初中圆知识点及练习题.docx
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初中圆知识点及练习题
第三章圆
【课标要求】
（1）认识圆并掌握圆的有关概念和计算
1知道圆由圆心与半径确定，了解圆的对称性
2通过图形直观识别圆的弦、弧、圆心角等基本元素
3利用圆的对称性探索弧、弦、圆心角之间的关系，并会进行简单计算和
说理•
4探索并了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征•
5掌握垂径定理及其推论，并能进行计算和说理
6了解三角形外心、三角形外接圆和圆内接三角形的概念
7掌握圆内接四边形的性质
（2）点与圆的位置关系
1能根据点到圆心的距离和半径的大小关系确定点与圆的位置关系
2知道“不在同一直线上的三个点确定一个圆”并会作图
（3）直线与圆的位置关系
1能根据圆心到直线的距离和半径的大小关系确定直线与圆的位置关系•
2了解切线的概念•
3能运用切线的性质进行简单计算和说理•
4掌握切线的识别方法•
5了解三角形内心、三角形内切圆和圆的外切三角形的概念
6能过圆上一点画圆的切线并能利用切线长定理进行简单的切线计算•
（4）圆与圆的位置关系
1了解圆与圆的五种位置关系及相应的数量关系
2能根据两圆的圆心距与两圆的半径之间的数量关系判定两圆的位置关
系•
3掌握两圆公切线的定义并能进行简单计算
（5）圆中的计算问题
1掌握弧长的计算公式，由弧长、半径、圆心角中已知两个量求第三个量
2掌握求扇形面积的两个计算公式，并灵活运用
3了解圆锥的高、母线等概念•
4结合生活中的实例（模型）了解圆柱、圆锥的侧面展开图•
5会求圆柱、圆锥的侧面积、全面积，并能结合实际问题加以应用•
6能综合运用基本图形的面积公式求阴影部分面积
2、基础知识
（1）掌握圆的有关性质和计算
1弧、弦、圆心角之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等,
那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等
2垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧
平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.
3在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的
一半•
4圆内接四边形的性质：
圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角
（2）点与圆的位置关系
①
设点与圆心的距离为-r，圆的半径为?
则点在圆外=山：
；•”；点在圆上==厂；
点在圆内：
二工.
②
过不在冋一直线上的三点有且只有一个圆.
一个三角形有且只有一个外
接圆•
③
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点
三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等
（3）直线与圆的位置关系
1设圆心到直线/的距离为J，圆的半径为孑,
则直线与圆相离=二：
;■";直线与圆相切=:
卫=i;直线与圆相交=二k•
2切线的性质：
与圆只有一个公共点；
圆心到切线的距离等于半径；
圆的切线垂直于过切点的半径•
3切线的识别：
如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线•
至U圆心的距离等于半径的直线是圆的切线•
经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线
4三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点
三角形的内心到三角形三边的距离相等•
5切线长：
圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长•
6切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等
这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角•
（4）圆与圆的位置关系
1圆与圆的位置关系有五种：
外离、外切、相交、内切、内含•
设两圆心的距离为V,两圆的半径为：
>,则两圆外离：
'_■-
两圆外切=「■-_-
两圆相交一
两圆内切:
两圆内含」」卜“丨
2两个圆构成轴对称图形，连心线（经过两圆圆心的直线）是对称轴.
由对称性知：
两圆相切，连心线经过切点.两圆相交，连心线垂直平分公共弦
3两圆公切线的定义：
和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线
两个圆在公切线同旁时,这样的公切线叫做外公切线.
两个圆在公切线两旁时，这样的公切线叫做内公切线
（5）与圆有关的计算
弧长公式:
ISO
扇形面积公式:
2
1.
=
3602
（其中为鸣圆心角的度数，”为半径）
②圆柱的侧面展开图是矩形.
圆柱体也可以看成是一个矩形以矩形的一边为轴旋转而形成的几何体.
圆柱的侧面积=底面周长x高
圆柱的全面积=侧面积+2X底面积
3圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形
的半径等于圆锥的母线长.
圆锥体可以看成是由一个直角三角形以一条直角边为轴旋转而成的几何体.
4圆锥的侧面积=二X底面周长x母线；圆锥的全面积=侧面积+底面积
3、能力要求
例1如图，AC为OO的直径，BDE都是OO上的点，求/A+/B+/C的度数.
【分析】由AC为直径，可以得出它所对的圆周角是直角，所以连
结AE,这样将/CAD（/A）、/C放在了△AEC中，而/B与/EAD是同弧所对的圆周角相等，这样问题迎刃而
解.
【解】
•/AC是OO的直径
连结AE
•••/AEC=90
•••/CAD+/EAD/C=90O
•••/B=/EAD
•••/CAD+/B+/C=90°
【说明】这里通过将/B转化为/EAD从而使原本没有联系的/A、/B、/C都在△AEC中，又利用“直径对直角”得到它们的和是90°解题中一方面注意到了隐含条件“同弧所对的圆周角相等”，另一方面也注意到了将“特殊的弦”（直径）转化为“特殊的角”
（直角），很好地体现了“转化”的思想方法.
练习二
一、知识点：
㈠、确定圆的条件
1•过已知两点的圆的圆心组成的图形是,
确定一个圆.
2.三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的，它的圆心叫做三角
形的,它是三角形的交点；这个三角形叫做圆的
3.三角形外心的位置:
锐角三角形的外心在直角三角形的外心是钝角三角形的外心在㈡直线和圆的位置关系
1.直线和圆的位置关系有三种：
（1）
2.当直线和圆
公共点时，叫做直线和圆相交，此时圆心到直线的距离
半径;
当直线和圆
公共点时，叫做直线和圆相切，此时圆心到直线的距离
半径;
当直线和圆
公共点时，叫做直线和圆相离，此时圆心到直线的距离
半径;
3.切线的性质：
圆的切线
如图可表述为：
PA是°。
的切线
或：
PA切OO于点A
4.
，并且垂直于
的直线
判定直线为圆的切线：
经过
是圆的切线。
如图可表述为：
PA是e。
的切线
5.和三角形各边的圆叫做三角形的，它的圆心叫做三角形的
，是三角形的交点；这个三角形叫做圆
的-
6.过圆外一点可引圆的条切线，这个点到各个切点的距离。
二、一些常见关系及辅助线作法：
7.已知O0中，直径CDLAB于点E,
⑴若a=r，则/AOB=o,d=（用含r的代数式表示）.
⑵若a=J2r，则/AOB=o,d=（用含r的代数式表示）.
⑶若a=」3r，则/AOE=o,d=（用含r的代数式表示）.
8.已知△ABC是OO的内接三角形，OI的外切三角形。
设OO的半径为R,OI的半径为r。
⑴若△ABC的周长为$,则厶ABC勺面积与s,r的关系为.
⑵若△ABC是边长为a的等边三角形，则R=,r=（用含a的代数式表示）.
⑶若△ABC是直角边长为a,b，斜边长为c的直角三角形，贝UR=,r=
（用含a,b,c的代数式表示）.
⑷若△ABC是直角边长为a的等腰直角三角形，贝UR=,r=（用含a的
代数式表示）.
⑸若△ABC是腰长为a,顶角为120。
的等腰三角形，则R=（用含a的代数式表
示）.
9.已知直线是圆的切线，常作的辅助线是连接得
10.证明一条直线是圆的切线方法：
⑴证明直线和圆只有一个公共点（不常用）
⑵已知直线和圆有一个公共点时所作的辅助线为，证明
⑶已知中没有说明直线和圆的公共点时所作的辅助线为,证明
11.作厶ABC的外接圆的方法：
分别作两边的，使这两条直线交于点Q
以O为圆心，QA为半径作圆。
所作的圆就是厶ABC勺外接圆。
12.作△ABC的内切圆的方法：
⑴分别作两内角的，使这两条线段交
于点I;⑵过I作IE丄BC于E;⑶以I为圆心，IE为半径作圆。
所作的圆就是厶ABC的内
切圆。
三、课堂练习题：
13.下列命题中，真命题的个数是（）
①经过三点一定可以作圆；②任意一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形。
③任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，④三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等。
A.
B.
C.2
个D.1个
14.如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点ABC,其中B点坐标为（4,4）,则该
圆弧所在的圆的圆心的坐标
15.图中△ABC外接圆的圆心坐标是
16.如图，方格纸上一圆经过（2，5），（2，—3）两点，则该圆圆心的坐标
为
17.一只猫观察到一老鼠洞的全部三个出口，它们不在一条直线上，这只猫应蹲在
地方，才能最省力地顾及到三个洞口。
18.圆外切平行四边形是形，圆内接平行四边形是形。
19.已知直线a：
y=x—3和点A（0,—3）,B（3,0）.设P为a上一点，试判断P、A、
B是否在同一个圆上。
20.如图，已知圆的内接三角形长线与
△ABC外接圆的交点。
（1）求证：
AB=AD-AE
（2）当D为BC延长线上一点时，第（不成立，请说明理由。
ABC中,AB=ACD是BC边上的一点,
E是直线AD的延
1）问的结论成立吗？
如果成立，请证明，如果
21.直线AB经过O0上一点C,且OA=OBCA=CB求证直线AB是OO的切线。
22.直角梯形ABCD^,/A=ZB=90°,AD//BCE为AB上一点，DE平分/ADC
CE平分/BCD则以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
四、课后练习题:
1.Rt△ABC中，/C=90
BC=5,AC=12则其外接圆半径
为
2.若直角三角形的两直角边长分别为6,8,则这个三角形的外接圆直径
是
3.等腰三角形ABC内接于半径为5cm的OO中，若底边BC=8cm则厶ABC的面积是
4.在Rt△ABC中，如果两条直角边的长分别为3、4,那么Rt△ABC的外接圆的面积为
5.等边三角形的边长为4,则此三角形外接圆的半径为
）
C.
BC于D,若BC=12CM则OA的半
6•边长为6的正三角形的内切圆的半径是（
A.3B.23
D.2
7•△ABC中/A=90°,AB=AC以A为圆心的圆切
径d为cm
8.如图，AB是OO的直径，/CAB=30°,过C作OO的切线交AB的延长线于D,OD=
9.已知等边三角形ABC的边长为2，那么这个三角形的内切圆的半径为。
10.Rt△ABC中，/C=90°,AB=10,AC=6，以C为圆心作OC与AB相切，则OC的
半径为。
11.已知OO的直径为6,P为直线I上一点，3,那么直线l与OO的位置关系是
12.若一个直角三角形的斜边长为10，其内切圆半径为2，则这个三角形的周长
13.如图，PA切OO于点A,PO交OO于点E,若PA=6,BP=4,则OO的半径为（）
A.5
4
B.
5
2
C.2
D.5
•边相切，则此三角形是
（
）
14.以三角形的边为直径的圆恰好与另
A.等腰三角形
B.直
角三角形C.锐角三角形
D.钝角三角形
15如图，是一块残破的圆轮片，A、B
C是圆弧上的三点
⑴作出弧ACB所在的OO（不写作法，保留作图痕迹）
⑵如果AC=BC=60cm/ACB=120°,
求该残破圆轮片的半径。
16.已知圆的直经为13cm,如果直线和圆心的距离为4.5cm,那么直线和圆有公共点。
17.在Rt△ABC中，/ACB=90°,AB=5cm,AC=3cm,以点C为圆心，r为半径的圆
与AB有何位置关系？
为什么?
18.如图，AB是OO的直径，C为O0上一点，AD丄CD,（点D在OO外）AC平分/BAD
（1）求证：
CD是O0的切线
E,
且DE=12,AD=9,求BE的长。
DE
19.如图，在Rt△ABC中，/B=90°,/BAC的平分线交BC于D,E为AB上一点,
=DC,以D为圆心，DB的长的半径作圆，求证:
（1）AC是OD的切线
20.一个圆球放置在V形架中，如图是它的平面示意图，CA和CB是OO的切线，切点分
别为A,B,如果OO的半径为2,3cm且AB=6m,求/ACB的度数。
21.如图，△ABC内接于OO,AD是厶ABC的高，OO的直径AE交BC于点F,点P在BC的延长线上，/CAP=/B
（1）求证：
PA是OO的切线
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