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数学一答案
2010数学一答案
【篇一:
考研数学一真题解析2010】
ss=txt>数学
(一)试卷
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
x
极限lim?
x?
?
?
x2
(1)?
?
(x?
a)(x?
b)?
?
=(a)1
(b)e
(c)ea?
b
(d)eb?
a
【考点分析】:
考察1∞型不定性极限。
【求解过程】:
?
方法一:
利用求幂指型极限的一般方法:
i=
limx→∞x2
x
x?
ax+b
=limx→∞exlnx2
x?
a(x+b)
归结为求
?
limx?
?
xln
x2
w(x?
a)(x?
b)lim?
?
x2?
?
?
x?
?
xln?
1?
?
?
?
(x?
a)(x?
b)?
1?
?
?
?
2
?
limx?
?
x?
?
x?
(x?
a)(x?
b)?
1?
?
?
?
lim(a?
b)x?
ab
x?
?
x?
(x?
a)(x?
b)?
a?
b
因此,i=ea?
b,选c【基础回顾】:
对于一般的幂指型极限有:
limf(x)g(x)?
limeg(x)lnf(x)?
elimg(x)lnf(x)
?
方法二:
利用第二个重要极限求解
xx
lim?
x?
?
?
x2?
?
(x?
a)(x?
b)?
?
?
lim?
x?
?
?
1?
?
x2
i?
?
?
?
?
?
?
(x?
a)(x?
b)1?
?
?
?
?
(a?
b)x?
ab?
x
(a?
b)x?
ab
?
limxlim?
?
?
xx?
?
?
?
1?
(x?
a)(x?
b)(x?
a)(x?
b)?
?
?
e
?
ea?
b
【基础回顾】:
一般地,对于1∞型极限,均可利用第二个重要极限求解:
设limf(x)?
1,limg(x)?
?
,则
limf(x)g(x)?
lim?
?
1?
?
f(x)?
1?
?
?
?
e
lim(f(x)?
1)?
g(x)
?
g(x)
(2)设函数z?
z(x,y)由方程f(,)?
0确定,其中f为可微函数,且f2?
?
0,则
yzxx
x
?
z?
z?
y=?
x?
y
(a)x(c)?
x
(b)z(d)?
z
【考点分析】:
隐函数求导【求解过程】:
?
方法一:
全微分法方程f(,)?
0两边求全微分得:
yzxx
yzxdy?
ydxxdz?
zdx
?
f1?
d()?
f2?
d()?
0,即f1?
?
f?
02
xxx2x2
yf1?
?
zf2?
f?
整理得dz?
dx?
1dy
xf2?
f2?
?
zyf1?
?
zf2?
?
z?
z?
zf?
所以,,?
?
1。
代入即可求得x?
y?
z。
选b.?
?
y?
x?
y?
?
x?
f2xf2
?
方法二:
隐函数求导公式法
记g(x,y,z)?
f?
?
yz?
?
,对于隐函数g(x,y,z)?
0,利用隐函数求导公式得:
?
xx?
?
z?
g?
?
?
x?
x
?
y?
?
z?
f1?
?
?
?
2?
?
f2?
?
?
?
2?
?
gx?
x?
yf1?
?
zf2?
?
?
,?
?
1?
zxf2?
f2?
?
x
?
z?
g?
?
?
y?
y
1
?
g?
?
f1?
?
?
?
zf2?
f2?
?
x
f1?
?
?
z?
z?
y?
z。
选b。
?
x?
y
代入即可求得x
?
方法三:
复合函数求导法
由方程f?
?
yz?
?
yz?
?
?
0可确定z?
z(x,y)。
方程f?
?
?
0两边分别对x,y求偏导,?
xx?
?
xx?
注意z?
z(x,y)。
由复合函数求导法则:
对x求偏导:
f1?
?
(?
y?
z1?
z?
?
)?
f?
2?
?
2?
?
?
02
xx?
x?
?
x
对y求偏导:
f1?
?
11?
z?
f2?
?
?
0xx?
y
解得:
f?
?
zyf1?
?
zf2?
?
z
?
?
1?
?
yf2?
?
xxf2?
代入即可求得x
?
z?
z
?
y?
z。
选b。
?
x?
y
【方法总结】:
上述三种方法是求解此类问题的三种典型方法。
要熟悉隐函数求导公式
和复合函数的求导法则,复合函数求导容易出错,注意多加练习。
(3)设m
n为正整数,则反常积分(a)仅与m取值有关(c)与m,n取值都有关
?
的收敛性
(b)仅与n取值有关(d)与m,n取值都无关
【考点分析】:
反常积分的判敛法则,超纲题【基础回顾】:
利用反常积分的判敛法则对瑕点为x?
b的瑕积分敛准则:
?
b
a
f(x)dx,设f(x)在?
a,b)上连续,且f(x)?
0,有如下判
b
(b?
x)f(x)?
k,0?
k?
?
?
0?
m?
1,则①若lim?
x?
b
m
?
a
f(x)dx收敛;
(b?
x)f(x)?
k,0?
k?
?
?
m?
1,则②若lim?
x?
b
m
?
b
a
f(x)dx发散。
【求解过程】:
因为lim?
x?
1
?
?
,所以x=1为瑕点。
2
m1n
而lim?
x?
0
?
lim?
x?
0
xx
?
limx?
x?
0
21
?
mn
,所以x=0是否为瑕点取决于
21
?
是否为mn
负数。
i?
?
仅当
?
?
与dx都收敛,i收敛,否则i发散。
的敛散性
2m
?
①x?
0x
,
与
?
120
1x
12?
nm
敛散性相同,
1112也收敛。
因为m,n均为正整数,所以?
1,所以?
212dx收敛,0?
nmxnm
2m
②x?
0x
,
?
与
?
120
x
21?
mn
dx敛散性相同。
因为
m,n是正整数,所以
21?
-1,mn
若
2121
?
0,则x=0为瑕点,一定存在常数p满足0?
?
?
p?
1,使得
mnmn
px?
0?
limx
?
lim?
x
x?
0
p?
21
?
mn
?
0,于是收敛。
21
不是反常积分,当?
?
0时,x=0
不是瑕点,它存在是一个常数。
mn的敛散性
12m
因为lim(1?
x)?
x?
1
?
lim?
0x?
1?
1
收敛。
而0?
?
1,所以2m所以,选d
【自我总结】:
若反常积分的结果能够通过计算获得,那么其敛散性可直接由计算获知。
若反常积分无法计算,那么其敛散性应由判别法获得。
本题属于由判别法获知反常积分的敛散性。
(4)lim
n
=?
?
22x?
?
i?
1j?
1(n?
i)(n?
j)
nn
(a)
?
?
1
dx?
dx?
x
1
dy
(1?
x)(1?
y2)
(b)
?
1
dx?
x
1
dy
(1?
x)(1?
y)
(c)
1
1
dy
0(1?
x)(1?
y)
1
(d)
?
1
dx?
1
dy
0(1?
x)(1?
y2)
1
【考点分析】:
考察利用积分定义求极限【思路来源】:
把和式化成二重积分定义的形式求解,把和式化成定积分定义的形式求解【求解过程】:
nn
n
?
n?
lim?
?
?
lim?
?
22n?
?
n?
?
i?
1j?
1(n?
i)(n?
j)i?
1j?
1
n
n
1
i?
j?
(1?
)(1?
?
?
)
n?
n?
2
?
1
2n
?
方法一:
化成两个定积分定义式的乘积
n
1111
?
n?
lim?
?
?
?
?
n?
?
j?
1?
j?
2ni?
1n1?
1?
?
?
n?
n?
n
,选d
?
?
111111
?
?
?
dx?
0?
0(1?
x)(1?
y2)01?
x01?
y21
?
方法二:
化成二重积分定义式的形式
记d是正方形区域:
?
(x,y)}|0?
x?
1,0?
y?
1?
,f(x,y)?
1
(1?
x)(1?
y2)
1
,于是?
n是f(x,y)在2n
将d的长与宽均n等分,分成n2个小正方形,每个小正方形面积是d上的一个积分和。
?
n?
?
?
d
11dxdy1
f(x,y)dxdy?
?
?
?
dxdy,选d22?
?
00(1?
x)(1?
y)(1?
x)(1?
y)d
(5)设a为m?
n型矩阵,b为n?
m型矩阵,若ab?
e,则(a)秩(a)?
m,秩(b)?
m(c)秩(a)?
n,秩(b)?
m
(b)秩(a)?
m,秩(b)?
n(d)秩(a)?
n,秩(b)?
n
【考点分析】:
矩阵秩的相关公式【求解过程】:
【篇二:
2010高考全国数学一理科答案】
0年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(必修+选修ii)
本试卷分第i卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第i卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第i卷
注意事项:
1.答题前,考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2.每小题选出答案后,用2b铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。
.........3.第i卷共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
参考公式:
如果事件a、b互斥,那么球的表面积公式
p(a?
b)?
p(a)?
p(b)s?
4?
r2
如果事件a、b相互独立,那么其中r表示球的半径p(a?
b)?
p(a)?
p(b)球的体积公式如果事件a在一次试验中发生的概率是p,那么v?
3
?
r34
n次独立重复试验中事件a恰好发生k次的概率其中r表示球的半径
kkn?
k
p(k)?
cp(1?
p)(k?
0,1,2,…n)nn
一.选择题
(1)复数
3?
2i
?
2?
3i
(a)i(b)?
i(c)12-13i(d)12+13i
1.a【命题意图】本小题主要考查复数的基本运算,重点考查分母实数化的转化技巧.
【解析】
3?
2i(3?
2i)(2?
3i)6?
9i?
4i?
6
?
?
?
i.2?
3i(2?
3i)(2?
3i)13
(2)记cos(?
80?
)?
k,那么tan100?
?
a.b.
-c.
kk
d.
2.b【命题意图】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数关系式等三角函数知识,并突出了弦切互化这一转化思想的应用.
?
?
【解析】sin80?
?
?
所以tan100?
?
?
tan80
sin80?
?
?
?
?
cos80?
y?
1,
?
(3)若变量x,y满足约束条件?
x?
y?
0,则z?
x?
2y的最大值为
?
x?
y?
2?
0,?
(a)4(b)3(c)2(d)1
3.b【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.
【解析】画出可行域(如右图),由图可知,当直线l经过点a(1,-1)时,z最大,且最大值为
zmax?
1?
2?
(?
1)?
3.
x?
?
2y?
0
(4)已知各项均为正数的等比数列{an},a1a2a3=5,a7a8a9=10,则a4a5a6=(a)4.a【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.
3
【解析】由等比数列的性质知a1a2a3?
(a1a3)?
a2?
a2?
5,
1
3
a7a8a9?
(a7a9)?
a8?
a?
10,所以a2a8?
50,3
8
所以a4a5a6?
(a4a6)?
a5?
a?
?
(50)?
(5)(1?
3(15的展开式中x的系数是(a)-4(b)-2(c)2(d)4
5.b【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况,尤其是展
35
3
163
开式的通项公式的灵活应用,以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数,同时也考查了考生的一些基本运算能力
.
【解析】(1?
3(1
5?
(1?
12x
?
85
故
(1?
3(1
5的展开式中含x的项为
3301?
c5(?
12xc5?
?
10x?
12x?
?
2x,所以x的系数为-2.
(6)某校开设a类选修课3门,b类选择课4门,一位同学从中共选3门,若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有(a)30种(b)35种(c)42种(d)48种
6.a【命题意图】本小题主要考查分类计数原理、组合知识,以及分类讨论的数学思想.
【解析】:
可分以下
12
2种情况:
(1)a类选修课选1门,b类选修课选2门,有c3c4
1
种不同的选法;
(2)a类选修课选2门,b类选修课选1门,有c32c4种不同的选1221法.所以不同的选法共有c3c4+c3c4?
18?
12?
30种.
(7)正方体abcd-a1b1c
1d1中,bb1与平面acd
1所成角的余弦值为a
2bcd33
33
7.d【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法,利用等体积转化求出d到平面acd1的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.
【解析】因为bb1//dd1,所以bb1与平面
1a1
a
cb1
c1
acd1所成角和dd1与平面acd1所成角相等,
设do⊥平面acd1,由等体积法得vd?
acd1?
vd1?
acd,即dd1=a,
则s?
acd1?
11
s?
acd1?
do?
s?
acd?
dd1.设33
11112
cd?
a2.ac?
ad1sin60?
?
?
)2?
?
s?
acd?
ad?
222222
3
s?
ac?
ddd1
a,记dd1与平面acd1所成角为?
则所
以do?
s?
ac1dsin?
?
do,
所以cos?
?
.?
dd1?
1
2
(8)设a=log32,b=in2,c=5
则
aabcbbcaccabdcba
8.c【命题意图】本小题以指数、对数为载体,主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.【解析】a=log32=
12
11
b=in2=,而log23?
log2e?
1,所以ab,log23log2e
c=5
?
?
2?
log24?
log23,所以ca,综上cab.2
2
(9)已知f1、f2为双曲线c:
x?
y?
1的左、右焦点,点p在c上,∠f1pf2=60,则p到x轴的距离为
(a)
(c)
(d)9.b【命题意图】本小题主要考查双曲线的几何性质、第二定义、余弦定理,考查转化的数学思想,通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.
【解析】不妨设点p(x0,y0)在双曲线的右支,由双曲线的第二定义
得
a2
|pf|e[0x?
1?
c
定理得
a2
)?
]a?
0ex
,2pfx2|?
e[x0?
)]?
ex0?
a?
0?
1.由余弦0|
c
|pf1|2?
|pf2|2?
|f1f2|22220
cos∠f,即cos60?
1pf2=
2|pf1||pf2|解得x0?
2
5322
所以y0?
x0?
1?
,故p到x
轴的距离为|y0|?
222
(10)已知函数f(x)=|lgx|,若0ab,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是
(a)?
?
)
(b)?
?
)(c)(3,?
?
)(d)[3,?
?
)
10.a【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域,考生在做本小题时极易忽视a的取值范围,而利用均值不等式求得
a+2b?
a?
也是命题者的用苦良心之处.
【解析】因为f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去),或b?
又0ab,所以0a1b,令f(a)?
a?
减函数,所以f(a)f
(1)=1+
2
?
从而错选a,这a
12,所以a+2b=a?
aa
2
由“对勾”函数的性质知函数f(a)在a?
(0,1)上为a
2
=3,即a+2b的取值范围是(3,+∞).1
(11)已知圆o的半径为1,pa、pb为该圆的两条切线,a、b为俩切点,那么pa?
pb的最小值为
(a)?
4
(b)?
3
(c)?
4?
(d)?
3?
11.d【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理,着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.【解析】如图所示:
设pa=pb=x(x?
0),∠apo=?
则∠apb=2?
,
,sin?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
x2(x2?
1)x4?
x222
=2,pa?
pb?
|pa|?
|pb|cos2?
=x(1?
2sin?
)=2
x?
1x?
1?
?
?
?
?
?
?
?
x4?
x22
令pa?
pb?
y,则y?
2,即x4?
(1?
y)x2?
y?
0,由x是实数,所以
x?
1
?
?
[?
(1?
y)]2?
4?
1?
(?
y)?
0,y2?
6y?
1?
0,解得y?
?
3?
y?
?
3?
.
故
(pa?
pb)min?
?
3?
此时x?
(12)已知在半径为2的球面上有a、b、c、d四点,若ab=cd=2,则四面体abcd的体积的最大值为
(a)
(b)
(c)
(d)333
12.b【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.
【解析】过cd作平面pcd,使ab⊥平面pcd,交ab与p,设点p到cd的距离为h,
则有