第11章 全等三角形教师.docx

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第11章全等三角形教师

专题一全等三角形

本章小结

小结1本章概述

本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明．学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定．全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础．

小结2本章学习重难点

【本章重点】1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法．

2．角平分线的性质及判定．

3．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．

【本章难点】1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．

2．角平分线的性质和判定的正确运用．

3．用综合法证明的格式．

小结3学法指导

1．注意在探究中掌握结论．

2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论．

3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据．

4．注重联系实际．

5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧．

知识网络结构图

专题总结及应用

一、知识性专题

专题1三角形全等的判定与性质的综合应用

【专题解读】三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用SAS，ASA，AAS，SSS，HL中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．

例1如图11-113所示，BD，CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，CQ＝AB．

（1）求证AP＝AQ；

（2）求证AP⊥AQ．

分析

（1）欲证AP＝AQ，只需证对应的两个三角形全等，即证△ABP≌△QCA即可．

（2）在

（1）的基础上证明∠PAQ＝90°．

证明：

（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，

∴∠ADB＝∠AEC＝90°．

在Rt△AEC和Rt△ADB中，

∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°一∠DAB，

∴∠ABP＝∠ACE．

在△ABP和△QCA中，

BP＝CA（已知），

∠ABP＝∠ACE（已证），

AB＝QC（已知），

∴△ABP≌△QCA（SAS）．

∴AP＝AQ（全等三角形的对应边相等）．

（2）∵△ABP≌△QCA，

∴∠P＝∠CAQ（全等三角形的对应角相等）．

又∵∠P＋∠PAD＝90°，

∴∠CAQ＋∠PAD＝90°，

即∠QAP＝90°，∴AP⊥AQ．

例2若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．

分析运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论．

已知：

如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．

判断∠B和∠B′的关系．

解：

∠B＝∠B′．理由如下：

∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，

∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．

在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，

∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（HL）．

∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）．

规律·方法边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题．

例3如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?

分析对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题．

解：

①AD＝AF，ED＝EF＝EC，BC＝BF．

②AD十BC＝AB，DE＋EC＝2EF．

③∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D＝∠AFE，∠C＝∠EFB，∠DEA＝∠FEA，∠CEB＝∠FEB．

④∠AEB＝90°或EA⊥EB．

⑤S△DAE＝S△EAF，S△ECB＝S△EFB.

【解题策略】本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：

（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形．

（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．

专题2全等三角形的性质及判定的实际应用

【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大．

例4如图11-116所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?

说说你的理由．

分析本题欲确定影子一样长，实际就是证明BC与B′C′相等，而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等．

解：

影子一样长．理由如下：

因为AB⊥BC，A′B⊥B′C′，

所以∠ABC＝∠A′B′C′＝90°．

因为AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′．

在△ABC和△A′B′C′中，

∠ABC＝∠A′B′C′,

∠ACB＝∠A′C′B′,

AB＝A′B′,

所以△ABC≌△A′B′C′（AAS），

所以BC＝B′C′（全等三角形的对应边相等）．

专题3角平分线的性质及判定的应用

【专题解读】此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系．

例5如图11-117所示．P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段（只需写出一组即可）．

分析本题主要运用角平分线的性质定理来解决，同时本题是一道开放性试题，答案不唯一．故填PD＝PC（或OD＝OC）．

【解题策略】OC与OD相等可通过三角形全等来得到．

例6如图11-118所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC．交BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F．

（1）说明BE＝CF的理由；

（2）如果AB＝a，AC＝b，求AE．BE的长．

分析本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定，难度中等．

解：

（1）连接BD，CD，

∵AD是∠BAC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF．

又∵DG⊥BC且BG＝GC，

∴△DBG≌△DCG，∴DB＝DC．

∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），

∴BE＝CF．

（2）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEA＝∠DFA＝90°．

在Rt△ADE和Rt△ADF中，Rt△ADF中

∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．

∴AE＝AF．

又∵BE＝CF，

∴a－BE＝6＋BE．

∴2BE＝a－b，即BE＝

∴AE＝AB－BE＝a－

=

．

专题4利用尺规作图，作一个三角形与另一个三角形全等或作一个角的平分线

【专题解读】尺规作图是数学的重要知识之一，作一个角的平分线和作一个三角形全等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图．很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的．

例7如图11-119所示，已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）

分析到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，其实只需作出两个角的平分线，即可确定P点的位置，作图痕迹指的是确定点P的过程．

解：

如图11-120所示．

二、思想方法专题

专题5分类讨论思想

【专题解读】对于三角形全等的有些性质及判定的问题，由于已知条件的不确定或开放性问题．常用到分类讨论思想．

例8如图11-121所示，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：

①AB＝AC②AD＝AE；③∠B＝∠C；①BD＝CE．

请以其中三个论断作为条件．余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号

的形式写出）：

．

分析解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题，另一方面需熟练应用全等三角形的性质及判定方法．具体分析如下：

（1）以①为结论．②③④为条件：

在△ABD和△ACE中，

△ABD≌△ACE

AB＝AC．

∴不能以②③④为条件，①为结论．

（2）以②为结论，①③④为条件：

在△ABD和△ACE中，

△ABD≌△ACE（SAS）

AD＝AE．

∴能以①③④为条件，②为结论．

（3）以③为结论，①②④为条件：

在△ABD和△ACE中，

△ABD≌△ACE（SSS）

∠B＝∠C．

∴能以①②④为条件，③为结论．

（4）以④为结论，①②③为条件：

在△ABD和△ACE中，

△ABD≌△ACEC

BD＝CE．

∴不能以①②③为条件，④为结论．

∴正确的结果有两种：

其一：

①③④

②；其二：

①②④

③．两者任选其一即可．

故填①③④

②或①②④

③．

专题6转化思想

【专题解读】三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法．证线段（或角）相等往往转化为证线段（或角）所在的两个三角形全等．当需证的两个全等的三角形不明显时，还要添加辅助线，构造全等三角形．

例9　如图11-122所示，已知AB＝CD，AD＝BC，求证∠B＝∠D，∠A＝∠C．

分析本题是证明四边形的对角相等，需构造全等三角形，转化为证三角形全等．为此，需作辅助线AC，把四边形ABCD分成△ACD和△CBA．

证明：

连接AC，在△ADC和△CBA中，

∴△ADC≌△CBA（SSS）．∴∠D＝∠B．

同理∠DAB＝∠DCB．

例10如图11-123所示．△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于E，且DE＝2㎝，AB＝9㎝，BC＝6㎝，你能求出△ABC的面积吗?

分析要求△ABC的面积，只需分别求出△ABD和△BCD的面积即可．在△ABD中．底AB．高DE都知道在△BCD中，底BC知道，高没画出来，所以问题就转化为求△BCD的高，这里可以作辅助线DF⊥BC于F．

解：

作DF⊥BC于F．

因为BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，所以DE＝DF．

由DE＝2cm，可知DF＝2cm．

所以S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝

AB·DE＋

BC·DF

＝

×9×2＋

×6×2＝15（㎝2）．

专题7数学建模思想

【专题解读】全等三角形在实际生活中有很多的应用．比如，测量工具内槽宽的工具——卡钳，测量不能直接测量的两点间的距离等．对于这些实际问题，往往是根据实际情况，建立数学模型，利用数学原理解决问题．

例11如图11-124所示的是人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A，B两棵树之间的距离，但无法直接测量，请你运用所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案．

要求：

（1）画出你设计的测量平面图；

（2）简述测量方法，并写出测量数据（长度用a，b，c，…表示，角度用α,β,γ，…

表示）；

（3）根据你测量的数据，计算A,B两棵树之间的距离．

分析依题意．结合图形解题，我们可以用SAS，ASA，AAS等方法构造出两个全等三角形，即可用卷尺测出与AB相等的边的长度，从而得到A，B间的距离．

解法1：

如图11-125所示，在平面内选取一个可以直接到达A，B的点C，连接AC并延长至D，使AC＝CD，连接BC并延长至E，使BC＝CE．连接ED，用卷尺分别测出AC＝CD＝b，BC＝CE＝a，ED＝c，则A，B两点间的距离AB＝ED＝c．

解法2：

作射线BM，如图11-126所示，在射线BM上取一点C，使点C能达到点A.在BM上取一点E，使BC＝CE＝a．过点E作∠BED＝∠ABC＝a，连接AC并延长，与ED相交于D点，这样易知△ABC≌△DEC（ASA），所以AB＝DE，用卷尺可测出ED的长为b，则A，B间的距离为b．

【解题策略】事实上，用测量的方法获得两个不能直接测量的两地之间的距离，除了用三角形全等的方法外，在学习了相似三角形后，也可通过相似的方法获得测量方法和结果．

专题8类比思想

【专题解读】对于几何图形的运动问题（如平移、旋转等）以及一些规律探究题，常常会出现一个基本图形，无论从图形上还是从解题方法上都比较简单，而其他的较复杂的图形，都是由基本图形通过变化得到的，它和基本图形有很多类似的条件和结论．类比基本图形，可以解决复杂图形的问题，主要考查观察能力和推理、猜测能力．

例12（规律探究题）如图11-127

（1）所示，AB＝CD，AD＝BC，O为AC的中点，过O点的直线分别与AD，BC相交于M，N，那∠1和∠2有什么关系?

请证明；将过O点的直线旋转至图11-127

（2）（3）的位置时，其他条件不变，那∠图

（1）中的∠1和∠2的关系还成立吗?

请证明．

分析图

（1）是基本的图形，在图

（1）中证∠1＝∠2不难，在图

（2）（3）中证∠1

＝∠2，可以类比在图

（1）中证明时的方法．

解：

∠1＝∠2．

证明：

在△ABC和△CDA中，

所以△ABC≌△CDA（SSS）．

所以∠BCA＝∠DAC．所以AD∥BC．所以∠1＝∠2．

当直线旋转到图

（2）（3）的位置时，仍有∠1＝∠2，证明方法同上．

例13（动手操作题）正方形通过剪切可以拼成一个三角形，如图11－128所示．仿照图

（1）所示的方法，解答下列问题，操作设计（在原图上画出即可）．

（1）如图11-128

（2）所示，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的长方形；

（2）如图11-128（3）所示，对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形；

（3）如图11-128（4）所示．对于任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形．

分析本题考查观察能力、动手操作能力．剪下来的图形和拼上去的图形实际上是一个图形．拼图的关键在于使剪切下的图形和拼接的图形的全等．普通三角形可以类比直角三角形，四边形可以类比普通三角形．

解：

（1）如图11-129所示．

（2）如图11-130所示．

（3）如图11-131所示．

【解题策略】

（1）第

（2）题中任意三角形的剪切、拼接，可以先把它转化为两个直角形，再按照

（1）中直角三角形的拼接方法完成．对于任意四边形，则是通过连接对角线，把四边形转化为两个三角形．本题体现了数学中的类比、转化思想．

（2）针对图形而言，本题中实质上是构造全等三角形：

利用线段中点把线段分成两条相等的线段的条件，再添加一些合适的条件，就可以构造出全等三角形，从而达到转化线段、角以及三角形位置的目的．

2011中考真题精选

1.（2011•江苏宿迁，7，3）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（　　）

A、AB=ACB、BD=CDC、∠B=∠CD、∠BDA=∠CDA

考点：

全等三角形的判定。

专题：

证明题。

分析：

利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．

解答：

证明：

A、∵∠1=∠2，AD为公共边，若AB=AC，则△ABD≌△ACD（SAS）；故本选项正确，不合题意．

B、∵∠1=∠2，AD为公共边，若BD=CD，不符合全等三角形判定定理，不能判定△ABD≌△ACD；故本选项错误，符合题意．

C、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠B=∠C，则△ABD≌△ACD（AAS）；故本选项正确，不合题意．

D、∵∠1=∠2，AD为公共边，若∠BDA=∠CDA，则△ABD≌△ACD（ASA）；故本选项正确，不合题意．

故选B．

点评：

此题主要考查学生对全等三角形判定定理的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．

2.（2011南昌，10，3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）

A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，BD=DC

C.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC

考点：

全等三角形的判定.

专题：

证明题.

分析：

两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．

解答：

解：

∵AD=AD，A.当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；B.当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；C.当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；D.当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．故选D．

点评：

本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是否符合判定的条件，逐一检验．

3.（2011年山东省威海市，6，3分）在△ABC中，AB＞AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点F在BC边上，连接DE，DF，EF，则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD与△EDF全等（　　）

A、EF∥ABB、BF=CFC、∠A=∠DFED、∠B=∠DEF

考点：

全等三角形的判定；平行线的判定与性质；三角形中位线定理．

专题：

证明题．

分析：

根据平行线的性质得到∠BDF=∠EFD，根据DE分别是ABAC的中点，推出DE∥BC，DE=

BC，得到∠EDF=∠BFD，根据全等三角形的判定即可判断A；由DE=

BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF即可得到△BFD≌△EDF；由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF；由∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，得到△BFD≌△EDF．

解答：

解：

A、∵EF∥AB，

∴∠BDF=∠EFD，

∵DE分别是ABAC的中点，

∴DE∥BC，DE=

BC，

∴∠EDF=∠BFD，

∵DF=DF，

∴△BFD≌△EDF，故本选项错误；

B、∵DE=

BC=BF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，∴△BFD≌△EDF，故本选项错误；

C、由∠A=∠DFE证不出△BFD≌△EDF，故本选项正确；

D、∵∠B=∠DEF，∠EDF=∠BFD，DF=DF，∴△BFD≌△EDF，故本选项错误．

故选C．

点评：

本题主要考查对全等三角形的判定，平行线的性质，三角形的中位线等知识点的理解和掌握，能求出证全等的3个条件是证此题的关键．

4.（2011年江西省，7，3分）如图，在下列条件中，不能证明△ABD≌△ACD的是（　　）

A.BD=DC，AB=ACB.∠ADB=∠ADC，BD=DC

C.∠B=∠C，∠BAD=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC

考点：

全等三角形的判定．

专题：

证明题．

分析：

两个三角形有公共边AD，可利用SSS，SAS，ASA，AAS的方法判断全等三角形．

解答：

解：

∵AD=AD，

A.当BD=DC，AB=AC时，利用SSS证明△ABD≌△ACD，正确；

B.当∠ADB=∠ADC，BD=DC时，利用SAS证明△ABD≌△ACD，正确；

C.当∠B=∠C，∠BAD=∠CAD时，利用AAS证明△ABD≌△ACD，正确；

D.当∠B=∠C，BD=DC时，符合SSA的位置关系，不能证明△ABD≌△ACD，错误．

故选D．

点评：

本题考查了全等三角形的几种判定方法．关键是根据图形条件，角与边的位置关系是否符合判定的条件，逐一检验．

5.（2011安徽省芜湖市，6,4分）如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，F是高AD和BE的交点，CD=4，则线段DF的长度为（　　）

A、

B、4

C、

D、

考点：

全等三角形的判定与性质。

分析：

先证明AD=BD，再证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△CDA，利用全等三角形对应边相等就可得到答案．

解答：

解：

∵AD⊥BC，

∴∠ADC=∠FDB=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠BAD=45°，

∴AD=BD，

∵BE⊥AC，

∴∠AEF=90°，

∴∠DAC+∠AFE=90°，

∵∠FDB=90°，

∴∠FBD+∠BFD=90°，

又∵∠BFD=∠AFE，

∴∠FBD=∠DAC，

在△BDF和△CDA中：

，

∴△BDF≌△CDA，

∴DF=CD=4．

故选：

B．

点评：

此题主要考查了全等三角行的判定，关键是找出能使三角形全等的条件．

6.（2011浙江金华，9，3分）如图，西安路与南京路平行，并且与八一街垂直，曙光路与环城路垂直.如果小明站在南京路与八一街的交叉口，准备去书店，按图中的街道行走，最近的路程约为（）

A.600mB.500mC.400mD.300m

考点：

勾股定理的应用；全等三角形的判定与性质。

专题：

计算题。

分析：

由于BC∥AD，那么有∠DAE=∠ACB，由题意可知∠ABC=∠DEA=90°，BA=ED，利用AAS可证△ABC≌△DEA，于是AE=BC=300，再利用勾股定理可求AC，即可求CE，根据图可知从B到E的走法有两种，分别计算比较即可．

解答：

解：

如右图所示，

∵BC∥AD，

∴∠DAE=∠ACB，

又∵BC⊥AB，DE⊥AC，

∴∠ABC=∠DEA=90°，

又∵AB=DE=400，

∴△ABC≌△DEA，

∴EA=BC=300，

在Rt△ABC中，AC=

=500，

∴CE=AC﹣AE=200，

从B到E有两种走法：

①BA+AE=700；②BC+CE=500，

∴最近的路程是500m．

故选B．

点评：

本题考查了平行线的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．解题的关键是证明△ABC≌△DEA，并能比较从B到E有两种走法．

7.（2011梧州，12，3分）如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（　　）

A、△ACE≌△BCDB、△BGC≌△AFC

C、△DCG≌△ECFD、△ADB≌△CEA

考点：

全等三角形的判定；等边三角形的性质。

分析：

首先根据角间的位置及大小关系证明∠BCD=∠ACE，再根据边角边定理，证明△BCE≌△ACD；由△BCE≌△ACD可得到∠DBC=∠CAE，再加上条件AC=BC，∠ACB=∠ACD=60°，可证出△BGC≌△AFC，再根据△BCD≌△ACE，可得∠CDB=∠CEA，再加上条件CE=CD，∠ACD=∠DCE=60°，又可证出△DCG≌△ECF，利用排除法可得到答案．

解答：

解：

∵△ABC和△CDE都是等边三角形，

∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠BCA+∠ACD=∠ECD+∠ACD，

即∠BCD=∠ACE，

∴在△BCD和△ACE中

，

∴△BCD≌△ACE（SAS），

故A成立，

∴∠DBC=∠CAE，

∵∠BCA=∠ECD=60°，

∴∠ACD=60°，

在△BGC和△AFC中

，

∴△BGC≌△AFC，

故B成立，

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CDB=∠CEA，

在△DCG和△ECF中

，

∴△DCG≌△ECF，

故C成立，

故选：

D．

点评：

此题主要考查了三角形全等的判定以及等边