《333 简单的线性规划问题》教学案.docx
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《333简单的线性规划问题》教学案
第2课时《简单的线性规划的应用》教学案
教学教法分析
（教师用书独具）
●三维目标
1.知识与技能
（1）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；
（2）会用画网格的方法求解整数线性规划问题；
（3）能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；
（4）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．
2.过程与方法
（1）引导学生学会如何使用网格法；
（2）通过讲解实例，让学生感受线性规划中的建模问题，培养学生应用数学的能力．
3．情感、态度与价值观
（1）培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的能力；
（2）结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新．
●重点、难点
重点：
将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决．
难点：
如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．
解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化．
教学方案设计
（教师用书独具）
●教学建议
1．为了激发学生学习的主体意识，应面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，建议采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．
2．学生在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组．可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞．
●教学流程
⇒⇒⇒⇒⇒⇒
课前自主导学
课标解读
1.能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．（重点）
2.培养应用线性规划的知识，解决实际问题的能力．（难点）
知识1
实际应用问题的最优解
对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．
知识2
用线性规划解决实际问题的一般步骤
线性规划解决实际问题的一般步骤：
知识3
整数线性规划
要求变量取整数的线性规划称为整数线性规划.
课堂互动探究
类型1
收益最大问题
例1 某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需消耗一级子棉2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨，二级子棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能使利润总额最大？
【思路探究】 由已知数据可列表如下：
产品
消耗量
资源
甲种棉纱（1吨）
乙种棉纱（1吨）
资源限额（吨）
一级子棉（吨）
2
1
300
二级子棉（吨）
1
2
250
利润（元）
600
900
从而列出线性约束条件和目标函数．
【自主解答】 设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，
那么利润总额z＝600x＋900y元，
线性约束条件为
作出其可行域如图所示．
把z＝600x＋900y变形为平行直线系l：
y＝－x＋.
由图可知当直线l经过可行域上的点M时，截距最大，即z取最大值．
解方程组得交点M（，）．
所以应生产甲种棉纱吨，乙种棉纱吨．
规律方法
1．利用线性规划求最大值，主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题，要将求最值的变量设为z，将z表示成其它变量的函数，求其最大值．
2．对于线性规划问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．
变式训练
某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力等）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表：
资金
单位产品所需资金（102元）
月资金供应量（102元
电子琴
洗衣机
成本
30
20
300
劳动力（工资）
5
10
110
单位利润
6
8
怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大？
最大总利润是多少？
【解】 设月供应电子琴x架、洗衣机y台，
依题意得：
目标函数为z＝6x＋8y，
不等式组表示的平面区域如图所示．
作直线l：
6x＋8y＝0，即作直线l：
3x＋4y＝0.
把直线l向右上方平移，当直线l经过可行域中的点M时，z取得最大值．
解方程组
得点M的坐标为（4，9），
将M（4，9）代入z＝6x＋8y，得z＝6×4＋8×9＝96.
所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，才能使总利润最大，最大总利润为9600元.
类型2
耗费最小问题
例2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪.1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg蛋白质，0.14kg脂肪，且食物A的价格为28元/kg；而1kg食物B含有0.105kg碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，且食物B的价格为21元/kg.为了满足营养专家指出的日常饮食要求．同时使花费最低，需要同时食用多少食物A和食物B？
【思路探究】 将已知数据列成下表：
食物/kg
碳水化合物/kg
蛋白质/kg
脂肪/kg
A
0.105
0.07
0.14
B
0.105
0.14
0.07
根据表中数据分析题目中隐含的线性关系．
【自主解答】 设每天食用xkg食物A，ykg食物B，总成本为z元，则①
目标函数为z＝28x＋21y.
二元一次不等式组①等价于
②
作出二元一次不等式组②所表示的平面区域（如图所示），即为可行域．
考虑z＝28x＋21y，将它变形为y＝－x＋，这是斜率为－且随z变化的一族平行直线，是直线在y轴上的截距，当取最小值时，z的值最小．当然直线要与可行域相交，即求在满足约束条件时目标函数z＝28x＋21y的最小值．
由图可知当直线z＝28x＋21y经过可行域上的点M时，截距最小，即z最小．由得M（，）．所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用kg食物A和kg食物B.
规律方法
1．利用线性规划求最小值，可以用来解决许多实际问题，诸如省钱，省工，省材料等问题．
2．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．
变式训练
医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10g含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10g含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：
应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？
【解】 设甲、乙两种原料分别用10xg和10yg，总费用为z，
那么
目标函数为z＝3x＋2y，作出可行域如图．
把z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，得到斜率为－，在y轴上的截距为，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋经过可行域上的点A时，截距最小，即z最小．
由得A（，3），
∴zmin＝3×＋2×3＝14.4.
∴甲种原料×10＝28（g），乙种原料3×10＝30（g），费用最省.
类型3
简单的整数线性规划问题
例3 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：
规格类型
钢板类型
A规格
B规格
C规格
第一种钢板
2
1
1
第二种钢板
1
2
3
今需要A，B，C三种规格的成品分别为15，18，27块，则各截这两种钢板多少张可得所需的三种规格的成品，且使所用钢板的张数最少？
【思路探究】 设截第一种钢板x张，第二种钢板y张．
【自主解答】 设需截第一种钢板x张，第二种钢板y张，共使用钢板z张，
则且x，y都是整数，
求使目标函数z＝x＋y取最小值时的x，y.
作可行域如图所示，平移直线z＝x＋y，
可知直线经过点（，）时z取最小值，
此时x＋y＝，但与都不是整数，
所以可行域内的点（，）不是最优解．
因为非整点最优解为（，），z＝，所以z≥12.
令x＋y＝12，则y＝12－x，代入约束条件整理得3≤x≤，
所以x＝3或x＝4，这时最优整点为（3，9）和（4，8）．
故有以下两种截法：
第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；
第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．
最少要截两种钢板共12张．
规律方法
1．当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最优解也应为整数．
2．若按常规方法求出的不是整数解，可按以下方法调整：
（1）平移直线法：
先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l0，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．
（2）调整优值法：
先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．
变式训练
预计用2000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买桌子、椅子各多少才行？
【解】 设买桌子x张、买椅子y把．
由题意得
目标函数为z＝x＋y，
满足以上不等式组的可行域如图所示．
由得
∴点B的坐标为（25，）．
作直线l：
x＋y＝0，将直线向右上方平移，
当直线l经过可行域中的点B时，z取得最大值．
∵x，y∈N，∴y＝37.
∴应买桌子25张、椅子37把.
易错易误分析
可行域内整点寻找错误
典例 有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于，要使钢管截得的毛坯最多，怎样截最合理？
【错解】 设每根钢管截500mm的毛坯x根，600mm的毛坯y根，
则x，y满足的约束条件为
即
其中x，y均为正整数．
作出可行域，如图所示．
目标函数为z＝x＋y.作一族平行线y＝－x＋z，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线为过A点的直线，求出A点的坐标．
由得
所以A（1，5）
由于x，y均为正整数，故调整为x＝2，y＝5.
所以x＋y＝7.
经检验，满足条件，所以每根钢管截500mm的毛坯两根，600mm的毛坯五根最合理．
【错因分析】 本题错误的原因是：
①没能准确作出一族平行直线y＝－x＋z；②可行域内的整点寻找不准确．
【防范措施】 准确作图，充分考虑实际问题的特殊性．当图上的整点不好分辨时，应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验，而不能采取“四舍五入”的办法．
【正解】 设每根钢管截500mm的毛坯x根，600mm的毛坯y根．
根据题意，得
且x，y均为正整数．
作出可行域，如图3－3－62所示．
目标函数为z＝x＋y，作一族平行直线y＝－x＋z，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B（8，0）的直线，这时x＋y＝8.
因为x，y均为正整数，所以（8，0）不是最优解．
在可行域内找整点，使x＋y＝7.
经验证，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．
答：
每根钢管截500mm的毛坯两根，600mm的毛坯五根，或截500mm的毛坯三根，600mm的毛坯四根，或截500mm的毛坯四根，600mm的毛坯三根，或截500mm的毛坯五根，600mm的毛坯两根，或截500mm的毛坯六根，600mm的毛坯一根最合理．
1．基础知识：
（1）实际应用问题的最优解；
（2）整数线性规划；
（2）用线性规划解决实际问题的一般步骤．
2．基本技能：
（1）收益最大问题；
（2）耗费最小问题；
（3）简单的整数线性规划问题．
3．思想方法：
（1）数形结合思想；
（2）转化与化归思想；
（3）函数思想.
当堂双基达标
1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．
【解析】 设6吨的有x辆，4吨的有y辆，运送货物吨数为z，则z＝6x＋4y.
【答案】 z＝6x＋4y
2．某厂生产甲产品每千克需用原料A和原料B分别为a1kg，b1kg，生产乙产品每千克需用原料A和原料B分别为a2kg，b2kg，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d1元，d2元，月初一次性购进原料A，B各c1kg，c2kg，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为xkg，ykg，月利润总额为z元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为________．
【解析】 对原料A的限制：
a1x＋a2y≤c1，对原料B的限制：
b1x＋b2y≤c2，另外甲、乙两种产品产量x≥0，y≥0.
【答案】
3．某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A原料3吨，B原料2吨，生产每万件乙种配件要用A原料1吨，B原料3吨，销售每件甲种配件可获得利润5元，每件乙种配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是________．
【解析】 设生产甲种配件x万件，生产乙种配件y万件，利润为z万元．
则根据题意有目标函数为z＝5x＋3y.
作出可行域如图所示，则可知A（，0），B（0，6），C（3，4）．由图形可知，目标函数在点C（3，4）处取得最大值，最大值为5×3＋3×4＝27.
【答案】 27万
4．甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知甲区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，乙区的每位同学在返车费是5元，每人可为3位老人服务，如果要求乙区参与活动的同学比甲区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排甲、乙两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？
受到服务的老人最多是多少？
【解】 设甲、乙两区参与活动的人数分别为x，y，受到服务的老人的人数为z，
则z＝5x＋3y，应满足的约束条件是
根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如图所示阴影部分中的点所示．
画直线l0：
5x＋3y＝0，平行移动l0到直线l的位置，使l过可行域内的点M，该点到直线l0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取得最大值，
解方程得点M（4，5）．
因此当x＝4，y＝5时，z取得最大值，并且zmax＝5×4＋3×5＝35.
答：
甲、乙两区参与活动的同学人数分别为4人和5人时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.
课后知能检测
一、填空题
1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．
【解析】 设组成甲种组x组，乙种组y组，则对男工人数的限制为5x＋4y≤25，对女工人数的限制为3x＋5y≤20，组数限制x≥y≥1，故约束条件为.
【答案】
2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法．
【解析】 设票面8角的买x套，票面2元的买y套．由题意得：
即
画出如右图平面区域得
y＝2时，x＝2，3，4，5，6，7，8；
y＝3时，x＝2，3，4，5，6；
y＝4时，x＝2，3，4；
y＝5时，x＝2.
共有7＋5＋3＋1＝16.
【答案】 16
3．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．
【解析】 设购买每袋35千克的x袋，购买每袋24千克的y袋，则求z＝140x＋120y的最小值，作出可行域知，当x＝1，y＝3时费用最少．此时要花费：
z＝140×1＋120×3＝500元．
【答案】 500元
4．一批长400cm的条形钢材，需要将其截成518mm与698mm的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________．
【解析】 设518mm和698mm的毛坯个数分别为x，y，最大利用率为z，则z＝。
又∵
∴为最优解，此时z＝＝99.65%.
【答案】 99.65%
5．某加工厂用某原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品．甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时，可加工出7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6小时，可加工出4千克B产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为________．
【解析】 设甲车间加工原料x箱，乙车间加工原料y箱，由题意可知甲、乙两车间每天总获利为z＝7×40x＋4×50y＝280x＋200y.画出可行域如图所示．点M（15，55）为直线x＋y＝70和直线10x＋6y＝480的交点，由图象知在点M（15，55）处z取得最大值．故填甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱．
【答案】 甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
6．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资20万元，房地产投资30万元组成；进取型组合投资是由每份金融投资40万元，房地产投资30万元组成．已知每份稳健型组合投资每年可获得10万元，每份进取型组合投资每年可获利15万元．若可作投资用的资金中，金融投资不超过160万元，房地产投资不超过180万元，为使一年获利总额最多，稳健型、进取型组合投资应分别注入________份、________份．
【解析】 设稳健型、进取型组合投资应分别注入x、y份，
由题意知一年获利总额z＝10x＋15y，
画可行域如图所示．由目标函数z＝10x＋15y可变为l：
y＝－x＋.
由图显示当l过可行域内点M时在y轴上截距最大，z也有最大值．
由得.
【答案】 4 2
7．某校食堂以面食和米食为主，面食每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位，售价0.4元．学校要给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉，则每份盒饭中面食为________百克，米食为________百克，才既科学又使费用最少．
【解析】 设每份盒饭中面食为x百克，米食y百克，费用z元，则z＝0.5x＋0.4y，且
作出不等式组所表示的平面区域如图阴影部分，
解方程组得A（，）．
由图可知，当且仅当直线y＝－x＋z过点A时，纵截距z最小，即z最小．故当每份盒饭中面食为百克，米食为百克时，既科学费用又少．
【答案】
8．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b（万吨）
c（百万元）
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9万吨铁，若要求CO2的排放量不超过2万吨，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
【解析】 设购买了铁矿石Ax万吨，购买了铁矿石By万吨，购买铁矿石的费用为z百万元，则由题设知，本题即求实数x，y满足约束条件，
即（*）时，z＝3x＋6y的最小值．
作出不等式组（*）表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示．
把z＝3x＋6y变形为y＝－x＋z，得到斜率为－，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．
由图可知，当直线y＝－x＋z经过点A时，z取得最小值，
解方程组得A点坐标为（1，2）．
故zmin＝3×1＋6×2＝15.
【答案】 15
二、解答题
9．某家具厂有方木料90m3，木工板600m3，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m3、木工板2m3；生产每个书橱需要方木料0.2m3，木工板1m3，出售一张书桌可以获利80元，出售一张书橱可以获利120元．问：
怎样安排生产可以获利最大？
【解】 设生产书桌x张，书橱y张，利润为z元，则约束条件为
利润z＝80x＋120y.作出不等式表示的平面区域如图所示，将直线z＝80x＋120y平移可知：
当生产100张书桌，400张书橱时，利润最大为z＝80×100＋120×400＝56000（元）．
10．（2013·扬州检测）下表给出了X、Y、Z三种食物的维生素含量及成本：
维生素A
（单位/kg）
维生素B
（单位/kg）
成本
（元/kg）
X
300
700
5
Y
500
100
4
Z
300
300
2
某人欲将这三种食物混合成100kg的食品，要使混合食品中至少含35000单位的维生素A及40000单位的维生素B，那么X、Y、Z这三种食物各取多少kg时，才能使成本最低？
最低成本是多少元？
【解】 设X、Y这两种食品各取xkg、ykg，则Z取（100－x－y）kg.
根据题意得到约束条件为：
化简得
设成本为z，则目标函数为z＝5x＋4y＋2（100－x－y）＝3x＋2y＋200，
作出可行域图（略），由
解得
所以，当x＝37.5，y＝25时，zmin＝3×37.5＋2×25＋200＝362.5.
答：
X、Y、Z这三种食物各取37.5kg，25kg，37.5kg时，成本最低，最低362.5元．
11．已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，试比较2枝玫瑰与3枝康乃馨的价格哪一个更高．
【解】 设1枝玫瑰的价格为x元，1枝康乃馨的价格为y元，
则
设z＝2x－3y，作出二元一次不等式组
所表示的平面区域（如图所示），即可行域．
考虑z＝2x－3y，将它变形为y＝x－z，这是斜率为，且随z变化的一族平行直线，－z是直线在y轴上的截距，当直线的纵截距最大时，z的值最小．
由图可知，当直线z＝2x－3y经过边界上的点A时，截距最大，即z最小．
解方程组得点A的坐标为（3，2）．
所以zmin＝2×3－3×2＝0（最小值取不到）．所以2x－3y＞0，即2x＞3y.
故2枝玫瑰比3枝康乃馨的价格高。
教师备课资源
（教师用书独具）
备选例题
某工厂投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金200万元，需场地200m2，可
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