小学奥数教程圆与扇形计算题doc.docx
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小学奥数教程圆与扇形计算题doc
圆与扇形
例题精讲
研究圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形,通过变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补,使它变成可以计算出面积的规则图形来计算它们的面积.
圆的面积
πr
2
;扇形的面积π
2
n
;
r
360
圆的周长
2πr
;扇形的弧长
2
π
n
.
r
360
一、跟曲线有关的图形元素:
①扇形:
扇形由顶点在圆心的角的两边和这两边所截一段圆弧围成的图形,扇形是圆的一部分.我们经常说的1圆、1圆、1圆等等其实都是扇形,而这个几分之几表示的其实是这个扇形的圆心角占这个圆周角的几
246
分之几.那么一般的求法是什么呢关键是n.
360
比如:
扇形的面积所在圆的面积n;
360
n
扇形中的弧长部分所在圆的周长
360
扇形的周长
所在圆的周长
n
半径(易错点是把扇形的周长等同于扇形的弧长)
2
360
②弓形:
弓形一般不要求周长,主要求面积.
一般来说,弓形面积扇形面积-三角形面积.(除了半圆)
③”弯角”:
如图:
弯角的面积正方形-扇形
④”谷子”:
如图:
“谷子”的面积弓形面积2
二、常用的思想方法:
①转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的)
②等积变形(割补、平移、旋转等)
③借来还去(加减法)
④外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的”关系”)
板块、曲线型旋转问题
【例
1】正三角形ABC的边长是6厘米,在一条直线上将它翻滚几次,
点在翻滚过程中经过的路线总长度是多少厘米如果三角形面积是
过程中扫过的面积是多少平方厘米(结果保留π)
使A点再次落在这条直线上,那么
15平方厘米,那么三角形在滚动
A
B
A
C
B
A
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】如图所示,
A点在翻滚过程中经过的路线为两段
120的圆弧,所以路线的总长度为:
2π6120
28π厘米;
360
120
三角形在滚动过程中扫过的图形的为两个
的扇形加上一个与其相等的正三角形,面积为:
π6212021524π15平方厘米.
360
【答案】24π15
【巩固】直角三角形ABC放在一条直线上,斜边AC长20厘米,直角边BC长10厘米.如下图所示,三角形由位置Ⅰ绕A点转动,到达位置Ⅱ,此时B,C点分别到达B1,C1点;再绕B1点转动,到达位置Ⅲ,此时A,C1点分别到达A2,C2点.求C点经C1到C2走过的路径的长.
A2
B
C1
60Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
30
C
A
B1
C2
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】由于BC为AC的一半,所以
CAB
30
,则弧CC1
为大圆周长的
180
30
5,弧C1C2
为小圆
360
12
周长的
1,而CC1C1C2即为C点经C1到C2的路径,所以
C点经C1到C2
走过的路径的长为
4
2π20
5
1
50
5π
65
(厘米).
2π
10
3
π
3
π
12
4
【答案】65π
3
【巩固】如图,一条直线上放着一个长和宽分别为
4cm和3cm的长方形Ⅰ.它的对角线长恰好是5cm.让这
个长方形绕顶点
B
顺时针旋转
后到达长方形Ⅱ的位置,这样连续做三次,点
A
到达点
E
的位
90°
置.求点A走过的路程的长.
A1
A2
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅰ
Ⅱ
Ⅳ
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】因为长方形旋转了三次,所以
A点在整个运动过程中也走了三段路程
(如右上图所示).
这三段路程分别是:
第1段是弧AA1
,它的长度是2
π4
1
(cm);
4
第2段是弧A1A2,它的长度是2
π5
1(cm);
4
第3段是弧A2E,它的长度是2
π3
1(cm);
4
所以A点走过的路程长为:
2
π4
1
2π51
2
π3
1
6π(cm).
【答案】6π
4
4
4
【例2】草场上有一个长
20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30
米的绳子拴着一只羊
(见如
图).问:
这只羊能够活动的范围有多大
(圆周率取3.14
)
30
30
A
10
10
C
20
B
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】如图所示,羊活动的范围可以分为
A,B,C三部分,其中A是半径30米的3个圆,B,C分别是
米和10米的1个圆.
4
半径为20
4
所以羊活动的范围是
π302
3
π2021
π102
1
4
4
4
π
302
3
202
1
102
1
4
4
4
2512.
【答案】2512
【巩固】一只狗被拴在底座为边长
3m
的等边三角形建筑物的墙角上
(如图),绳长是
4m,求狗所能到的地方
的总面积.(圆周率按
3.14计算)
33
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】如图所示,羊活动的范围是一个半径
4m,圆心角300°的扇形与两个半径
1m,圆心角120°的扇
形之和.所以答案是
43.96m
2.
【答案】
【例3】如图是一个直径为
3cm的半圆,让这个半圆以A点为轴沿逆时针方向旋转
60,此时B点移动到B'
点,求阴影部分的面积.(图中长度单位为cm,圆周率按3计算).
B'
60
A
B
【考点】曲线型旋转问题【解析】面积圆心角为
【难度】3星
60的扇形面积
【题型】解答
半圆空白部分面积
(也是半圆
)
圆心角为
60
的扇形面积
60π323π4.5(cm2).
3602
【答案】
【例
4】
如图所示,直角三角形ABC的斜边AB长为10厘米,
中心,将ABC顺时针旋转120,点A、C分别到达点
中阴影部分的面积.(π取3)
ABCE、
60,此时
D的位置.求
BC长5厘米.以点B为
AC边扫过的图形即图
E
C
A
B
D
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】注意分割、平移、补齐.
E
C
(1)
(2)
A
B
D
如图所示,将图形⑴移补到图形⑵的位置,
因为EBD60,那么
ABE
120
,
则阴影部分为一圆环的
1.
3
所以阴影部分面积为
1
πAB
2
BC
2
75(平方厘米).
【答案】75
3
【巩固】如右图,以OA为斜边的直角三角形的面积是
24平方厘米,斜边长
10厘米,将它以O点为中心旋
转90,问:
三角形扫过的面积是多少
(π取3)
A
O
A'
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】从图中可以看出,直角三角形扫过的面积就是图中图形的总面积,等于一个三角形的面积与四分之
一圆的面积之和.圆的半径就是直角三角形的斜边
OA.
因此可以求得,三角形扫过的面积为:
1
π10
102425π99(
平方厘米).
24
【答案】99
4
【巩固】(“学而思杯”数学试题)如图,直角三角形ABC中,
B为直角,且BC
2厘米,AC
4厘米,
则在将ABC绕C点顺时针旋转120
的过程中,AB边扫过图形的面积为
.(π3.14)
AA
B'
B
C
B
C
A'
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】如右上图所示,假设
ABC旋转120到达A'B'C的位置.阴影部分为
AB边扫过的图形.
从图中可以看出,阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积,而整个图形总面积等于
扇形ACA'的面积与
ABC的面积之和,空白部分面积等于扇形
BCB'的面积与A'B'C的面积,由
于ABC的面积与
A'B'C的面积相等,所以阴影部分的面积等于扇形
ACA'与扇形BCB'的面积之
差,为120
π42
120
π22
4π12.56(平方厘米).
360
360
【答案】
【例5】如下图,△
是一个等腰直角三角形,直角边的长度是
1米。
现在以C点为圆点,顺时针旋转
ABC
90度,那么,AB边在旋转时所扫过的面积是平方米
。
(
=)
【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答
【解析】边扫过的面积为左下图阴影部分,可分为右下图所示的两部分。
r
r
r
1
1
1
1
因为r2
r2
12,所以r2
1。
2
所求面积为
121
12
1
12
r2
1
4
1
0.6775(平方米)
4
2
4
2
8
【答案】
【例6】如图30-14,将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转
90度,若AB=4,BC=3,AC=5,求AD边扫过部分
的面积.(
取
AD
BC
【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答
【解析】如下图所示,
AD
ADBDA
BAB
BDB
CCD
如下图所示,端点
A扫过的轨迹为
AAA,端点D扫过轨迹为DDD,而AD之间的点,扫过的轨迹
在以A、D轨迹,AD,AD所形成的封闭图形内,且这个封闭图形的每一点都有线段
AD上某点扫过,
所以AD边扫过的图形为阴影部分.显然
有阴影部分面积为
S直角ADC
S扇形ACA
S直角ACD
S扇形CDD,而直角三角形ADC、ACD面积相等.
S直角ADC
S扇形ACAS直角ACD
S扇形CDD=S扇形ACA
S扇形CDD
=90
AC2
90
CD2
(52
42)
9
7.065(平方厘米)
360
360
4
4
即AD边扫过部分的面积为7.065平方厘米.
【答案】
【例7】(祖冲之杯竞赛试题)如图,ABCD是一个长为4,宽为3,对角线长为5的正方形,它绕C点按顺
时针方向旋转90,分别求出四边扫过图形的面积.
AB
DC
【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答
【解析】容易发现,DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的1,如图:
4
A'
AB
D
C
B'
因此DC边扫过图形的面积为
,
BC
边扫过图形的面积为
9π.
4π
4
2、研究AB边的情况.
在整个AB边上,距离C点最近的点是
B点,最远的点是
A点,因此整条线段所扫过部分应该介于
这两个点所扫过弧线之间,见如图中阴影部分:
A'
AB
D
C
B'
下面来求这部分的面积.
观察图形可以发现,所求阴影部分的面积实际上是:
扇形ACA'面积+三角形
A'B'C面积-三角形
ABC面积一扇形
BCB'面积=扇形ACA'面积一扇形
BCB'面积
52π32π4π
4
4
3、研究AD边扫过的图形.
由于在整条线段上距离
C点最远的点是
A,最近的点是
D,所以我们可以画出
AD边扫过的图形,
如图阴影部分所示:
A'
AB
D
C
B'
用与前面同样的方法可以求出面积为:
52π42π
9π
4
4
4
旋转图形的关键,是先从整体把握一下”变化过程”,即它是通过什么样的基本图形经过怎样的加减次序得到的.先不去考虑具体数据,一定要把思路捋清楚.最后你会发现,所有数据要么直接
告诉你,要么就”藏”在那儿,一定会有.
可以进一步思考,比如平行四边形的旋转问题、一般三角形的旋转问题等等,此类问题的解决对提高解决几何图形问题的能力是非常有益的.
【答案】
(1)BC边扫过图形的面积为
9π
4
(2)AB边扫过图形的面积为
4π
(3)AD边扫过图形的面积为
9π
4
(4)DC边扫过图形的面积为
4π
【例8】(华杯赛初赛)半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的内侧作无滑动的滚动,当小
铁环沿大铁环滚动一周回到原位时,问小铁环自身转了几圈
【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答
【解析】对于这类问题,可以在初始时在小环上取一点A,观察半径OA,如图⑴,当小环沿大环内壁滚动到
与初始相对的位置,即滚动半个大圆周时,如图⑵,半径OA也运动到了与初始时相对的位置.这时
OA沿大环内壁才滚动了半圈.继续进行下半圈,直到OA与初始位置重合,这时OA自身转了1圈,
因此小铁环自身也转了1圈.
A
O
O
A
⑴⑵
【总结】对于转动的圆来说,当圆心转动的距离为一个圆周长时,这个圆也恰好转了一圈.所以本题也可以考虑小铁环的圆心轨迹,发现是一个半径与小铁环相等的圆,所以小铁环的圆心转过的距离等于自
己的圆周长,那么小铁环转动了1圈.
【答案】1圈
【巩固】如果半径为25厘米的小铁环沿着半径为50厘米的大铁环的外侧作无滑动的滚动,当小铁环沿大铁
环滚动一周回到原位时,问小铁环自身转了几圈
【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答
【解析】如图,同样考虑小圆的一条半径OA,当小圆在大圆的外侧滚动一周,即滚动了大圆的半周时,半径
OA滚动了540,滚动了一圈半,所以当小圆沿大圆外侧滚动一周时,小圆自身转了3圈.
OAAO
⑴⑵
也可以考虑小圆圆心转过的距离.小圆圆心转过的是一个圆周,半径是小圆的3倍,所以这个圆的
周长也是小圆的3倍,由于小圆的圆心每转动一个自身的周长时,小圆也恰好转了一圈,所以本题
中小圆自身转了3圈.
【答案】3圈
【巩固】如图所示,大圆周长是小圆周长的n(n1)倍,当小圆在大圆内侧(外侧)作无滑动的滚动一圈后又
回到原来的位置,小圆绕自己的圆心转动了几周
【考点】曲线型旋转问题【难度】3星【题型】解答
【解析】为了确定圆绕圆心转动几周,首先要明确圆心转动的距离.
设小圆的半径为“单位1”,则大圆的半径为“n”.
⑴在内测滚动时,如图⑴所示,因为圆心滚动的距离为
2π(n1).
所以小圆绕自己的圆心转动了:
2π(n
1)
2π
n1(圈).
图
(1)图
(2)
⑵在外侧滚动时,如图⑵所示.
因为圆心滚动的距离为2π(n
1).
所以小圆绕自己的圆心转动了:
2π(n1)
(圈).
n1
2π
【答案】n-1和n+1
【例9】如图,15枚相同的硬币排成一个长方形,一个同样大小的硬币沿着外圈滚动一周,回到起始位置.问:
这枚硬币自身转动了多少圈
【考点】曲线型旋转问题
【难度】3星
【题型】解答
【解析】当硬币在长方形的一条边之内滚动一次时,由于三个硬币的圆心构成一个等边三角形,所以这枚硬
币的圆心相当于沿着半径为硬币
2倍的圆旋转了180606060
.而硬币上的每一点都是半径
等于硬币的圆旋转,所以硬币自身旋转了
120°.
当硬币从长方形的一条边滚动到另一条边时,这枚硬币的圆心相当于沿着半径为硬币
2倍的圆旋转
了360
60
60
90
150.而硬币上的每一点都是半径等于硬币的圆旋转,所以硬币自身旋转
了300o.
长方形的外圈有
12
个硬币,其中有
4个在角上,其余8个在边上,所以这枚硬币滚动一圈有
8次是
在长方形的一条边之内滚动,
4次是从长方形的一条边滚动到另一条边.
120
83004
2160,
所以这枚硬币转动了
2160o,即自身转动了
6圈.
另解:
通过计算圆心轨迹的长度,每走一个
即滚动了一周.
【答案】6圈
2π
【巩固】12个相同的硬币可以排成下面的
4种正