春浙教版八年级数学下册同步练习42平行四边形及性质.docx

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春浙教版八年级数学下册同步练习42平行四边形及性质

4.2__平行四边形及其性质__

第1课时　平行四边形的性质

（一）

1．[20

18·黔东南州]如图4－2－1，在▱ABCD中，已知AC＝4cm，若△ACD的周长为13cm，则▱ABCD的周长为（　D　）

图4－2－1

A．26cmB．24cm

C．20cmD．18cm

【解析】∵在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，AC＝4cm，AC＋AD＋CD＝13cm，∴AD＋DC＝13－4＝9cm.∴AB＋BC＋CD＋AD＝2AD＋2CD＝2（AD＋CD）＝18cm.

2．[2018·宜宾]在▱ABCD中，若∠BAD与∠CDA的角平分线交于点E，则△AED的形状是（　B　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不能确定

【解析】

第2题答图

如答图所示，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°，

∵AE和DE是角平分线，

∴∠EAD＝

∠BAD，∠ADE＝

∠ADC，

∴∠EAD＋∠ADE＝

（∠BAD＋∠ADC）＝90°，

∴∠E＝90°，∴△AED是直角三角形，故选B.

3．[2018春·开福区校级期末]如图4－2－2，在▱ABCD中，连结AC，若∠B＝∠CAD＝45°，AB＝1，则BC的长是（　C　）

A.

B．1

C.

D．2

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠ACB＝∠CAD＝∠B＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝1，

∴BC＝

＝

.

图4—2—2

4．如图4－2－3，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点，如果添加一个条件，使△ABE≌△CDF，则添加的条件不能为（　C　）

　图4－2－3

A．BE＝DFB．BF＝DE

C．AE＝CFD．∠1＝∠2

5．在▱ABCD中，∠B＋∠D＝200°，则∠A＝__80__°.

【解析】根据“平行四边形的对角相等，邻角互补”可以求得∠A＝180°－200°÷2＝80°.

6．[2018·青羊区模拟]如图4－2－4，在▱ABCD中，∠C＝43°，过点D作AD的垂线，交AB于点E，交CB的延长线于点F，则∠BEF的度数为__47°__．

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C＝43°.

∵DF⊥AD，∴∠ADE＝90°，

∴∠AED＝90°－43°＝47°，

∴∠BEF＝∠AED＝47°.

图4－2－4

7．如图4—2—5，在▱ABCD中，按以下步骤作图：

①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以点M，N为圆心，以大于

MN的长为半径作弧，两弧相交于点P；③作射线AP交边CD于点Q.若DQ＝2QC，BC＝3，则▱ABCD的周长为__15__．

　图4－2－5

【解析】由作图知，AQ是∠BAD的平分线．

∴∠DAQ＝∠BAQ，又∵AB∥CD，

∴∠DQA＝∠BAQ，

∴∠DQA＝∠DAQ，∴DA＝QD.

∵DQ＝2QC，BC＝3，∴DQ＝3，QC＝1.5，

∴▱ABCD的周长为2（BC＋CD）＝2×7.5＝15.

8．[2018·无锡]如图4－2－6，▱ABCD中，E，F分别是边BC，AD的中点，求证：

∠ABF＝∠CDE.

图4－2－6

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD＝BC，

∵E，F分别是边BC，AD的中点，

∴AF＝CE.

在△ABF和△CDE中，

∴△ABF≌△CDE（SAS），

∴∠ABF＝∠CDE.

9．[2018·衢州]如图4－2－7，在▱ABCD中，AC是对角线，BE⊥AC，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.求证：

AE＝CF.

图4－2－7

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠BAE＝∠DCF，

∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠AEB＝∠CFD＝90°，

∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.

10．[2018·宿迁]如图4－2－8，在▱ABCD中，点E，F分别在边CB，AD的延长线上，且BE＝DF，EF分别与AB，CD交于点G，H.求证：

AG＝CH.

图4－2－8

证明：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴∠A＝∠C，AD＝BC，AD∥BC.

∴∠E＝∠F.又∵BE＝DF，

∴AD＋DF＝BC＋BE.即AF＝CE.

∴△AGF≌△CHE.

∴AG＝CH.

11．如图4－2－9，在▱ABCD中，∠B＝∠AFE，EA是∠BEF的平分线．求证：

图4－2－9

（1）△ABE≌△AFE；

（2）∠FAD＝∠CDE.

证明：

（1）∵EA是∠BEF的平分线，∴∠AEB＝∠AEF，

在△ABE与△AFE中，

∴△ABE≌△AFE（AAS）；

（2）在▱ABCD中，AD∥BC，

∴∠ADF＝∠DEC.

∵AB∥CD，∴∠C＝180°－∠B.

又∵∠AFD＝180°－∠AFE，∠B＝∠AFE，

∴∠AFD＝∠C.

在△ADF与△DEC中，由三角形内角和定理，得

∠FAD＝180°－∠ADF－∠AFD，

∠CDE＝180°－∠DEC－∠C，

∴∠FAD＝∠CDE.

12．如图4－2－10，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.

图4－2－10

（1）求证：

△ADE≌△FCE；

（2）若∠BAF＝90°，BC＝5，EF＝3，求CD的长．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB∥CD，

∴∠DAE＝∠F，∠D＝∠ECF，

∵E是CD的中点，∴DE＝CE，

在△ADE和△FCE中，

∴△ADE≌△FCE（AAS）；

（2）∵ADE≌△FCE，∴AE＝EF＝3，

∵AB∥CD，∴∠AED＝∠BAF＝90°，

在▱ABCD中，AD＝BC＝5，

∴DE＝

＝

＝4，

∴CD＝2DE＝2×4＝8.

13．如图4－2－11，四边形ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA.

图4－2－11

（1）求∠APB的度数；

（2）如果AD＝5cm，AP＝8cm，求△APB的周长

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB＋∠CBA＝180°.

又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠PAB＋∠PBA＝

（∠DAB＋∠CBA）＝90°，

∴∠APB＝180°－（∠PAB＋∠PBA）＝90°.

（2）∵AP平分∠DAB且AB∥CD，

∴∠DAP＝∠PAB＝∠DPA，

∴△ADP是等腰三角形，∴AD＝DP＝5cm.

同理可得PC＝CB＝5cm，

即AB＝DC＝DP＋PC＝5＋5＝10（cm）．

在Rt△APB中，AB＝10cm，AP＝8cm，

∴BP＝

＝

＝6（cm），

∴△APB的周长＝BP＋AP＋AB

＝6＋8＋10＝24（cm）．

第2课时　平行四边形的性质

（二）

1．如图4－2－12，在▱ABCD中，下列结论中错误的是（　D　）

A．∠1＝∠2

B．∠BAD＝∠BCD

C．AB＝CD

D．AB到CD的距离与AD到BC的距离相等

图4－2－12

2．如图4－2－13，在▱ABCD中，AB＝4，BC＝6，若∠B＝45°，则▱ABCD的面积为（　B　）

图4－2－13

A．8B．12

C．16

D．24

【解析】如答图，过点A作AE⊥BC于点E.

第2题答图

∵∠B＝45°，

∴∠BAE＝45°，

∴BE＝AE.

设AE＝x，则BE＝x，

∵AB2＝BE2＋AE2，

∴2x2＝42，解得x＝2

，

∴S▱ABCD＝BC·AE＝6×2

＝12

.故选B.

3．如图4－2－14，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE＝4，AF＝6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为（　D　）

A．24B．36

C．40D．48

【解析】设BC＝x，则CD＝20－x，

根据“等面积法”，得4x＝6（20－x），解得x＝12，

∴S▱ABCD＝4x＝4×12＝48.故选D.

图4－2－14

4．如图4－2－15，在▱ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥AB，GH∥AD，与各边交点分别为E，F，G，H，则图中面积相等的平行四边形的对数为（　C　）

图4－2－15

A．1B．2

C．3D．4

【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，BD为对角线，

∴S△ABD＝S△BCD，同理，S△BFP＝S△BGP，S△PED＝S△HPD，

∵S△BCD－S△BFP－S△PHD＝S▱PFCH，

S△ABD－S△BGP－S△EPD＝S▱AGPE.

∴S▱PFCH＝S▱AGPE，

∴S▱PFCH＋S▱PHDE＝S▱AGPE＋S▱PHDE，

S▱PFCH＋S▱BFPG＝S▱AGPE＋S▱BFPG，

∴S▱AGHD＝S▱EFCD，S▱ABFE＝S▱BCHG.

共有3对面积相等的平行四边形，故选C.

5．已知直角坐标系内有四个点O（0，0），A（3，0），B（1，1），C（x，1），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝__4或－2__．

6．如图4－2－16，在▱ABCD中，BE⊥CD于点E，BF⊥AD于点F.

（1）请用图中的字母表示出平行线AD与BC之间的距离；

图4－2－16

（2）若BE＝2cm，BF＝4cm，求平行线AB与CD之间的距离．

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∵BF⊥AD，∴BF⊥BC，

∴平行线AD与BC之间的距离是线段BF的长度；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，

∵BE⊥CD，∴BE⊥AB，

∴平行线AB与CD之间的距离是线段BE的长度，即2cm.

7．如图4－2－17，在▱ABCD中，AE，AF分别垂直于BC，CD，垂足为E，F，若∠EAF＝30°，AB＝6，AD＝10，则CD＝__6__；AB与CD的距离为__5__；AD与BC的距离为__3__；∠D＝__30°__．

图4－2－17

【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD＝6，AD∥BC，AB∥DC，

∵AE，AF分别垂直于BC，CD，垂足为E，F，

∴AB与CD的距离为AF，AD与BC的距离为AE，

∵∠EAF＝30°，∴∠BCD＝150°，

∴∠B＝∠D＝30°，

∵AB＝6，∴AE＝

AB＝3，

∵AD＝10，∴AF＝

AD＝5.

8．[2018·曲靖]如图4－2－18，在▱ABCD的边AB，CD上截取AF，CE，使得AF＝CE，连结EF，点M，N是线段EF上的两点，且EM＝FN，连结AN，CM.

（1）求证：

△AFN≌△CEM；

（2）若∠CMF＝107°，∠CEM＝72°，求∠NAF的度数．

　图4－2－18

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD∥AB，

∴∠AFN＝∠CEM，

∵FN＝EM，AF＝CE，

∴△AFN≌△CEM（SAS）；

（2）∵△AFN≌△CEM，∴∠NAF＝∠ECM，

∵∠CMF＝∠CEM＋∠ECM，

∴107°＝72°＋∠ECM，

∴∠ECM＝35°，∴∠NAF＝35°.

9．如图4－2－19，在▱ABCD中，∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E，BH⊥EC于点H.求证：

CH＝EH.

图4－2－19

证明：

∵在▱ABCD中，BE∥CD，∴∠E＝∠DCE.

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE＝∠DCE，

∴∠BCE＝∠E，∴BE＝BC.

又∵BH⊥EC，∴CH＝EH.

10．[2019·慈溪期中]如图4－2－20，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，且AB＝AE，延长AB与DE的延长线交于点F.求证：

图4－2－20

（1）△ABE是等边三角形；

（2）△ABC≌△EAD；

（3）S△ABE＝S△CEF.

证明：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，∴∠EAD＝∠AEB，

又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，

∵AB＝AE，∴△ABE是等边三角形．

（2）∵△ABE是等边三角形

∴∠ABE＝∠EAD＝60°，

∵AB＝AE，BC＝AD，

∴△ABC≌△EAD（SAS）；

（3）∵△FCD与△ABC等底（AB＝CD）等高（AB与CD间的距离相等），

∴S△FCD＝S△ABC，

又∵△AEC与△DEC同底等高，

∴S△AEC＝S△DEC，∴S△ABC－S△AEC＝S△FCD－SDEC，∴S△ABE＝S△CEF.

11．如图4－2－21，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E.

（1）求证：

BE＝CD；

（2）连结BF，若BF⊥AE，∠E＝60°，AB＝4，求▱ABCD的面积．

图4－2－21

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AB綊CD，

∴∠E＝∠DAE，

∵AE是∠BAD的平分线，

∴∠BAE＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠E，∴AB＝BE，∴BE＝CD；

（2）∵AB＝BE，∠E＝60°，

∴△ABE是等边三角形，∴AE＝AB＝4，

∵BF⊥AE，∴AF＝EF＝2，

∴BF＝

＝

＝2

，

∵AD∥BC，∴∠D＝∠ECF，∠DAF＝∠E，

在△ADF和△ECF中，

∴△ADF≌△ECF（AAS），∴S△ADF＝S△ECF，

∴S▱ABCD＝S△ABE＝

AE·BF＝

×4×2

＝4

.

12．如图4－2－22①，将线段A1A2向右平移1cm到B1B2，得到封闭图形A1A2B2B1（即阴影部分），在图②中，将折线A1A2A3向右平移1cm到B1B2B3，得到封闭图形A1A2A3B3B2B1（即阴影部分）．

图4－2－22

（1）在图③中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1cm，从而得到一个封闭图形，并用阴影表示（作出对应点字母的标注）；

（2）请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余空白部分的面积（图①，图②，图③长方形长均为6cm，宽均为3cm）．S1＝__15__cm2，S2＝__15__cm2，S3＝__15__cm2；

（3）联想与探索：

如图④，在一块长方形草地上有一条弯曲的小路，小路任何地方的水平宽度都是2m，长方形草地的长为32m，宽为20m，请你求出空白部分草地的面积S4；

（4）拓展与提升：

若在第（3）小题中图④的基础上又有一条横向的弯曲小路如图⑤，横向小路任何地方的宽度都是1m，请你求出空白部分草地的面积S5.

解：

（1）如答图；

（3）S4＝（32－2）×20＝600（m2）；

第12题答图

（4）S5＝（32－2）×（20－1）

＝570（m2）．

第3课时　平行四边形的性质（三）

1．[2018春·蚌埠期中]下列性质中，平行四边形不一定具备的是（　B　）

A．邻角互补B．对角互补

C．对边相等D．对角线互相平分

2．如图4－2－23，在▱ABCD中，下列说法一定正确的是（　C　）

A．AC＝BDB．AC⊥BD

C．AB＝CDD．AB＝BC

图4－2－23

3．如图4－2－24，EF过▱ABCD对角线的交点O，交AD于E，交BC于F.若▱ABCD的周长为18，OE＝1.5，则四边形EFCD的周长为（　C　）

图4－2－24

A．14B．13

C．12D．10

4．[2018·十堰改编]如图4－2－25，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则OA＝OC＝__4__，OB＝__5__，△OCD的周长为__14__．

图4－2－25

5．[2018·衡阳]如图4－2－26，▱ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M.如果△CDM的周长为8，那么▱ABCD的周长是__16__．

图4－2－26

【解析】在▱ABCD中，AD＝BC，AB＝CD，

∵点O为AC的中点，OM⊥AC，

∴MO为AC的垂直平分线，

∴MC＝MA，

∴△CDM的周长＝MC＋MD＋CD＝MA＋MD＋CD＝AD＋CD＝8，

∴▱ABCD的周长＝2（AD＋CD）＝16.

6．[2018·嘉兴秀洲中学月考]平行四边形的两条对角线长分别为6和10，则其中一条边x的取值范围为__2＜x＜8__．

7．如图4－2－27，在▱ABCD中，AB＝2

cm，AD＝4cm，AC⊥BC，则△DBC比△ABC的周长长__4__cm.

图4－2－27

【解析】在▱ABCD中，AB＝CD＝2

cm，

AD＝BC＝4cm，AO＝CO，BO＝DO，

∵AC⊥BC，∴AC＝

＝

＝6（cm），

∴OC＝

AC＝

×6＝3（cm），

∴BO＝

＝

＝5（cm），

∴BD＝2BO＝2×5＝10（cm），

∴△DBC的周长－△ABC的周长＝BC＋CD＋BD－（AB＋BC＋AC）＝BD－AC＝10－6＝4（cm）．

8．[2018·淮安]如图4－2－28，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F.求证：

AE＝CF.

图4－2－28

证明：

∵AC，BD为▱ABCD的对角线，

∴AO＝CO，

∵AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，

∵∠AOE＝∠COF，∴△AOE≌△COF，

∴AE＝CF.

9．[2019·普宁期末]已知：

如图4－2－29，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F是BD上的两点，且BE＝DF，求证：

AE＝CF.

图4－2－29

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD，

∴∠ABE＝∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF，∴AE＝CF.

10.[2018·嘉兴秀洲中学月考]如图4－2－30，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上一动点，以PA，PC为边作平行四边形PAQC，则对角线PQ的最小值为（　D　）

　图4－2－30

A．6B．8

C．2

D．4

【解析】∵四边形APCQ是平行四边形，

第10题答图

∴AO＝CO，OP＝OQ，

∵PQ最短也就是PO最短，

∴过O作OP′⊥AB于P′，如答图．

∵∠BAC＝45°，∴△AP′O是等腰直角三角形，

∵AO＝

AC＝4，∴2OP′2＝16，∴OP′＝2

，

∴PQ的最小值＝2OP′＝4

.

11．如图4－2－31，已知在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AB⊥AC，AB＝1，BC＝

.

（1）求▱ABCD的面积S▱ABCD；

（2）求对角线BD的长．

图4－2－31

解：

（1）在Rt△ABC中，∵AB⊥AC，AB＝1，BC＝

，

∴AC＝

＝2，

则S▱ABCD＝AB×AC＝2；

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，BO＝OD，

∴AO＝1，

在Rt△ABO中，BO＝

＝

，

∴BD＝2

.

12．如图4－2－32，在▱ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E，F分别是AB，CD上的点，且BE＝DF，连结EF交BD于点O.

图4－2－32

（1）求证：

BO＝DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，∴∠OBE＝∠ODF，

在△OBE与△ODF中，

∴△OBE≌△ODF（AAS）．∴BO＝DO；

（2）∵EF⊥AB，AB∥DC，

∴∠GEA＝∠GFD＝90°.

∵∠A＝45°，∴∠G＝∠A＝45°，∴AE＝GE，

∵BD⊥AD，∴∠ADB＝∠GDO＝90°，

∴∠GOD＝∠G＝45°，∴DG＝DO，

∵FG＝1，∴OF＝FG＝1，由

（1）可知，OE＝OF＝1，

∴AE＝GE＝OE＋OF＋FG＝3.

13．已知：

如图4－2－33，▱ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE＝OB，连结DE.

图4－2－33

（1）求证：

DE⊥BE；

（2）设CD与OE交于点F，若OF2＋FD2＝OE2，CE＝3，DE＝4，求线段CF的长．

解：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB＝OD.

∵OB＝OE，∴OE＝OD.∴∠OED＝∠ODE.

∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.

∵∠OBE＋∠OEB＋∠ODE＋∠OED＝180°，

∴∠OEB＋∠OED＝90°.∴DE⊥BE；

（2）∵OE＝OD，OF2＋FD2＝OE2，

∴OF2＋FD2＝OD2.

∴△OFD为直角三角形，且∠OFD＝90°.

在Rt△CED中，∠CED＝90°，CE＝3，DE＝4，

∴CD2＝CE2＋DE2.∴CD＝5.

又∵

CD·EF＝

CE·DE，∴EF＝

.

在Rt△CEF中，∠CFE＝90°，CE＝3，EF＝

，

根据勾股定理，得CF＝

.