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《物理光学》课程设计

电子科技大学光电信息学院

课程设计论文

课程名称物理光学

题目名称一维光子晶体特性研究

学号，姓名*************伊海

2014050104003李林泽

2014050104008汤迅

指导老师韦晨

起止时间2016.12.15---2017.1.10

2017年1月09日

摘要

光子晶体（photoniccrystals）是一种具有周期性介电常数的介电结构。

由折射率的周期性排列的空间维度不同，分为一维，二维和三维光子晶体，其周期性和光的波长为同一个数量级。

光子晶体也被称为光子带隙材料（photonicbandgapmaterials）。

光子晶体具有很多奇特的性质：

光子带隙特性，自辐射的抑制，光子双稳态特性，光子局域特性等。

其中最重要的特性就是光子带隙。

频率落在光子带隙内的电磁波无法通过光子晶体传播，这为人们设计不同的器件来实现对光的控制提供了可能。

由于光子晶体独特的性能和潜在的应用前景，人们对光子晶体的理论分析和实验研究投入了极大的热情，使之成为一个迅速发展的新的科学领域。

本文以一维光子晶体为主要研究对象，深入分析了光子晶体的传输特性，主要内容为：

1.一维光子晶体的概念，结构和特性。

2.一维光子晶体与传统多层光学膜层对比。

3.一维光子晶体的应用（以窄带滤波器为例，说明其工作原理和特性）

关键词：

一维光子晶体，光子带隙，光子局域，表面态，传输特性，窄带滤波器

目录：

第一章一维光子晶体的概念，结构和特性……………………………3

1.1一维光子晶体的概念……………………………………………………3

1.1.1光子晶体的概念……………………………………………………3

1.1.2光子晶体的分类……………………………………………………3

1.2一维光子晶体的结构……………………………………………………4

1.2.1一维光子晶体的结构模型…………………………………………4

1.2.2一维光子晶体的本征方程…………………………………………5

1.2.3一维光子晶体结构的主要分析方法……………………………6

1.3一维光子晶体的特性……………………………………………………7

1.3.1光子带隙…………………………………………………………7

1.3.2光子局域…………………………………………………………7

第二章一维光子晶体与传统多层光学膜层比较………………………8

第三章一维光子晶体的应用（以窄带滤波器为例，说明其工作原理和特性）

第一章一维光子晶体的概念，结构和特性

1.1光子晶体

光子晶体是指具有光子带隙（PhotonicBand-Gap,简称为PBG）特性的人造周期性电介质结构，有时也称为PBG光子晶体结构。

1.1.1光子晶体的概念

光子晶体的概念是1987年Yablonovieth和John分别在讨论周期性电介质结构对材料中光传播行为的影响时，各自独立地提出的。

这种材料有一个显著的特点，即它可以如人所愿地控制光子的行为，是可以广泛应用于光电集成、光子集成、光通讯、微波通讯、空间光电技术以及国防科技等现代高新技术的一种新材料，也是为相关学科发展和高新技术突破带来新机遇的关键性基础材料。

我们知道，在半导体材料中由于周期势场作用，电子会形成能带结构，带和带之间有带隙。

电子波的能量如果落在带隙中，传播是被禁止的。

光子的情况其实也非常类似。

如果将具有不同介电常数的介质材料在空间按一定的周期排列，由于存在周期性，在其中传播的光波的色散曲线将成带状结构，带和带之间可能会出现类似半导体带隙的“光子带隙”（photonicbandgap）。

频率落在带隙的光是被禁止传播的。

如果只在一个方向具有周期结构，光子带隙只可能出现在这个方向上，如果存在三维的周期结构，就有可能出现全方位的光子带隙，落在带隙中的光在任何方向都被禁止传播。

具有光子带隙的周期性电介质结构称为光子晶体（photoniccrystal）。

光子晶体即光子禁带材料，从材料结构上看，光子晶体是一类在光学尺度上具有周期性介电结构的人工设计和制造的晶体。

1.1.2光子晶体的分类

按照组成光子晶体的介质排列方式的不同，可将其分为一维、二维和三维光子晶体，其空间结构如图1-1所示。

图1-1光子晶体空间结构

所谓一维光子晶体是指介质折射率在空间一个方向具有周期性分布的光子晶体材料。

简单结构的一维光子晶体通常由两种介质交替叠层而成，在垂直于介质层方向上介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质层平面的方向上介电常数不随空间位置变化。

最初人们认为，由于只在一个方向上具有周期性结构，一维光子晶体的光子带隙只可能出现在这个方向上。

然而后来Joannopoulos和他的同事从理论和实验上指出一维光子晶体也可能具有全方位的三维带隙结构，因而需由二、三维光子晶体材料制作的器件用一维光子晶体材料也可能制备出来。

并且相对而言，一维光子晶体在结构上最为简单，易于制备。

因此一维光子晶体有很高的研究意义和应用价值。

本文主要对一维光子晶体进行研究。

二维光子晶体是指在二维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料，它是由许多介质杆平行而均匀地排列而成的。

这种结构在垂直于介质杆的方向上（两个方向）介电常数是空间位置的周期性函数，而在平行于介质杆的方向上介电常数不随空间位置而变化。

三维光子晶体是指在三维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料。

三维光子晶体具有出现全方位的光子带隙，即落在带隙中的光在任何方向都被禁止传播。

1.2一维光子晶体的结构

光子晶体有类似电子晶体的结构，但是由于其具有光子带隙的周期性电介质结构，结构还是有其特色。

1.2.1一维光子晶体的结构模型

一维光子晶体是由两种不同相对介电常量（

a,

b）和厚度（a,b层）的介质层交替排列构成的一维周期性结构。

如图1-2所示，空间周期d=a+b。

图1-2一维光子晶体模型

计算模型如图2-1所示，介质交界面处的电磁场满足边界条件。

每一介质层与光波的相互作用可由其特征矩阵完全决定。

介质层两边的场矢量EN,HN和EN+1,HN+1的模可以用特征矩阵联系起来：

（2.1.1）

1.2.2一维光子晶体的本征方程

光也是一种电磁波，所以光子晶体的特性可由Maxwell方程准确描述，其微分形式为：

（2.2.1）

（2.2.2）

（2.2.3）

（2.2.4）

其中，

为电场强度，

为电位移矢量，

为磁场强度，

为磁感应强度，

为电荷密度，

为电流密度。

此外，

、

和

、

需满足如下方程：

（2.2.5）

（2.2.6）

其中，

为介质的介电常数，

为介质的磁导率。

这两者均由材料本身的性质决定，为了简化推导，在这里我们仅考虑均匀各向同性介质的情况。

故在无空间电荷和电流的情况下可以得到：

，J＝0（2.2.7）

将方程（2.2.5）、（2.2.6）及（2.2.7）式代入（2.2.1）—（2.2.4）式可得：

（2.2.8）

（2.2.9）

（2.2.10）

（2.2.11）

将（2.2.8）式两边取旋度得到:

（2.2.12）

把（2.2.9）式带入上式并消去旋度

可得:

（2.2.13）

利用恒等式：

和

化简（2.2.13）式可以得到如下表达式：

（2.2.14）

利用恒等式：

化简（2.2.10）式可得：

（2.2.15）

把（2.2.15）式带入（2.2.14）化简可得:

（2.2.16）

上式即为电场

的本征方程，若从此式求解，我们可以称之为E波法。

同理，我们可以得到磁场强度H的本征方程:

（2.2.17）

相应地，我们称之为H波法。

1.2.3一维光子晶体结构的主要分析方法

光子晶体的理论研究始于上世纪80年代末期。

虽然1987年Yablonovitch和John就提出了光子晶体的概念，但直到1989年，Yablonovitch和Gmitter首次在实验上证实三维光子能带结构的存在，物理界才开始大举投入这方面的理论研究。

由于光子晶体有类似电子晶体的结构，人们通常采用分析电子晶体的方法结构电磁理论来分析光子晶体的特性，并取得了和试验一致的结果。

主要的方法有：

平面波展开法（planewaveexpansionmethod简称：

PWM）、传输矩阵法（transfermatrixmethod简称：

TMN）、有限差分时域法（finitedifferencetimedomain简称：

FDTD）和散射矩阵法（scatteringmatrixmethod简称：

SMM）等。

　　平面波展开法是比较常用的一种方法，它的基本思想是：

将电磁场以平面波的形式展开，可以将麦克斯韦方程组化成一个本征方程，求解该方程的本征值便得到传播光子的本征频率。

这种方法的不足之处是当光子晶体结构复杂或处理有缺陷的体系时，可能因为计算能力的限制而不能计算或者难以准确计算。

而且如果介电常数不是常数而是随频率变化，就没有一个确定的本征方程形式，这种情况下根本无法求解。

　　传输矩阵法是将磁场在实空间的格点位置展开，将麦克斯韦方程组化成传输矩阵形式，同样变成本征值求解问题。

传输矩阵表示一层（面）格点的场强与紧邻的另一层（面）格点场强的关系，它假设在构成的空间中在同一个格点层（面）上有相同的态和相同的频率，这样可以利用麦克斯韦方程组将场从一个位置外推到整个晶体空间。

这种方法对介电常数随频率变化我金属系统特别有效，而且由于传输矩阵小，矩阵元少，运算量小，同时在计算传输光谱时也是十分方便的。

但是用该方法求解电磁场的分布较为麻烦，效率不是很高，因此对于光子晶体物理特性的理解没有太大的帮助。

　　有限差分时域法是电磁场数值计算的经典方法之一。

在这里将一个单位原跑划分成许多网状小格，列出网上每个结点的有限差分议程，利用布里渊区边界的周斯条件，同样将麦克斯韦方程组化成矩阵形式的特征方程，这个矩阵是准对角化的，其中只有少量的一些非零矩阵元，计算最小。

但是由于有限差分时域法没有考虑晶格的具体形状，在遇到特殊形状晶格的光子晶体时，很难精确求解。

　　散射矩阵法假定光子晶体由各向同性的介质组成，其中充满了各种开头和尺寸的没有重叠的光学散射中心。

通过对所有的散射中心的散射场应用傅立叶－贝塞尔展开来求解亥姆霍兹方程，从而计算出在光子晶体中传输的场分布。

应用这种方法对于求解场分布和传输光谱都是可行的，但是由于这种方法需要较长的运算时间，在有些情形下实际上是不可行的。

　　实际理论分析中，还有很多其他的方法，如：

有限元法、N阶法等。

1.3一维光子晶体的特性

光子晶体有三个个主要的特性，分别是光子带隙、光子局域特性和表面态，它们是光子晶体应用的基础。

正是基于光子晶体的这些性质，光子晶体才展现出了诱人的应用前景。

1.3.1光子带隙

光子带隙是光子晶体的一个最基本的特性。

在具有完全带隙的光子晶体中，频率落在带隙中的光子是被完全禁止传播的。

在半导体晶体中原子排布的晶格结构产生的周期性电势场影响着在其中运动的电子的性质。

由于原子的布拉格散射，在布里渊区的边界上能量变得不再连续，因而出现了电子带隙。

而在光子晶体中，由于介电常数在空间的周期性变化，也存在类似的周期性势场。

当介电常数变化幅度较大且与光的波长可以相比拟时，介质的布拉格散射也会产生带隙，即光子带隙。

相应于此带隙区域的那些频率的光，在某些方向上是被严格禁止传播的。

在光子带隙内，不存在任何电磁波传播的模式，这将显著地改变光与物质相互作用的方式，其中最引人瞩目的是原子和分子的自发辐射。

1.3.2光子局域

光子晶体的另一个主要特征是光子局域，当光子晶体中引入杂质或缺陷后，晶体原有的周期性被破坏，从而有可能在光子晶体带隙中出现频宽极窄的缺陷态。

和缺陷态频率吻合的光子有可能被局域在缺陷位置，一旦偏离缺陷位置，光就将迅速衰减。

则可以做成光波导;引入平面缺陷，则可以用作平面波导或半面谐振腔。

利用缺陷态，人们可以随心所欲的控制光子，比对半导体中电子的控制方法更灵活多样，半导体材料己经给社会生活的各个方面带来了很大的冲击，而光子晶体则有可能在21世纪扮演更为重要的角色，特别是在未来的全光集成回路里充当关键角色。

1999年底，光子晶体被美国《Science》杂志评选为重大科学进展的领域之一，预示着21世纪将是一个光子的世纪。

1.3.3表面态

光子晶体的表面态也是光子晶体的重要特性之一。

表面态是指光被束缚在晶体的表面传播，一旦偏离晶体表面，光将迅速衰减。

形成表面态的条件是：

在空气和晶体结构的交界面处，在电介质材料的一侧形成光子带隙，而在空气的一侧不形成带隙，这样，某些频率的光，就有可能束缚在晶体表面进行传播，但是，只有那些在表面两侧即空气层和介质层都衰减的模才可以形成表面态。

另外，光子晶体和普通的光学材料不同，一些特殊结构的光子晶体可以具有某些特殊性能。

主要表现为具有超棱镜效应、超校直效应、超透镜效应、复折射效应以及它有绝缘性、弯曲性等，利用光子晶体这些特性可以做出尺寸很小而功能很强的光子器件。

第二章一维光子晶体与传统多层光学膜层

一维光子晶体在结构上类似于光学多层介质膜，因此它们在光子传输特性上有相同的地方。

可以认为光学多层介质膜就是光子晶体的一个特例。

传统的光学多层介质膜是由

厚度的高.低折射率材料交错叠合组成，这种材料的折射率周期性变化的周期长度与波长

有大致相同的数量级，当光子在这种结构材料中运动时可能存在着光子禁带。

事实上，光学多层高反射介质膜正是一种具有光子禁带的一维光子晶体材料，在中心波长入附近的一个波长范围，有接近100%的反射率，透射率接近于零。

这就是说，如果光子的频率或波矢落在这个范围内，它就不能在晶体中传输，而在这个频率范围以外的光子却可以在晶体中传输，这个频率范围就是光子频率的禁带。

既然光学多层介质膜在结构上与一维光子晶体类似，那么用处理光学薄膜特性的特征导纳矩阵法，求出光子在多层介质膜中传输的特性就应该与用光子晶体理论和分析处理方法得到一致的结果。

高反射介质膜除了各层的光学厚度必须是

外，还要使多层介质膜两边的最外层薄膜为高折射率层。

所以膜系具有奇数层薄膜。

对于正入射光束，从多层膜膜系中所有界面上反射的光束，当它们回到前表面时具有相同的相位，从而产生相长干涉，这样一组介质膜系，在理论上可望得到接近100%的反射率。

这样结构的膜系，随着薄膜层数的增加，反射率稳定的增加。

在实际中，当薄膜层数达到11层以上时，以射率一般可接近于1。

两种介质的折射率相差越大，反射率越高。

并且反射带的宽度

，当层数达到11层时，基本保持不变，

决定于膜系的高低折射率的比例。

在高反射带的两侧，反射率陡然降落为小的振荡着的数值，如图3-1所示，图中

是高反射带的中心波长，g是相对波长数，g=

/

。

图3-15、7、9层光学多层介质膜的反射谱

因此,在高反射光学介质膜系中,光子的禁带与高反射带相对应。

位于禁带内的光子,被膜系全部反射,位于禁带之间的光子,可以穿过这个多层膜系,反射率急剧降低。

用导纳传输矩阵方法对高反射多层介质膜的计算可以知道,除了在中心波长

处出现高反射带外,在

/3.

/5....等波长处还存在着高级次的反射带,各反射带的相对波长数宽度

是一样的,但是相应的波长宽度却近似地按1/9,1/25...的比例减小,这些特点与用光子晶体理论分析处理的结果是完全一致的。

传统的高反射多层介质膜通常用在入射角比较固定的情况,如激光腔腔片.分束镜片等。

但是作为一种光子晶体,在更广泛的应用中,要求入射角在任何角度时,膜系均具有高的反射率,并且反射带的宽度在不同入射角度下应有重合的部分,也就是具有完全的带隙。

下面对一个具体的多介质膜,计算当入射角变化时,主反射带宽度的变化规律。

设多层膜的参量为

=3.4,

=1.7,各层薄膜的厚度均取

/4,可算出主反射带宽度随入射角的变化情况如图3-2所示。

其中p偏振光的反射带宽度随入射角的增加而慢慢减小,而s偏振光却相反,这与用光子晶体理论分析的结果一致。

图3-2反射带的宽度随入射角的变化

但是一个对于正入射光具有

厚度、高低折射率交替变化的膜系，当光线斜入射时，各层膜的光学厚度就偏离了

片厚度。

入射角越大，偏离程度越严重，结果使光线正入射时的高反射多层膜，在光线斜入射时的反射率下降。

对于上面计算

时的这个具体多层膜，当膜系是由11层薄膜镀在玻璃（

=1.52）的基片上时，可计算出入射角在不同角度时的反射率。

结果表明，主反射带的中心波长随入射角的增大缓慢向短波方向移动，反射率逐渐降低。

正入射时的反射率可达到99.966%，当入射角增大到30

时，反射率降到95.982%。

所以一般的光学多层介质膜不能做成全方位反射镜。

YoelFink等人用聚苯乙烯薄层和金属帝薄层交替制成的多层膜结构，获得了在红外波段（

）的全方位反射镜。

它在2

空间具有完全的光子禁带，对于P偏振和S偏振光，当光线入射角从正入射变到掠入射，在

波长范围内，光线均被高反射而不能穿过此多层膜。

从光的折射定律可以看出，当光线以一定的入射角从空气进入多层介质膜时，第一层高折射率薄膜的折射率越高，光在多层膜中传输时越靠近正入射的方向，使反射率比正入射时下降得少一些，所以对于层数较少的多层介质膜，选取

越大，可以在较大波长范围，较大入射角范围获得高反射率，也就是增加了光子晶体的禁带宽度。

但是从光子晶体的角度，只要是周期性分层介质，并且两种介质的折射率有明显的差别，总会存在光子禁带，对介质层的层数是偶数还是奇数，或者两边是否是高折射率层并没有特殊要求。

实际上，若不考虑膜的损耗，对于

的多层介质膜，在正入射时，用光学导纳传输矩阵可以算出.2N层或2N+1层膜系的反射率为

式中，

是玻璃衬底的折射率，

是空气的折射率，一般情况下，

≈1.52，

=1，

和

分别是一个周期内第一层膜的折射率和第二层膜的折射率。

比较.2N层膜和2N+1层膜的反射率可以看出

/

>1，并且膜的层数2N足够大时，

而

和

是相差不大的数，这时

和

的值都非常接近于1，且差别不大，也就是说，膜的层数是偶数还是奇数对反射率并没有什么影响。

另外，如果第一层是低折射率的膜层，或两边最外层均为低折射率膜层，这时

只要层数足够多，

使得R表达式中分子与分母的第二项远远小于1，这时反射率R仍然非常接近1。

所以对于膜层数足够多的介质膜，没有必要对膜层的奇偶性及折射率的排布有特殊的限制。

这些都说明光学多层介质膜就是一种特殊的一维光子晶体。

过去由于镀膜技术的限制，膜材料的吸收和散射损耗，以及洁净度等问题，当膜系达到一定层数时，继续增加膜层，反而使反射率下降，因此，对于层数较少的多层介质膜，为了提高反射率，对膜层数以及高低折射率膜层的排布提出了一定的要求。

第三章一维光子晶体的应用（以窄带滤波器为例，说明其工作原理和特性）

信息产业发展的速度史无前例。

为了满足爆炸性增长的带宽需求,作为主要的通信传输手段,光纤通信正向着超高速率超大容量、超长距离以及全光传输网化的方向发展。

其中,高比特率的密集波分复用技术是全光传输网的基础,而稳定的光滤波器是该系统中的关键器件之一。

光滤波器是光子技术的基本元件之一,不仅在光通信领域有着广泛的应用,而且也能够进行光学信息处理。

光滤波器的质量和体积等参数直接影响到它的应用价值。

光子晶体的出现为制造出高质量的光滤波器提供了基础。

它是由高介电常数介质材料和低介电常数介质材料在空间上做周期交替排列而得到的,其晶格常数与工作光波的波长为同一数量级。

作为一种波长选择器件，光滤波器可以用于半导体激光器或光纤激光器的反射腔镜和窄带滤波、复用/解复用器、光放大器中的噪声抑制、波长选择器、波长转换器、色散补偿器以及延时器等。

近年来,滤波器的研究发展十分迅速，受到了人们的普遍关注。

光滤波器的种类繁多，性能各异，功能也各不相同。

光滤波器的质量和体积等参数直接影响到它的应用价值。

目前实现波长选择的方法主要有干涉滤波法、棱镜和光栅的色散分光法、光纤布喇格光栅（FBG）光谱滤波法、声光滤波法、集成纤维或集成波导滤波法等等。

目前在高速率光纤通信系统和网络中广泛应用的光滤波器有法布里-珀罗谐振腔滤波器、马赫-陈德尔干涉型光滤波器、基于光栅的滤波器、介质膜滤波器、有源光滤波器、原子共振滤波器等

窄带滤波器的原理

前文已经述及,光子晶体具有光子带隙,频率落在带隙内的光子是不能在介质中传播的,是一个自然的理想带阻滤波器。

用金属材料制作的光子晶体在某一频率之下全是带隙区,是理想的高通滤波器一。

另外研究发现,当光子晶体中的某些单元被取消而形成缺陷时,在光子带隙内的某些频率会毫无损失地穿过光子晶体。

该现象称为光子态局域,是光子晶体的另一个重要性质。

利用光子晶体这两个重要的特性,我们可以制作各式各样的滤波器。

一维光子晶体折射率只在一维方向上周期性变化,一个周期可以由几层不同折射率的材料组成,最简单的情况是由两种材料组成。

在上一章中我们采用椭圆偏振法已经获得了和薄膜的折射率和。

依据此结果,我们设计出具有缺陷结构的二元一维光子晶体,利用传输矩阵方法对其光子带隙进行计算和研究,从而得到相关滤波器的优化设计方案。

介质膜滤波器、有源光滤波器、原子共振滤波器等。

窄带选频滤波器的特性

当光子晶体中的某些单元被取消而造成缺陷时，就会使得光子晶体的光子频率禁带出现一些“可穿透窗口”，即光子频率禁带内的某些频率会毫无损失地穿过光子晶体。

光子晶体的这一特性可以用来制作高品质的极窄带选频滤波器，对于发展超高密度波分复用光通信技术和超高精度光学信息测量仪器具有重要应用价值。

此外，使光子晶体形成非寻常形状的晶格还可使线宽进一步压窄，因此可以制成可调节带宽的极窄带选频滤波器。

光子晶体滤波器的特点在于其滤波性能远优于普通的光滤波器，其阻带区对透过光的抑制可以容易地达到30dB以上，而且光子晶体滤波器的带阻边沿的陡峭度可以容易做到接近于90°。

另外，由于光子晶体都是使用对光波几乎没有损耗的介质材料制成的，所以光子晶体滤波器对通过波段的光波的损耗非常小。

这些都是理想滤波器的典型特征。

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