七年级数学平行线的有关证明及答案.docx

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七年级数学平行线的有关证明及答案

平行线的性质与判定的证明

练习题

温故而知新：

1.平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等；

（2）两直线平行，内错角相等；

（3）两直线平行，同旁内角互补.

2.平行线的判定

（1）同位角相等，两直线平行；

（2）内错角相等，两直线平行；

（3）同旁内角互补，两直线平行互补.

例1已知如图2-2，AB∥CD∥EF，点M，N，P分别在AB，CD，EF上，NQ平分∠MNP．

（1）若∠AMN=60°，∠EPN=80°，分别求∠MNP，∠DNQ的度数；

（2）探求∠DNQ与∠AMN，∠EPN的数量关系．

解析：

在我们完成涉及平行线性质的相关问题时，注意实现同位角、内错角、同旁内角之间的角度转换，即同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.

例2如图，∠AGD＝∠ACB,CD⊥AB,EF⊥AB,证明：

∠1＝∠2.

解析：

在完成证明的问题时，我们可以由角的关系可以得到直线之间的关系，由直线之间的关系也可得到角的关系.

例3

（1）已知：

如图2-4①，直线AB∥ED，求证：

∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）当点C位于如图2-4②所示时，∠ABC，∠CDE与∠BCD存在什么等量关系？

并证明．

解析：

在运用平行线性质时，有时需要作平行线，取到桥梁的作用，实现已知条件的转化.

例4如图2-5，一条公路修到湖边时，需绕道，如果第一次拐的角∠A是120°，第二次拐的角∠B是150°，第三次拐的角是∠C，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，那么∠C应为多少度？

解析：

把关于角度的问题转化为平行线问题，利用平行线的性质与判定予以解答.

举一反三：

1.如图2-9，FG∥HI,则∠x的度数为（）

A.60°B.72°C.90°D.100°

2.已知如图所示，AB∥EF∥CD，EG平分∠BEF，∠B+∠BED+∠D=192°，∠B-∠D=24°，求∠GEF的度数.

3.已知：

如图2-10，AB∥EF，BC∥ED，AB，DE交于点G．

求证：

∠B=∠E．

例4如图2-6，已知AB∥CD，试再添上一个条件，使∠1=∠2成立，并说明理由．

解决此类条件开放性问题需要从结果出发，找出结果成立所需要的条件，由果溯因.

5.如图1-7，已知直线

，且

和

、

分别交于A、两点，点P在AB上，

和

、

分别交于C、D两点，连接PC、PD。

（1）试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由。

（2）如果点P在A、B两点之间运动时，问∠1、∠2、∠3之间的关系是否发生变化。

（3）如果点P在AB两点的外侧运动时，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系（点P和A、B不重合）

6.如图2-11，CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD，EF平分∠DEB吗？

请说明理由．

7.如图1-12，CD∥EF,∠1+∠2=∠ABC,

求证：

AB∥GF

8.如图2-13，已知AB∥CD，∠ECD=125°，∠BEC=20°，求∠ABE的度数．

答案：

1.根据两直线平行，内错角相等及角平分线定义求解.

（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）

答案：

（标注∠MND=∠AMN=60°，

∠DNP=∠EPN=80°）

解：

（1）∵AB∥CD∥EF，

∴∠MND=∠AMN=60°，

∠DNP=∠EPN=80°，

∴∠MNP=∠MND+∠DNP=60°+80°=140°，

又NQ平分∠MNP，

∴∠MNQ=∠MNP=×140°=70°，

∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND=70°-60°=10°，

∴∠MNP，∠DNQ的度数分别为140°，10°.（下一步）

（2）（标注∠MND=∠AMN，∠DNP=∠EPN）

由

（1）得∠MNP=∠MND+∠DNP=∠AMN+∠EPN，

∴∠MNQ=∠MNP=（∠AMN+∠EPN），

∴∠DNQ=∠MNQ-∠MND

=（∠AMN+∠EPN）-∠AMN

=（∠EPN-∠AMN），

即2∠DNQ=∠EPN-∠AMN.

2.（标注：

∠1＝∠2=∠DCB，DG∥BC，CD∥EF）答案：

（标注：

∠1＝∠2=∠DCB）

证明：

因为∠AGD=∠ACB，

所以DG∥BC，

所以∠1＝∠DCB，

又因为CD⊥AB,EF⊥AB，

所以CD∥EF，

所以∠2＝∠DCB，

所以∠1=∠2.

3.

（1）动画过点C作CF∥AB

由平行线性质找到角的关系.（标注∠1=∠ABC，∠2=∠CDE）

答案：

证明：

如图，过点C作CF∥AB，

∵直线AB∥ED，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠1=∠ABC，∠2=∠CDE.

∵∠BCD=∠1+∠2，

∴∠ABC+∠CDE=∠BCD；

（2）解析：

动画过点C作CF∥AB,由平行线性质找到角的关系.

（标注∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°）

答案：

∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．

证明：

如图，过点C作CF∥AB，

∵直线AB∥ED，

∴AB∥CF∥DE，

∴∠ABC+∠1=180°，∠2+∠CDE=180°.

∵∠BCD=∠1+∠2，

∴∠ABC+∠BCD+∠CDE=360°．

4.动画过点B作BD∥AE，

答案：

解：

过点B作BD∥AE，∵AE∥CF，

∴AE∥BD∥CF，∴∠A=∠1，∠2＋∠C=180°

∵∠A=120°，∠1+∠2=∠ABC=150°，

∴∠2=30°，

∴∠C=180°-30°=150°．

例题

1.解析：

∠AEG=180°-120°=60°,由外凸角和等于内凹角和有60°+30°+30°＝x+48°，解得x=72°.

答案:

B.

2.解:

∵AB∥EF∥CD,

∴∠B=∠BEF,∠DEF=∠D.

∵∠B+∠BED+∠D=192°,

即∠B+∠BEF+∠DEF+∠D=192°,

∴2（∠B+∠D）=192°,

即∠B+∠D=96°.

∵∠B-∠D=24°,

∴∠B=60°,

即∠BEF=60°.

∵EG平分∠BEF,

∴∠GEF=∠BEF=30°.

3.解析：

标注AB∥EF，BC∥ED

答案：

证明：

∵AB∥EF，

∴∠E=∠AGD.

∵BC∥ED，

∴∠B=∠AGD，

∴∠B=∠E.

4.解析：

标注AB∥CD，∠1=∠2

答案：

方法一：

（标注CF∥BE）

解：

需添加的条件为CF∥BE，

理由：

∵AB∥CD，

∴∠DCB=∠ABC.

∵CF∥BE，

∴∠FCB=∠EBC，

∴∠1=∠2；

方法二：

（标注CF，BE，∠1=∠2=∠DCF=∠ABE）解：

添加的条件为CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线．

理由：

∵AB∥CD，

∴∠DCB=∠ABC.

∵CF，BE分别为∠BCD，∠CBA的平分线，

∴∠1=∠2．

5.解：

（1）解析：

在题目中直接画出辅助线

∠3=∠1+∠2。

理由：

如图

（1）所示

过点P作PE∥

交

于E，则∠1=∠CPE，

又因为

∥

，所以PE∥

，则∠EPD=∠2，

所以∠CPD=∠1+∠2，即∠3=∠1+∠2

（2）解析:

点P在A、B两点之间运动时，∠3=∠1+∠2的关系不会发生改变。

（3）解析：

如图

（2）和（3）所以，当P点在A、B两点外侧运动时，分两种情况：

6.解析：

标注CD平分∠ACB，DE∥AC，EF∥CD

答案：

标注∠CDE=∠ACD=∠DCE=∠DEF=∠BEF

解：

EF平分∠DEB．理由如下：

∵DE∥AC，EF∥CD，

∴∠CDE=∠ACD，∠CDE=∠DEF，

∠BEF=∠DCE.

∵CD平分∠ACB，

∴∠DCE=∠ACD，

∴∠DEF=∠BEF，

即EF平分∠DEB．

7.解析：

如图，作CK∥FG,延长GF、CD交于H，则∠H+∠2+∠KCB=180°.因为CD∥EF，所以∠H=∠1,又因为∠1+∠2＝∠ABC，所以∠ABC+∠KCB=180°，所以CK∥AB,所以AB∥FG.

8.解析：

（过E点作EF∥CD）标注AB∥EF∥CD

答案：

解：

过E点作EF∥CD，

∴∠ECD+∠CEF=180°，

而∠ECD=125°，

∴∠CEF=180°-125°=55°，

∴∠BEF=∠BEC+∠CEF=20°+55°=75°.

∵AB∥CD，∴AB∥EF，

∴∠ABE=∠BEF=75°．