高三数学总复习 同角三角函数的基本关系式教案 理.docx

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高三数学总复习同角三角函数的基本关系式教案理

2019-2020年高三数学总复习同角三角函数的基本关系式教案理

教材分析

这节课主要是根据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sin2a＋cos2a＝1与，并初步进行这些公式的两类基本应用．教学重点是公式sin2a＋cos2a＝1与的推导及以下两类基本应用：

（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其余两个三角函数．

（2）化简三角函数式及证明简单的三角恒等式．

其中，已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键；证明恒等式是这节课的另一个难点．课堂上教师应放手让学生独立解决问题，优化自己的解题过程．

教学目标

1.让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养学生的动手实践、探索、研究能力．

2.理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、化简、证明等问题，培养学生的运算能力，逻辑推理能力．

3.通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生的辩证唯物主义世界观．

任务分析

这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系式：

sin2a＋cos2a＝1及，并进行初步的应用．由于该节内容比较容易，所以，课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放手让学生独立完成，即由学生自己把要学的知识探索出来，并用以解决新的问题．必要时，教师可以在以下几点上加以强调：

（1）“同角”二字的含义．

（2）关系式的适用条件．（3）化简题最后结果的形式．（4）怎样优化解题过程．

教学设计

一、问题情境

教师出示问题：

上一节内容，我们学习了任意角α的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗？

你能得出它们之间的直接关系吗？

二、建立模型

1.引导学生写出任意角α的六个三角函数，并探索它们之间的关系

在角α的终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），则角α的六个三角函数值是

2.推导同角三角函数关系式

引导学生通过观察、分析和讨论，消元（消去x，y，r），从而获取下述基本关系．

（1）平方关系：

sin2a＋cos2a＝1．

（2）商数关系：

t：

说明：

①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论．对于这种推导方法，教师也应给以充分肯定，并进一步引导学生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．

②除以上两个关系式外，也许部分学生还会得出如下关系式：

.

教师点拨：

这些关系式都很对，但最基本的还是

（1）和

（2），故为了减少大家的记忆负担，只须记住

（1）和

（2）即可．以上关系式均为同角三角函数的基本关系式．

教师启发：

（1）对“同角”二字，大家是怎样理解的？

（2）这两个基本关系式中的角α有没有范围限制？

（3）自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现．刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？

三、解释应用

［例　题］

1.已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．

2.已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．

说明：

这两个题是关系式的基本应用，应让学生独立完成．可选两名同学到黑板前板书，以便规范解题步骤．

变式1　在例2中若去掉“且α是第二象限角”，该题的解答过程又将如何？

师生一起完成该题的解答过程．

解：

由题意和基本关系式，列方程组，得

由②，得sinα＝－cosα，

代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝．

∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．

当α是第二象限角时，cosα＝－，

代入②式，得

；

当α是第四象限角时，cosα＝，

代入②式，得

.

小结：

由平方关系求值时，要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题．由于本题没有具体指明α是第几象限角，因此，应针对α可能所处的象限，分类讨论．

变式2　把例2变为：

已知tanα＝－，求的值．

解法1：

由tanα＝－及基本关系式可解得

针对两种情况下的结果居然一致的情况，教师及时点拨：

观察所求式子的特点，看能不能不通过求sinα，cosα的值而直接得出该分式的值．

学生得到如下解法：

由此，引出变式3．

已知：

tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．

有了上一题的经验，学生会得到如下解法：

教师归纳、启发：

这个方法成功地避免了开方运算，因而也就避开了不必要的讨论．遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像“变式2”那样简捷．那么，能解决这一矛盾吗？

学生得到如下解法：

教师引导学生反思、总结：

（1）由于开方运算一般存在符号选取问题，因此，在求值过程中，若能避免开方的应尽量避免．

（2）当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n（n∈N且n≥1）次幂的齐次式时，采用上述方法可优化解题过程．

［练　习］

当学生完成了以上题目后，教师引导学生讨论如下问题：

（1）化简题的结果一定是“最简”形式，对三角函数的“最简”形式，你是怎样理解的？

（2）关于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法？

你是否发现了一些技巧？

四、拓展延伸

教师出示问题，启发学生一题多解，并激发学生的探索热情．

已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值．

解法1：

由sinα－cosα＝－，得

反思：

（1）解法1的结果比解法2的结果多了一个，看来产生了“增根”，那么，是什么原因产生了增根呢？

（2）当学生发现了由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的过程中，α的范围变大了时，教师再点拨：

怎样才能使平方变形是等价的呢？

由学生得出如下正确答案：

∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．

强调：

非等价变形是解法1出错的关键！

点　评

这篇案例力求体现新课程理念下的以人为本的思想，充分发挥了学生的主体作用．教师充当着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色．教师和学生是本课的共同参与者，共同努力完成了这一节课的教学活动．在这节课上，学生的积极性被充分调动起来，从而使学生在积极思维的活动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦．案例中的教学活动体现了研究性学习和探索性学习的方法．

总之，充分调动学生数学学习的主动性，强调质疑和化疑，是这篇案例的成功之处．

2019-2020年高三数学总复习向量加法运算及其几何意义教案理

教材分析

引入向量后，考查向量的运算及运算律，是数学研究中的基本的问题．教材中向量的加法运算是以位移的合成、力的合成等物理模型为背景引入的，在此基础上抽象概括了向量加法的意义，总结了向量加法的三角形法则、平行四边形法则．向量加法的运算律，教材是通过“探究”和构造图形引导学生类比数的运算律，验证向量的交换律和结合律．例2是一道实际问题，主要是要让学生体会向量加法的实际意义．这节课的重点是向量加法运算（三角形法则、平行四边形法则），向量的运算律．难点是对向量加法意义的理解和认识．

教学目标

1.通过物理学中的位移合成、力的合成等实例，认识理解向量加法的意义，体验数学知识发生、发展的过程．

2.理解和掌握向量加法的运算，熟练运用三角形法则和平行四边形法则作向量的和向量．

3.理解和掌握向量加法的运算律，能熟练地运用它们进行向量运算．

4.通过由实例到概念，由具体到抽象，培养学生的探究能力，使学生数学地思考问题，数学地解决问题．

任务分析

这节的主要内容是向量加法的运算和向量加法的应用．对向量加法运算，学生可能不明白向量可以相加的道理，产生疑惑：

向量既有大小、又有方向，难道可以相加吗？

为此，在案例设计中，首先回顾物理学中位移、力的合成，让学生体验向量加法的实际含义，明确向量的加法就是物理学中的矢量合成．在此基础上，归纳总结向量加法的三角形法则和平行四边形法则．向量加法的运算律发现并不困难，主要任务是让学生对向量进行探究，构造图形进行验证．关于例2的教学，主要是帮助学生正确理解题意，把问题转化为向量加法运算．

教学设计

一、问题情境

1.如图，某物体从A点经B点到C点，两次位移，的结果，与A点直接到C点的位移结果相同．

2.如图，表示橡皮筋在两个力F1，F2的作用下，沿GE的方向伸长了EO，与力F的作用结果相同．

位移与合成为等效，力F与分力F1，F2的共同作用等效，这时我们可以认为：

，F分别是位移与、分力F1与F2某种运算的结果．数的加法启发我们，位移、力的合成可看作数学上的向量加法．

2.在师生交流讨论基础上，归纳并抽象概括出向量加法的定义

已知非零向量a，b（如图37-3），在平面内任取一点A，作＝a，＝b，再作向量，则向量叫a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.

求两个向量和的运算，叫作向量的加法．这种求向量和的作图法则，称为向量求和的三角形法则，我们规定0＋a＝a＋0＝ａ．

3.提出问题，组织学生讨论

（1）根据力的合成的平行四边形法则，你能定义两个向量的和吗？

（2）当a与b平行时，如何作出a＋b？

强调：

向量的和仍是一个向量．用三角形法则求和时，作图要求两向量首尾相连；而用平行四边形法则求和时，作图要求两向量的起点平移在一起．

（3）实数的运算和运算律紧密联系，类似地，向量的加法是否也有运算律呢？

首先，让学生回忆实数加法运算律，类比向量加法运算律．向量加法的交换律由平行四边形法则容易验证．向量加法的结合律的验证则比较困难，教学时，应放手让学生进行充分探索．最后通过下面的两个图形验证加法结合律．

三、解释应用

［例　题］

1.已知非零向量a，b，就

（1）a与b不共线，

（2）a与b共线，分别求作向量a＋b．

注：

要求写出作法，规范解题格式．

2.长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮船进行运输．一艘轮船从长江南岸Ａ点出发，以5km／h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km／h．

（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度．

（2）求船实际航行的速度的大小与方向（速度的大小保留2个有效数字，方向用与江水速度间的夹角表示，精确到度）．

［练　习］

1.如图，已知a，b，画图表示a＋b．

2.已知两个力F1，F2的夹角是直角，合力F与F1的夹角是60°，｜F｜＝10N，求F1和F2的大小．

3.在△ABC中，求证.

4.在n边形A1A2…An中，计算

四、拓展延伸

1.对于任意向量a，b，探索｜a＋b｜与｜a｜＋｜b｜的大小，并指出取“＝”号的条件．

2.在求作两个向量和时，你可能选择不同的始点求和．你有没有想过，选择不同的始点作出的向量和都相等吗？

你可能认为，这是“显然”对的，你能证明这个问题吗？

点　评

向量的加法运算是向量的基本运算．为了正确认识理解向量加法的运算，案例首先回顾了的物理学中的位移、力的合成．在此基础上，使学生认识到：

物理学中的矢量合成可抽象为数学中的向量加法运算，进而总结出向量加法的三角形法则，平行四边形法则，这样设计自然，流畅，全面．向量加法的运算律的教学，是引导学生通过类比方法发现的，并让学生自主探索，构造图形验证，这样不仅体现了学生的主体地位，同时还能培养学生科学的探究能力．例题与练习、“拓展延伸”的设计，有层次，有力度，深入浅出，能较好地培养学生的创新能力．这是一篇优秀的案例设计．