概率论和数理统计试题及答案docx.docx
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概率论和数理统计试题及答案docx
.
概率论和数理统计试题及答案
一、填空题:
1、设A与B相互独立，P（A）=1,P（B）=1,
则P（B-A）=
.
3
2
解：
P（B
A）
P（B）[1
P（A）]
1
（11）
1
2
3
3
2、设X~U[1,3]（均匀分布），则E（X
2）
，D（2X）
．
E（5X
2）
，
解：
E（X）2;D（X）1/3
E（X2）D（X）E（X）2
13/3
D（2X）4D（X）4/3
E（5X
2）
5E（X）
2
10
2
8
3、设随机变量X服从指数分布，即
X~E
（2）,
定义随机变量
2,X
3
Y
1,X
3
则Y
的分布列为
。
1,X3
解：
FY（Y）
P（Y
y）
P（Y
1）
P（X
3）
3
2e2xdx
e2x3
1e62
0
0
FY（Y）
P（Y
y）
P（
1
Y
1）
P（X
3）
32e2xdx
e2x3
1e6
0
0
FY（Y）
P（Y
y）
P（1
Y2）
P（X
3）
其中
是与y无关的量
3
2e
2xdx
e2x3
1e62
0
0
4、设X~B（200,0.1）
Y~P（3）
Z~N（3,22），且X，Y,Z相互独立,则
E（2X
3Y
Z
5）
D（2X
3YZ
5）
解
：
E（2X
3Y
Z
5）
2E（X）
3E（Y）
E（Z）5
2
200
0.1
333533
D（2X
3Y
Z
5）
4D（X）
9D（Y）
D（Z）
7227
4
103
.
.
5、设总体X~N（,
2），x1,x2,x3为来自X的样本，?
0.5x10.1x2ax3
是未知参数
的无偏估计，则
a
。
解：
因为是无偏估计所以
E（
?
E（0.5x1
0.1x2
ax3）
0.5E（x1）0.1E（x2）
aE（x3）
）
（0.5
0.1a）E（X）
（0.5
0.1a）
（0.50.1a）1
a
0.4
6、设X~N（1,
12），Y~N（
2,
22）,X与Y相互独立，且X与Y分别为X,Y的样
本均值，样本容量分别为
n1,n2。
若
12,
22已知，则检验假设：
H0:
1
2；H1:
12
的检验统计量为
。
解：
（X
Y）
2
2
1
2
n1
n2
7、设随机变量X服从正态分布N（,1）,
关于
的二者必居其一的假设为
H0:
0;H1:
1,且假设的拒绝域取为
W:
xc（0c
1）,其中x是容量为n的样本均
值，则以
W为拒绝域的检验法犯第
II类错误的概率
＝
。
解：
因为（x）/（n）服从于标准正态分布
P（）P（x/（/n）c/（/n）u0）
P（cnxcn）
2（cn）1
二、单项选择题（每小题
3分，共15
分）
1、设A、B、C是三个事件，则下列事件中必与
A互斥的是
【
C
】
A、ABC
B、AUBUC
C、AUBUC
D、ABUAC
1,x
1
2、设随机变量X的分布函数F（x）
x3,0
x
1，则E（X）
【
C
】
0,x
0
.
.
A、1
3
1
1
B、
C、
D、
4
2
4
解：
f（x）
dF（X）
1x1
=
2x2
0x1
0
x
0
E（x）
xf（x）dx
1
3
1
x
41
1
2xdx
2
0
2
0
3、设X服从参数
0.5的指数分布，则Y
2X的概率密度函数是
【
B】
0.5e0.5y
y
0
0.25e0.25yy
0
A、fY（y）
y
0
B、fY（y）
0
0
0y
ey2
y
0
ey
y
0
C、fY（y）
y
0
D、fY（y）
y
0
0
0
解：
fY（y）fx
（y）d（y）
2
2
1
0.5
y
0.5e
2
y0
2
=
0y0
4、一个螺丝钉的质量是一个随机变量，均值为50g，标准差为5g，应用独立同分布
的中心极限定理，则一盒（100个）螺丝钉的质量超过5100g的概率p【C】
A、1
（1）B、
（1）C、1
（2）D、
（2）
n
解：
P（xi5100）
i1
.
.
n
xi
n
5100100
50）
1
p（i
1
n
100
5
1
p（z
2）
1
（2）
5、x
x,⋯，x
是正体N（0，2）的本，在下列各式中，正确的是【
1
2
9
】
A、
1
9
2
~
2
（9）
B、
1
9
2
~
2
（8）
8i1
xi
9i1
xi
C、
1
9
2
~
2
（9）
D、
1
9
2
~
2
（8）
9i1
xi
8i
xi
1
解：
选C
6、设E（X）
11,D（X）
9，用雪比晓夫不等式估计概率
p
P{2X20}是
【
】
A、p
1
B、p
1
8
D、p
8
9
9
C、p
9
9
解：
P{2
X
20}
P（X
119）1
9
8
9
92
C
7、设X~N（0,1）,Y~
2（5）,且X与Y相互独立，则下列分布错误的是
【
】
A、X2
Y~
2（6）
B、
X2
~F（1,5）
Y
C、
X
2
D、
X
~t（5）
~F（1,5）
Y/5
Y/5
解：
选D
8、设H0
表示假设H0
真,H0
表示假设H0假,拒绝域为A，则犯第二类错误的概率
为
【
】
A、P（AH0）B、P（AH0）C、P（AH0）D、P（AH0）
解：
选D
三、解答题
1、设随机变量X的分布列为：
X
-1
1
2
.
.
p
0.3
0.5
0.2
2
cos
X分布列；（）EX），D（
X
。
求：
（1）Y=X的分布列；
（2）Z
2
3
（
）
2（X,Y）
X
Y
1
2
3
（X,Y）
的联合分布列为
0
a
2/15
2/15
1
2
、设
．（）求常数a；（）求
1
2/15
4/15
4/15
的边缘分布列；（3）判别X与Y是否独立
解：
a1
14
1
15
15
X/Y
1
2
3
FY（X）
0
1/15
2/15
2/15
FY（0）
1/3
1
2/15
4/15
4/15
FY
（1）
2/3
FX（Y）
FX
（1）1/5
FX
（2）
2/5
FX（3）
2/5
由表得F（X,Y）
FY（X）FX（Y）
即：
F（0,1）
FY（0）FX
（1）
1
1
1
3
5
15
F（0,2）
FY（0）FX
（2）
1
2
2
3
5
15
F（0,2）
FY（0）FX（3）
1
2
2
3
5
15
F（1,1）
FY
（1）FX
（1）
2
1
2
3
5
15
F（1,2）
FY
（1）FX
（2）
2
2
4
3
5
15
F（1,3）FY
2
2
4
（1）FX（3）
5
15
3
所以相互独立
3、设电源电压X~N（220,252），且某种电子元件在下列三种情况下损坏的概率分别
是0.1，0.001和0.2：
（a）X不超过200伏；（b）X在200~240伏之间；（c）X超过240
伏。
求：
（1）电子元件损坏的概率（设：
（0.8）0.8）；
（2）某仪器装配有50个这种电子元件，它们的工作状态相互独立，如果电压X超过240时，求这50个电子元件中至少10个损坏的概率（要求：
只列式，不计算）。
解：
1
.
.
p（元件损坏）0.1
p（x
200）
0.001
p（200
x
240）
0.2
p（x
240）
0.1
p（x
220
0）
0.001
p（0
x
220
240
220）
0.2
p（x
240
220）
25
25
25
25
0.1
（0）
0.001[
（0.8）
（0）]
0.2
（0.8）
0.1
0.5
0.001
[0.8
0.5]
0.2
0.8
0.2103
2
p1
p（原件损坏x
240）
0.2
p（x
240）
0.16
9
p
1
p（x
k）
k
0
9
c50kp1k[1p1]50k
1
k
0
4、已知随机变量
X
的分布密度
f（x）
k（2x
x2）,x
（0,2）
，求：
（1）系数
；
）
0,
其他
k（2
P{1
X3}；（3）E（
X）
解：
1
F（
）
f（x）dx
k（2x
x2）dx
k（x2
1x3）
2
4k
2
0
3
0
3
3
k
4
3
23
3
1
2
2
p（1x
3）
（2xx
2
（x
2
x
3
）
f（x）dx
4
）dx
3
1
1
4
1
3
E（X）
（x）f（x）dx
3
2
2
）dx
1
4
（2xx
0
5、设二维随机变量（X,Y）的联合概率密度
1
1
2
Axy2,0yx,0x1
f（x,y）
0,其他
求：
（1）A
的值；
（2）X
和Y的边缘概率密度，并判别
X和Y是否相互独立？
（3）
P{（X,Y）
D}，其中D
{（x,y）xy1}
解：
1
由于F（
1
x
1
）
Axy2dydx
0
0
所以
1Ax4
10
1
即：
A
3
3
2
fy（X）
fx（y）
f（x,y）
3xy2dy
x
2dy
x4
3xy
0
3xy2dx
1
2dx
3y2x21y
3y2（1y2）
3xy
y
2
2
fx（y）fy（X）
不独立
.
.
3
y
Y=-x+1Y=x
A（1/2,1/2）
x
x=1
P{（X,Y）
D;D{（x,y）x
y
1}}
1
y1
2
1/23
2
2
y
1
2
3xy
dxdy
y
[x
]dy
0
y
02
y
3
1
3（
1y4
1
1
2y2（2y1）dy
y3）02
2
0
2
2
3
3
（
1
1）
3
1
1
2
32
24
2
96
64
6、有一大批糖果．现从中随机抽取
6袋，称得重量（以克计）如下：
214，210，213，216，212，213设袋装糖果的重量分布为正态的．
1
2
1
，求总体均值
的置信度为
0.95
的置信区间；
（）若已知
（2）若
2未知，求总体均值
的置信度为
0.95的置信区间.
x
213;s
1
6
（x
213）2
2
解：
51i
1
i
1
（x
z0.025/
6,x
z0.025
/
6）
（213
1.96
1/
6,213
1.96
1/
6）
（212.2,213.8）
2
（x
t0.025（5）S/
6,xt0.025（5）S/
6）
（213
0.98
2/6,213
0.98
2/
6）
（212.198,213.816）
7、设总体X~N（
2）的样本的一组观察值为：
10，8，12，10。
.
.
（１）
求方差
2的置信度为
0.95的置信区间；
（２）能否据此样本认为该总体的数学期望为11（0.05）?
解
（1）因为未知，取统计量
（n1）S2
~
2
（
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