广东省汕头市飞厦中学丰华学校学年九年级上学期第一阶段联考数学试题.docx

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广东省汕头市飞厦中学丰华学校学年九年级上学期第一阶段联考数学试题

广东省汕头市飞厦中学、丰华学校2020-2021学年九年级上学期第一阶段联考数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．xy+2=1B．

C．x2=0D．ax2+bx+c=0

2．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）

A．a≠0B．a≠2C．a＜2D．a＞2

3．已知一元二次方程x2+kx-3=0有一个根为1，则k的值为（）

A．−2B．2C．−4D．4

4．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+3图象的对称轴是（）

A．.直线x＝1B．直线x＝﹣1C．直线x＝3D．直线x＝﹣3

5．一元二次方程（x﹣2017）2＝1的解为（　　）

A．2016、2018B．2016C．2018D．2017

6．若一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m≥1B．m≤1C．m＞1D．m＜1

7．将抛物线y=x2向左平移2个单位，再向下平移5个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（　　）

A．y=（x+2）2﹣5B．y=（x+2）2+5C．y=（x﹣2）2﹣5D．y=（x﹣2）2+5

8．将代数式x2+10x+17化成（x+a）2+b的形式为（　　）

A．（x+5）2+8B．（x+5）2﹣8C．（x﹣5）2+10D．（x+5）2﹣10

9．如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（　　）

A．10×6﹣4×6x=32B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32

C．（10﹣x）（6﹣x）=32D．10×6﹣4x2=32

10．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：

①a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＜0；④abc＜0．其中所有正确结论的是（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二、填空题

11．把方程3x2＝5x+2化为一元二次方程的一般形式是_____．

12．如果抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，那么a的取值范围是_____．

13．一元二次方程x2﹣x=0的根是_____．

14．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有64台电脑被感染，设每一轮感染中平均每台电脑会感染x台电脑，则x满足方程______．

15．已知一元二次方程x2﹣6x+9＝0的两根为x1、x2，则x1•x2＝_______．

16．如图，在平面直角坐标系中，点A是抛物线y＝a（x+

）2+7与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，则以AB为边的正方形ABCD的周长为______．

三、解答题

17．解方程：

x2﹣6x+5＝0（配方法）

18．已知抛物线

经过A（

0）,B（3,0）两点,求抛物线的解析式.

19．参加足球联赛的每两队之间都要进行一场比赛，共要比赛21场，共有多少个队参加足球联赛？

20．为进一步提升企业产品竞争力，某企业加大了科研经费的投入，2021年该企业投入科研经费5000万元就，2021年投入科研经费7200万元，假设该企业这两年投入科研经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该企业投入科研经费的年平均增长率；

（2）若该企业科研经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2021年该企业投入科研经费多少万元．

21．某同学练习推铅球，铅球推出后在空中飞行的轨迹是一条抛物线，铅球在离地面1米高的A处推出，达到最高点B时的高度是2.6米，推出的水平距离是4米，铅球在地面上点C处着地

（1）根据如图所示的直角坐标系求抛物线的解析式；

（2）这个同学推出的铅球有多远？

22．已知：

关于x的方程x2+2kx+k2﹣6＝0

（1）证明：

方程有两个不相等的实数根；

（2）如果方程有一个根为2，试求2k2+8k+2018的值．

23．某店销售台灯，成本为每个30元，销售大数据分析表明：

当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个．

（1）未降价之前，该店每月台灯总盈利为　　元；

（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利　　元，平均每月可售出　　个；（用含x的代数式进行表示）

（3）为迎接“双十一”，该店决定降价促销，在库存为1210个台灯的情况下，若预计月获利恰好为8400元，求每个台灯的售价．

24．在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A出发，沿AB边向点B以每秒1cm的速度移动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以每秒2cm的速度移动，如果P、Q两点在分别到达B、C两点后就停止移动，回答下列问题：

（1）当运动开始后1秒时，求△DPQ的面积；

（2）当运动开始后

秒时，试判断△DPQ的形状；

（3）在运动过程中，存在这样的时刻，使△DPQ以PD为底的等腰三角形，求出运动时间．

25．如图，抛物线y＝

与x轴交于A、B两点，△ABC为等边三角形，∠COD＝60°，且OD＝OC．

（1）A点坐标为　　，B点坐标为　　；

（2）求证：

点D在抛物线上；

（3）点M在抛物线的对称轴上，点N在抛物线上，若以M、N、O、D为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点M的坐标．

参考答案

1．C

【解析】

分析：

本题根据一元二次方程的定义解答．一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

详解：

A．是二元二次方程，故本选项错误；

B．是分式方程，不是整式方程，故本选项错误；

C．是一元二次方程，故本选项正确；

D．当a、b、c是常数，a≠0时，方程才是一元二次方程，故本选项错误．

故选C．

点睛：

本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

2．B

【解析】

试题解析：

∵函数y=（2-a）x2-x是二次函数，

∴2-a≠0，即a≠2，

故选B．

3．B

【解析】

分析：

根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入方程得关于k的一次方程1-3+k=0，然后解一次方程即可．

详解：

把x=1代入方程得1+k-3=0，

解得k=2．

故选B．

点睛：

本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

4．A

【分析】

直接根据二次函数的顶点式进行解答即可．

【详解】

解：

二次函数

图象的对称轴是直线

，

故选A．

【点睛】

本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点式是解答此题的关键．

5．A

【分析】

利用直接开平方法求解可得．

【详解】

∵（x﹣2017）2＝1，

∴x﹣2017＝1或x﹣2017＝﹣1，

解得x＝2018或x＝2016，

故选：

A．

【点睛】

此题考查解一元二次方程-直接开平方法，解题关键在于掌握形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

6．D

【解析】

分析：

根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出实数m的取值范围．

详解：

∵方程

有两个不相同的实数根，

∴

解得：

m＜1．

故选D．

点睛：

本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．

7．A

【分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．

【详解】

抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），

先向左平移2个单位再向下平移5个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣5），

所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣5．

故选A．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键．

8．B

【分析】

根据配方法可以解答本题．

【详解】

由题意可得，

x2+10x+17＝（x+5）2﹣8，

故选：

B．

【点睛】

此题考查配方法的应用，解题的关键是会用配方法对代数式进行变形．

9．B

【解析】

分析：

设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

详解：

设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，

根据题意得：

（10−2x）（6−2x）＝32．

故选B．

点睛：

本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10．D

【分析】

①根据当x＝1时图象在x轴下上，得出y＞0，即a+b+c＞0判断即可；

②根据当x＝﹣1时图象在x轴下方，得出y＞0，即a﹣b+c＜0判断即可；

③根据对称轴x＝﹣

＜1，得出2a+b＜0进行判断；

④由图象开口向下判断出a＜0，由对称轴在y轴右侧得出b＞0，由抛物线与y轴交于负半轴，c＜0判断即可．

【详解】

①当x＝1时，图象在x轴上方，即y＞0，

所以a+b+c＞0，①正确；

②当x＝﹣1时，图象在x轴下方，即y＜0，

即a﹣b+c＜0，②正确；

③由抛物线的开口向下知a＜0，

∵﹣

＜1，

∴2a+b＜0，③正确；

④∵图象开口向下，

∴a＜0，

∵对称轴在y轴右侧

∴b＞0，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴abc＜0，④正确，

∴所有正确结论的是①②③④4个，

故选：

D．

【点睛】

此题考查二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定是解题的关键．

11．3x2-5x-2=0

【解析】

【分析】

移项，把等号右边化为0即可．

【详解】

3x2=5x+2，

移项，得3x2﹣5x﹣2=0，

故答案为3x2﹣5x﹣2=0

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的一般形式，任何一个关于x的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式ax2＋bx＋c＝0（a≠0）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项；c叫做常数项．

12．a＞0　

【解析】

根据二次函数的图像，由抛物线y=ax2+5的顶点是它的最低点，知a＞0，

故答案为a＞0．

13．x1=0，x2=1

【分析】

方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

【详解】

方程变形得：

x（x﹣1）=0，

可得x=0或x﹣1=0，

解得：

x1=0，x2=1．

故答案为x1=0，x2=1．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握方程的解法是解本题的关键．

14．（1+x）2＝64．

【分析】

首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：

经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可．

【详解】

设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．

根据题意，得：

1+x+x（1+x）＝64，

整理得：

（1+x）2＝64，

故答案是：

（1+x）2＝64．

【点睛】

此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，能够正确表示每轮感染中，有多少台电脑被感染是解题的关键．

15．6

【分析】

根据根与系数的关系得出即可．

【详解】

∵一元二次方程x2﹣6x+9＝0的两根为x1、x2，

∴x1•x2＝6，

故答案为：

6．

【点睛】

此题考查根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解题的关键，如果α、β是一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）的两个根，那么α+β=-

，α•β=

．

16．12

【分析】

根据二次函数的性质得出A、B关于对称轴x＝﹣

对称，根据A点的坐标得出AB长，再根据正方形的性质求出即可．

【详解】

∵点A是抛物线y＝a（x+

）2+7与y轴的交点，点B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，

∴A、B关于对称轴x＝﹣

对称，

∵A（0，7），

∴B点的横坐标是x＝﹣（

+

）＝﹣3，

即正方形ABCD的边长是3，

所以正方形ABCD的周长是3+3+3+3＝12，

故答案为：

12．

【点睛】

此题考查二次函数的性质，正方形的性质，二次函数图象上点的坐标特征，能知道A、B关于直线x=-

对称是解题的关键．

17．x1＝5，x2＝1

【分析】

利用配方法解方程．配方法的一般步骤：

（1）把常数项移到等号的右边；

（2）把二次项的系数化为1；

（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．

【详解】

解：

由原方程移项，得x2﹣6x＝﹣5，

等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣6x+32＝﹣5+32，即（x﹣3）2＝4，

∴x＝3±2，

∴原方程的解是：

x1＝5，x2＝1．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键.

18．

【分析】

把点A（-1，0）、B（3，0）分别代入二次函数y=x2+bx+c得到关于b与c的方程组，然后解方程组求出b、c即可．

【详解】

解:

∵抛物线

经过A（

0）,B（3,0）两点

∴

解得

∴抛物线的解析式为

【点睛】

此题考查二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于利用待定系数法求解.

19．共有7个队参加足球联赛．

【分析】

设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，根据共要比赛21场，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．

【详解】

解：

设共有x个队参加比赛，则每队要参加（x﹣1）场比赛，

根据题意得：

＝21，

整理得：

x2﹣x﹣42＝0，

解得：

x1＝7，x2＝﹣6（不合题意，舍去）．

答：

共有7个队参加足球联赛．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20．

（1）这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为20%；

（2）2021年该企业投入科研经费8640万元．

【分析】

（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，根据2021年及2021年投入科研经费，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；

（2）根据2021年投入科研经费＝2021年投入科研经费×（1+增长率），即可求出结论．

【详解】

解：

（1）设这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为x，

根据题意得：

5000（1+x）2＝7200，

解得：

x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．

答：

这两年该企业投入科研经费的年平均增长率为20%．

（2）7200×（1+20%）＝8640（万元）．

答：

2021年该企业投入科研经费8640万元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：

（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；

（2）根据2021年投入科研经费＝2021年投入科研经费×（1＋增长率），列式计算．

21．

（1）抛物线的解析式为：

y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6；

（2）这个同学推出的铅球有（

+4）米远．

【分析】

（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，由待定系数法求出其解即可；

（2）当y＝0时代入

（1）的解析式，求出其解即可．

【详解】

解：

（1）设抛物线的解析式为y＝a（x﹣4）2+2.6，

由题意，得1＝a（0﹣4）2+2.6，

解得：

a＝﹣0.1．

故y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6．

∴抛物线的解析式为：

y＝﹣0.1（x﹣4）2+2.6；

（2）由题意，得，当y＝0时，﹣0.1（x﹣4）2+2.6＝0，

解得：

x1＝

+4，x2＝﹣

+4＜0（舍去），

故x＝

+4．

答：

这个同学推出的铅球有（

+4）米远．

【点睛】

本题考查了二次函数的图象和性质，运用待定系数法求函数的解析式，由函数值求自变量的值，解答时求出函数解析式是关键．

22．

（1）见解析；

（2）2022.

【分析】

（1）计算判别式△＝24，然后根据判别式的意义得到结论；

（2）把x＝2代入方程得k2+4k＝2，再把2k2+8k+2018变形为2（k2+4k）+2018，然后利用整体代入的方法计算．

【详解】

（1）证明：

△＝（2k）2﹣4（k2﹣6）＝24＞0，

所以方程有两个不相等的实数根；

（2）把x＝2代入方程得4+4k+k2﹣6＝0，

所以k2+4k＝2，

所以2k2+8k+2018＝2（k2+4k）+2018＝2×2+2018＝2022．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解和根的判别式：

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与△＝b2−4ac有如下关系：

当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．

23．

（1）6000；

（2）（10﹣x），（200x+600）；（3）每个台灯的售价为37元．

【分析】

（1）根据总盈利＝单件盈利乘以销量，列出代数式；

（2）根据“当每个台灯售价为40元时，平均每月售出600个；若售价每下降1元，其月销售量就增加200个”列出代数式

（3）设每个台灯的售价为x元．根据每个台灯的利润×销售数量＝总利润列出方程并解答.

【详解】

解：

（1）依题意得：

未降价之前，该店每月台灯总盈利为600×（40﹣30）＝6000元．

故答案是：

6000．

（2）降价后，设该店每个台灯应降价x元，则每个台灯盈利（10﹣x）元，平均每月可售出（200x+600）个

故答案为：

（10﹣x），（200x+600）；

（3）设每个台灯的售价为x元．

根据题意，得（x﹣30）[（40﹣x）×200+600]＝8400，

解得x1＝36（舍），x2＝37．

当x＝36时，（40﹣36）×200+600＝1400＞1210；

当x＝37时，（40﹣37）×200+600＝1200＜1210；

答：

每个台灯的售价为37元．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．

24．

（1）S△DPQ＝31（cm2）；

（2）△DPQ为直角三角形；（3）运动开始后第6

﹣18秒时，△DPQ是以PD为底的等腰三角形．

【分析】

（1）根据运动时间求出AP，BQ，利用分割法求△DPQ的面积即可．

（2）分别求出DP2，PQ2，DQ2，进而得到PQ2+DQ2＝DP2，得出答案；

（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则有QP＝QD，表示出QP2，QD2，列出等式，构建方程方程，求出方程的解，根据时间大于0秒小于6秒，即可解答．

【详解】

解：

（1）经过1秒时，AP＝1，BQ＝2，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝CD＝6cm，BC＝AD＝12cm，

∴PB＝6﹣1＝5（cm），CQ＝BC﹣BQ＝12﹣2＝10（cm），

∴S△DPQ＝S矩形ABCD﹣S△ADP﹣S△PBQ﹣S△DCQ＝72﹣

×1×12﹣

×5×2﹣

×6×10＝31（cm2）．

（2）当t＝

秒时，

AP＝

，BP＝6﹣

＝

，BQ＝

×2＝3，CQ＝12﹣3＝9，

∴在Rt△DAP中，DP2＝DA2+AP2＝122+（

）2＝

，

在Rt△DCQ中，DQ2＝DC2+CQ2＝62+92＝117，

在Rt△QBP中，QP2＝QB2+BP2＝32+（

）2＝

，

∴DQ2+QP2＝117+

＝

，

∴DQ2+QP2＝DP2，

∴△DPQ为直角三角形；

（3）假设运动开始后第x秒时，满足条件，则：

QP＝QD，

∵QP2＝PB2+BQ2＝（6﹣x）2+（2x）2，

QD2＝QC2+CD2＝（12﹣2x）2+62，

∴（12﹣2x）2+62＝（6﹣x）2+（2x）2，

整理，得：

x2+36x﹣144＝0，

解得：

x＝﹣18±6

，

∵0＜6

﹣18＜6，

∴运动开始后第6

﹣18秒时，△DPQ是以PD为底的等腰三角形．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的应用，是典型的动点问题，涉及到矩形及三角形的面积公式，勾股定理的逆定理等知识，难度不大，注意数形结合思想的应用．

25．

（1）（2，0），（5，0）；

（2）见解析；（3）点M的坐标为：

（

，

）或（

，

）或（

，

）．

【分析】

（1）y＝

，令y＝0，解得：

x＝2或5，即可求解；

（2）证明△OAC≌△DBC（SAS），则BD＝OA＝2，∠OBD＝60°，即可求解；

（3）分OD是平行四边形的边、OD是平行四边形的对角线两种情况，分别求解．

【详解】

解：

（1）y＝

，令y＝0，解得：

x＝2或5，

故A点坐标为：

（2，0）、B点坐标为（5，0）；

（2）连接CD、BD，

由

（1）知：

OA＝2，AB＝3，等边三角形ABC的边长为3，

∵△ABC为等边三角形，

∴AC＝BC，∠ACB＝60°＝∠CAB，∴∠CAO＝120°，

∵∠COD＝60°，且OD＝OC，则△OCD为等边三角形，

∴OD＝CD＝CO，则∠OCD＝60°＝∠OCA+∠ACD，

而∠ACB＝60°＝∠ACD+∠DCB，

∴∠OCA＝∠DCB，

而CO＝CD，CA＝CB，

∴△OAC≌△DBC（SAS），

∴BD＝OA＝2，∠CBD＝∠CAO＝120°，而∠CBO＝60°，

∴∠OBD＝60°，则yD＝﹣BDsin∠OBD＝﹣2×

＝﹣

，

故点D的坐标为（4，﹣

），

当x＝4时，y＝

＝﹣

，

故点D在抛物线上；

（3）抛物线的对称轴为：

x＝

，

设点M（

，s），点N（m，n），

n＝

m2﹣

m+5

，

①当OD是平行四边形的边时，

当点N在对称轴右侧时，

点O向右平移4个单位，向下平移

个单位得到D，

同样点M向右平移4个单位，向下平移

个单位得到N，

即：

+4＝m，s﹣

＝n，而n＝

m2﹣

m+5

，

解得：

s＝

则点M（

，

）；

当点N在对称轴左侧时，

同理可得：

点M（

，

）；

②当OD是平行四边形的对角线时，

则4＝

+m，﹣

＝n+s，而n＝

m2﹣

m+5

，

解得：

s＝

，

则点M（

，

），

故点M的坐标为：

（

，

）或（

，

）或（

，

）．

【点睛】

本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形以及平行四边形的判定和性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，同时也要注意分类讨论思想的应用．