的距离相等，则的坐标是__________．

【例－2】求点A（1,2，－1）关于x轴及坐标平面x的对称点B，的坐标，以及B，两点间的距离．

方法提炼求某点关于某轴的对称点时，“关于谁对称谁不变”，如点（x，，z）关于x轴的对称点是（x，－，－z）；求某点关于某平面的对称点时，“缺哪个变哪个”，如点（x，，z）关于平面x的对称点是（x，，－z）；点（x，，z）关于原点的对称点是（－x，－，－z）．

请做[针对训练]3考情分析

通过分析近几年的高考试题，可以看到对于本节内容，主要是考查直线与圆的位置关系，以选择题、填空题为主，题目难度适中，着重于基础知识、基本方法的考查．整个命题过程主要侧重以下几点：

（1）直线与圆、圆与圆的位置关系是考查的重点，特别是直线与圆的位置关系；

（2）圆中几个重要的度量关系．在直线与圆的位置关系中，弦心距、半弦长、半径构成的直角三角形是解决问题的核心；在切线问题中，切线长、半径、圆外的点与圆心的连线构成的直角三角形是解决切线问题的载体．

针对训练

1．过原点的直线与圆x2＋2－2x－4＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为__________．

2．若圆x2＋2＝4与圆x2＋2＋2a－6＝0（a＞0）的公共弦长为23，则a＝________

3．已知在空间中有△AB，其中A（1，－2，－3），B（－1，－1，－1），（0,0，－），则△AB的面积等于__________．

4．已知圆x2＋2＝2和直线＝x＋b，当b为何值时，圆与直线

（1）有两个公共点；

（2）只有一个公共点；

（3）没有公共点．

．自点A（－3,3）发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋2－4x－4＋7＝0相切，如图所示，求光线l所在直线的方程．

参考答案

基础梳理自测

知识梳理

1．

（1）相切　相交　相离　①相交　相切　相离　②相交　相切　相离

（2）x0x＋0＝r2　（x0－a）（x－a）＋（0－b）（－b）＝r2　x0x＋0＋D•x0＋x2＋E•＋02＋F＝0　（3）d2＋l22

2．

（1）相离　外切　相交　内切　内含

①相离　外切　相交　内切　内含　②相交　相切

3．x　　z

4．（－x，－，－z）　（x，－，－z）　（－x，，－z）　（－x，－，z）　（x，，－z）　（－x，，z）　（x，－，z）

．（x1－x2）2＋（1－2）2＋（z1－z2）2

基础自测

1．B　解析：

将圆的方程化为标准方程为（x＋3）2＋（－1）2＝1，分别结合图形及通过求解圆心到直线距离与半径的关系易得B选项正确（A，B选项均通过作图可直观判断）．

2．B　解析：

两圆方程可化为x2＋（－1）2＝1，x2＋2＝4两圆圆心分别为1（0,1），2（0,0），半径分别为r1＝1，r2＝2

∵|12|＝1＝r2－r1，∴两圆内切．

3．D　解析：

由题意知，圆心（1,1）到直线l的距离d＝|－1－2＋2|2＋1＜2，解得≠－1，故的取值范围是（－∞，－1）∪（－1，＋∞）．

4．x2＋2＝2　解析：

圆心（0,0）到直线x＋－2＝0的距离d＝|－2|12＋12＝2

∴圆的方程为x2＋2＝2

．±147　解析：

由已知可求出圆心到直线l的距离d＝2，即|3|1＋2＝2，解得＝±147

6．1或9　解析：

由空间两点间的距离公式，得（x－）2＋（2－4）2＋（3－7）2＝6，

即（x－）2＝16，解得x＝1或x＝9

考点探究突破

【例1】A　解析：

由题意知a2＋b2＜r2，

所以圆心（0,0）到直线ax＋b－r2＝0的距离d＝r2a2＋b2＞r，

即直线与圆相离，无交点．

【例2－1】D　解析：

直线方程为＝3x，圆的方程可化为x2＋（－2）2＝4

圆心（0,2），半径长r＝2

圆心到直线＝3x的距离d＝1

则弦长为2r2－d2＝23

【例2－2】解：

圆的方程可化为（x＋2）2＋（－6）2＝16，圆心（－2,6），半径长r＝4

又直线l被圆截得的弦长为43，

所以圆心到直线l的距离d＝42－（23）2＝2

当直线l的斜率不存在时，直线方程为x＝0，此时符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线方程为－＝x，即x－＋＝0

由|－2－6＋|2＋1＝2，得＝34，

此时l的方程为34x－＋＝0，即3x－4＋20＝0故所求直线方程为x＝0或3x－4＋20＝0

【例3】解：

当切线斜率存在时，设切线方程为－3＝（x－2），即x－＋3－2＝0

∵圆心为（1,1），半径长r＝1，

∴|－1＋3－2|2＋（－1）2＝1，∴＝34

∴所求切线方程为－3＝34（x－2），

即3x－4＋6＝0

当切线斜率不存在时，因为切线过点P（2,3），且与x轴垂直，此时切线的方程为x＝2

【例4－1】解：

对于圆1与圆2的方程，经配方后得

1：

（x－）2＋（＋2）2＝9；

2：

（x＋1）2＋（－）2＝4

（1）如果1与2外切，则有（＋1）2＋（＋2）2＝3＋2

（＋1）2＋（＋2）2＝2即2＋3－10＝0，解得＝－，或＝2

（2）如果1与2内含，则有（＋1）2＋（＋2）2＜3－2

（＋1）2＋（＋2）2＜1，2＋3＋2＜0，

解得－2＜＜－1

∴当＝－，或＝2时，圆1与圆2外切；当－2＜＜－1时，圆1与圆2内含．

【例4－2】解：

（1）因为所求的圆过两已知圆的交点，

故设此圆的方程为x2＋2－4x－3＋λ（x2＋2－4－3）＝0，（λ≠－1，λ∈R），即（1＋λ）（x2＋2）－4x－4λ－3λ－3＝0，即x2＋2－4x1＋λ－4λ1＋λ－3＝0，圆心为21＋λ，2λ1＋λ

由于圆心在直线x－－4＝0上，

∴21＋λ－2λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－13，

所求圆的方程为x2＋2－6x＋2－3＝0

（2）将圆1和圆2的方程相减，得x－＝0，此即相交弦所在直线的方程．

【例－1】（0，－1,0）　解析：

设（0，,0），由（1－0）2＋（0－）2＋（2－0）2＝（1－0）2＋（－3－）2＋（1－0）2，

解得＝－1，故（0，－1,0）．

【例－2】解：

易知B（1，－2,1），（1,2,1）．

所以|B|＝

（1－1）2＋（－2－2）2＋（1－1）2＝4

演练巩固提升

针对训练

1．2x－＝0　解析：

圆的方程可化为（x－1）2＋（－2）2＝1，可知圆心为（1,2），半径为1

设直线方程为＝x，则圆心到直线的距离为d＝|－2|1＋2，故有|－2|1＋2＝0，解得＝2故直线方程为＝2x，即2x－＝0

2．1　解析：

依题，画出两圆位置如下图，公共弦为AB，交轴于点，连接A，则|A|＝2两圆方程相减，得2a＝2，解得＝1a，

∴||＝1a

又公共弦长为23，∴|A|＝3

于是，由Rt△A可得2＝A2－A2，即1a2＝22－（3）2，

整理得a2＝1，又a＞0，∴a＝13．92　解析：

根据空间中两点间的距离公式可得：

|AB|＝（1＋1）2＋（－2＋1）2＋（－3＋1）2＝3，

|B|＝（－1－0）2＋（－1－0）2＋（－1＋）2＝32

|A|＝（1－0）2＋（－2－0）2＋（－3＋）2＝3

因为|AB|＝|A|，且|AB|2＋|A|2＝|B|2，

所以△AB是以A为直角的等腰直角三角形，故其面积S＝12|AB||A|＝12×3×3＝92

4．解：

方法一：

圆心（0,0）到＝x＋b的距离d＝|b|2，圆的半径长r＝2

（1）d＜r，即－2＜b＜2时，直线与圆相交，有两个公共点；

（2）d＝r，即b＝2或b＝－2时，直线与圆相切，有一个公共点；

（3）d＞r，即b＞2或b＜－2时，直线与圆相离，没有公共点．

方法二：

把直线＝x＋b与圆的方程x2＋2＝2联立，即＝x＋b，x2＋2＝2，消去，整理得2x2＋2bx＋b2－2＝0

再利用△＞0，△＝0，△＜0，分别确定b的取值，结论同“方法一”．

．解法一：

设入射光线l所在直线方程为－3＝（x＋3）．因为点A关于x轴的对称点为A′（－3，－3），所以反射光线所在直线经过点A′又∵光线的入射角等于反射角，

∴反射光线所在直线的方程为

x＋＋3＋3＝0

∵反射光线与圆x2＋2－4x－4＋7＝0相切，

∴|2＋2＋3＋3|2＋1＝1，解得＝－34，或＝－43∴入射光线l所在的直线方程为－3＝－34（x＋3），或－3＝－43（x＋3），

即3x＋4－3＝0，或4x＋3＋3＝0

解法二：

圆：

x2＋2－4x－4＋7＝0关于x轴的对称圆′的方程为x2＋2－4x＋4＋7＝0

因入射光线经x轴反射后与圆相切，则入射光线所在直线与圆′相切．

设l：

－3＝（x＋3），即x－＋3＋3＝0

∵圆′的圆心（2，－2）到l的距离与半径长相等，∴|2＋2＋3＋3|2＋1＝1，

∴＝－34，或＝－43

∴入射光线所在直线方程为

3x＋4－3＝0，或4x＋3＋3＝0