信息论与编码陈运主编答案完整版.docx
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信息论与编码课后习题答案详解
2.1试问四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？
解：
四进制脉冲可以表示4个不同的消息，例如：
{0,1,2,3}
八进制脉冲可以表示8个不同的消息，例如：
{0,1,2,3,4,5,6,7}二进制脉冲可以表示2个不同的消息，例如：
{0,1}假设每个消息的发出都是等概率的，则：
四进制脉冲的平均信息量HX
（1）=logn=log4=2bitsymbol/ 八进制脉冲的平均信息量HX
（2）=logn=log8=3bitsymbol/
二进制脉冲的平均信息量HX（0）=logn=log2=1bitsymbol/
所以：
四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的2倍和3倍。
2.2居住某地区的女孩子有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女孩子中身高160厘米以上的占总数的一半。
假如我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的消息，问获得多少信息量？
解：
设随机变量X代表女孩子学历
Xx1（是大学生） x2（不是大学生）
P（X） 0.25 0.75
设随机变量Y代表女孩子身高
Yy1（身高>160cm） y2（身高<160cm）
P（Y） 0.5 0.5
已知：
在女大学生中有75%是身高160厘米以上的即：
py（1/x1）=0.75bit
求：
身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量
pxpy
（1）（1/x1）log0.25×0.75=1.415bit即：
Ix（1/y1）=−logpx（1/y1）=−log=−
py
（1） 0.5
2.3一副充分洗乱了的牌（含52张牌），试问
（1）任一特定排列所给出的信息量是多少？
（2）若从中抽取13张牌，所给出的点数都不相同能得到多少信息量？
解：
（1）52张牌共有52！
种排列方式，假设每种排列方式出现是等概率的则所给出的信息量是：
px（i）=
Ix（i）=−logpx（i）=log52!
=225.581bit
（2）52张牌共有4种花色、13种点数，抽取13张点数不同的牌的概率如下：
413px（i）=C5213
413
Ix（i）=−logpx（i）=−logC5213=13.208bit
2.4设离散无记忆信源⎢⎡⎣PX（X）⎥⎦⎤=⎨⎩⎧x31/=80
·13·
x2=1x3=2x4=3⎫⎬，其发出的信息为1/41/41/8⎭
（202120130213001203210110321010021032011223210），求
（1）此消息的自信息量是多少？
（2）此消息中平均每符号携带的信息量是多少？
解：
（1）此消息总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因此此消息发出的概率是：
p=⎛⎜3⎞⎟14×⎛⎜1⎞⎟25×⎛⎜1⎞⎟6
⎝8⎠ ⎝4⎠ ⎝8⎠
此消息的信息量是：
I=−logp=87.811bit
（2）此消息中平均每符号携带的信息量是：
In/=87.811/45=1.951bit
2.5从大量统计资料知道，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，如果你问一位男士：
“你是否是色盲？
”他的回答可能是“是”，可能是“否”，问这两个回答中各含多少信息量，平均每个回答中含有多少信息量？
如果问一位女士，则答案中含有的平均自信息量是多少？
解：
男士：
px（Y）=7%
Ix（Y）=−logpx（Y）=−log0.07=3.837bit
px（N）=93%
Ix（N）=−logpx（N）=−log0.93=0.105bit
HX（ ） px（ ）logpx（ ） （0.07log0.07 0.93log0.93） 0.366bitsymbol/
i
女士：
HX（ ） px（ ）logpx（ ） （0.005log0.005 0.995log0.995） 0.045bitsymbol/
i
⎡X⎤⎧x2.6设信源=1
x2 x3
x4 x5 x6⎫，求这个信源的熵，并解释为什么
⎢PX（ ）⎥⎦ ⎨⎩0.2 0.190.18 0.170.16 0.17⎬⎭
⎣
H（X）>log6不满足信源熵的极值性。
解：
HX px px
i
=−（0.2log0.2+0.19log0.19+0.18log0.18+0.17log0.17+0.16log0.16+0.17log0.17）=2.657bitsymbol/
HX（ ）>log62=2.585
不满足极值性的原因是。
i
2.7证明：
H（X3/X1X2）≤H（X3/X1），并说明当X1,X2,X3是马氏链时等式成立。
证明：
HX（ 3/XX1 2）−HX（ 3/X1）
=−∑∑∑pxxx（i1i2 i3）logpx（i3/xxi1i2）+∑∑pxx（i1i3）logpx（i3/xi1）
i1 i2 i3 i1 i3
=−∑∑∑pxxx（i1i2 i3）logpx（i3/xxi1i2）+∑∑∑pxxx（i1i2 i3）logpx（i3/xi1）
i1 i2 i3 i1 i2 i3px（i3/xi1）
=∑∑∑i1 i2 i3pxxx（i1i2 i3）logpx（i3/xxi1i2）
⎛ px（i3/xi1） 1⎞⎟⎟log2e
≤∑∑∑i1 i2 i3pxxx（i1i2 i3）⎜⎜⎝px（i3/xxi1i2）−⎠
=⎜⎛∑∑∑pxx（i1i2）（pxi3/xi1）−∑∑∑pxxx（i1i2 i3）⎞⎟log2e
⎝i1 i2 i3 i1 i2 i3 ⎠
⎛ ⎡ ⎤ ⎞
=⎜⎜∑∑pxx（i1i2）⎢∑px（i3/xi1）⎥−1⎟⎟log2e
⎝i1 i2 ⎣i3 ⎦ ⎠
=0
∴HX（3/XX12）≤HX（3/X1）
px（i3/xi1） 1 0时等式等等当 −=px（i3/xxi12i）
⇒px（i3/xi1）=px（i3/xxi12i）
⇒pxx（i12i）（pxi3/xi1）=px（i3/xxi12i）（pxxi12i）
⇒px（i1）（pxi2/xi1）（pxi3/xi1）=pxxx（i123i i）⇒px（i2/xi1）（pxi3/xi1）=pxx（i23i/xi1）
∴等式等等的等等是X1,X2,X3是马氏链_
2.8证明：
H（X1X2。
。
。
Xn）≤H（X1）+H（X2）+…+H（Xn）。
证明：
HXX（ 1 2...Xn）=HX（ 1）+HX（ 2/X1）+HX（ 3/XX1 2）+...+HX（ n/XX1 2...Xn−1）
IX（ 2;X1）≥0⇒HX（ 2）≥HX（ 2/X1）IX（ 3;XX1 2）≥0⇒HX（ 3）≥HX（ 3/XX1 2）
...
IX（N;XX12...Xn−1）≥0⇒HX（N）≥HX（N/XX12...Xn−1）
∴HXX（12...Xn）≤HX
（1）+HX
（2）+HX（3）++...HX（n）
2.9设有一个信源，它产生0，1序列的信息。
它在任意时间而且不论以前发生过什么符号，均按P（0）=0.4，P
（1）=0.6的概率发出符号。
（1）试问这个信源是否是平稳的？
（2）试计算H（X2）,H（X3/X1X2）及H∞；
（3）试计算H（X4）并写出X4信源中可能有的所有符号。
解：
（1）
这个信源是平稳无记忆信源。
因为有这些词语：
“它在任意时间．．．．而且不论以前发生过什么符号．．．．．．．．．．．……”
（2）
HX（ 2）=2HX（ ）=−2×（0.4log0.4+0.6log0.6）=1.942bitsymbol/
HX（ 3/XX1 2）=HX（ 3）=−∑px（i）logpx（i）=−（0.4log0.4+0.6log0.6）=0.971bitsymbol/
i
H∞=limHX（ N/XX1 2...XN−1）=HX（ N）=0.971bitsymbol/
N−>∞
（3）
HX（ 4）=4HX（ ）=−4×（0.4log0.4+0.6log0.6）=3.884bitsymbol/
X4的所有符号：
0000 0001 0010
0011
0100 0101 0110
0111
1000 1001 1010
1011
1100 1101 1110
1111
2.10一阶马尔可夫信源的状态图如下图所示。
信源X的符号集为{0,1,2}。
（1）求平稳后信源的概率分布；
（2）求信源的熵H∞。
解：
（1）
⎧pe
（1）=pepe
（1）（1/e1）+pe
（2）（pe1/e2）
⎪
⎨pe
（2）=pe
（2）（pe2/e2）+pe（3）（pe2/e3）
⎪⎩pe（3）=pe（3）（pe3/e3）+pepe
（1）（3/e1）
⎧pe
（1）=ppe⋅
（1）+ppe⋅
（2）
⎪⎪
⎨pe
（2）=ppe⋅
（2）+ppe⋅ （3）
⎪⎪⎩pe（3）=ppe⋅ （3）+ppe⋅
（1）
⎧pe
（1）=pe
（2）=pe（3）
⎨
⎩pe
（1）+pe
（2）+pe（3）=1
⎧pe
（1）=1/3
⎪
⎨pe
（2）=1/3⎪⎩pe（3）=1/3
⎧px
（1）=pe
（1）（px1/e1）+pe
（2）（px1
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