范文集合间的基本关系教学设计.docx

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范文集合间的基本关系教学设计

集合间的基本关系教学设计

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　　.1.2　集合间的基本关系

　　整体设计

　　教学分析

　　课本从学生熟悉的集合出发，通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系，同时，结合相关内容介绍子集等概念．在安排这部分内容时，课本注重体现逻辑思考的方法，如类比等．

　　值得注意的问题：

在集合间的关系教学中，建议重视使用Venn图，这有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念；随着学习的深入，集合符号越来越多，建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号，例如∈与⊆的区别．

　　三维目标

　　．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集，能判断给定集合间的关系，提高利用类比发现新结论的能力．

　　2．在具体情境中，了解空集的含义，掌握并能使用Venn图表达集合的关系，加强学生从具体到抽象的思维能力，树立数形结合的思想．

　　重点难点

　　教学重点：

理解集合间包含与相等的含义．

　　教学难点：

理解空集的含义．

　　课时安排

　　课时

　　教学过程

　　导入新课

　　思路1.实数有相等、大小关系，如5＝5,5＜7,5＞3等等，类比实数之间的关系，你会想到集合之间有什么关系呢？

欲知谁正确，让我们一起来观察、研探．

　　思路2.复习元素与集合的关系——属于与不属于的关系，填空：

0____N；2____Q；－1.5____R.

　　类比实数的大小关系，如5＜7,2≤2，试想集合间是否有类似的“大小”关系呢？

　　∈；；∈）

　　推进新课

　　新知探究

　　提出问题

　　观察下面几个例子：

　　①A＝{1，2，3}，B＝{1，2，3，4，5}；

　　②设A为国兴中学高一班男生的全体组成的集合，B为这个班学生的全体组成的集合；

　　③设c＝{x|x是两条边相等的三角形}，D＝{x|x是等腰三角形}；

　　④E＝{2,4,6}，F＝{6,4,2}．

　　你能发现两个集合间有什么关系吗？

　　例子①中集合A是集合B的子集，例子④中集合E是集合F的子集，同样是子集，有什么区别？

　　结合例子④，类比实数中的结论：

“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，在集合中，你发现了什么结论？

　　升国旗时，每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内，从楼顶向下看，每位同学是哪个班的，一目了然．试想一下，根据从楼顶向下看到的，要想直观表示集合，联想集合还能用什么表示？

　　试用Venn图表示例子①中集合A和集合B.

　　已知A⊆B，试用Venn图表示集合A和B的关系．

　　任何方程的解都能组成集合，那么x2＋1＝0的实数根也能组成集合，你能用Venn图表示这个集合吗？

　　一座房子内没有任何东西，我们称为这座房子是空房子，那么一个集合没有任何元素，应该如何命名呢？

　　与实数中的结论“若a≥b，且b≥c，则a≥c”相类比，在集合中，你能得出什么结论？

　　活动：

教师从以下方面引导学生：

　　观察两个集合间元素的特点．

　　从它们含有的元素间的关系来考虑．规定：

如果A⊆B，但存在x∈B，且xA，我们称集合A是集合B的真子集，记作AB．

　　实数中的“≤”类比集合中的⊆.

　　把指定位置看成是由封闭曲线围成的，学生看成集合中的元素，从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内．教师指出：

为了直观地表示集合间的关系，我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图．

　　封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等，没有限制．

　　分类讨论：

当A⊆B时，AB或A＝B.

　　方程x2＋1＝0没有实数解．

　　空集记为，并规定：

空集是任何集合的子集，即⊆A；空集是任何非空集合的真子集，即

　　A．

　　类比子集．

　　讨论结果：

①集合A中的元素都在集合B中；②集合A中的元素都在集合B中；③集合c中的元素都在集合D中；④集合E中的元素都在集合F中．

　　例子①中A⊆B，但有一个元素4∈B，且4A；而例子④中集合E和集合F中的元素完全相同．

　　若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.

　　可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合．

　　如图1所示表示集合A，如图2所示表示集合B.

　　图1

　　图2

　　如图3和图4所示．

　　图3

　　图4

　　不能．因为方程x2＋1＝0没有实数解．

　　空集．

　　若A⊆B，B⊆c，则A⊆c；若AB，Bc，则Ac.

　　应用示例

　　思路1

　　例1某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时，该产品才合格．若用A表示合格产品的集合，B表示重量合格的产品的集合，c表示长度合格的产品的集合．已知集合A，B，c均不是空集．

　　则下列包含关系哪些成立？

　　A⊆B，B⊆A，A⊆c，c⊆A.

　　试用Venn图表示集合A，B，c间的关系．

　　活动：

学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式．当集合A中的元素都属于集合B时，则A⊆B成立，否则A⊆B不成立．用相同的方法判断其他包含关系是否成立．教师提示学生注意以下两点：

　　重量合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定重量合格；

　　长度合格的产品不一定是合格产品，但合格的产品一定长度合格．

　　根据集合A，B，c间的关系来画出Venn图．

　　解：

包含关系成立的有：

A⊆B，A⊆c.

　　集合A，B，c间的关系用Venn图表示，如图5所示．

　　图5[:

Z]

　　变式训练

　　课本本节练习3.

　　点评：

本题主要考查集合间的包含关系．其关键是首先明确两集合中的元素具体是什么．

　　判断两个集合A，B之间是否有包含关系的步骤是：

先明确集合A，B中的元素，再分析集合A，B中的元素之间的关系，得：

集合A中的元素都属于集合B时，有A⊆B；当集合A中的元素都属于集合B，集合B中至少有一个元素不属于集合A时，有AB；当集合A中的元素都属于集合B，并且集合B中的元素也都属于集合A时，有A＝B；当集合A中至少有一个元素不属于集合B，并且集合B中至少有一个元素也不属于集合A时，有AB，且BA，即集合A，B互不包含.

　　例2写出集合{a，b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集．

　　活动：

学生思考子集和真子集的定义，教师提示学生空集是任何集合的子集，一个集合不是其本身的真子集．按集合{a，b}的子集所含元素的个数分类讨论．

　　解：

集合{a，b}的所有子集为，{a}，{b}，{a，b}．真子集为，{a}，{b}.

　　变式训练

　　已知集合P＝{1,2}，那么满足Q⊆P的集合Q的个数是

　　A．4　　　B．3　　　c．2　　．1

　　解析：

集合P＝{1,2}含有2个元素，其子集有22＝4个，

　　又集合Q⊆P，所以集合Q有4个．

　　答案：

A

　　点评：

本题主要考查子集和真子集的概念，以及分类讨论的思想．通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集，这样可以避免重复和遗漏．

　　思考：

集合A中含有n个元素，那么集合A有多少个子集？

多少个真子集？

　　解：

当n＝0时，即空集的子集为，即子集的个数是1＝20；当n＝1时，即含有一个元素的集合如{a}的子集为，{a}，即子集的个数是2＝21；当n＝2时，即含有两个元素的集合如{a，b}的子集为，{a}，{b}，{a，b}，即子集的个数是4＝22.…

　　集合A中含有n个元素，那么集合A有2n个子集，由于一个集合不是其本身的真子集，所以集合A有个真子集.

　　思路2

　　例1已知集合A＝{－1,3,2m－1}，集合B＝{3，m2}．若B⊆A，则实数m＝________.

　　活动：

先让学生思考B⊆A的含义，根据B⊆A，知集合B中的元素都属于集合A，由集合元素的互异性，列出方程求实数m的值．因为B⊆A，所以3∈A，m2∈A.对m2的值分类讨论．

　　解析：

∵B⊆A，∴3∈A，m2∈A.∴m2＝－1或m2＝2m－1.解得m＝1.∴m＝1.

　　答案：

1[:

学科网ZXXk]

　　点评：

本题主要考查集合和子集的概念，以及集合元素的互异性．本题容易出现m2＝3，其原因是忽视了集合元素的互异性．避免此类错误的方法是解得m的值后，再代入验证．

　　讨论两集合之间的关系时，通常依据相关的定义，观察这两个集合元素的关系，转化为解方程或解不等式.

　　变式训练

　　已知集合m＝{x|2－x＜0}，集合N＝{x|ax＝1}，若Nm，求实数a的取值范围．

　　分析：

集合N是关于x的方程ax＝1的解集，集合m＝{x|x＞2}≠，由于Nm，则N＝或N≠，要对集合N是否为空集分类讨论．

　　解：

由题意得m＝{x|x＞2}≠，则N＝或N≠.当N＝时，关于x的方程ax＝1无解，则有a＝0；当N≠时，关于x的方程ax＝1有解，则a≠0，此时x＝1a，又∵Nm，∴1a∈m.∴1a＞2.∴0＜a＜12.综上所得，实数a的取值范围是a＝0或0＜a＜12，即实数a的取值范围是a0≤a<12.

　　例2分别写出下列集合的子集及其个数：

，{a}，{a，b}，{a，b，c}．

　　由你发现集合m中含有n个元素，则集合m有多少个子集？

　　活动：

学生思考子集的含义，并试着写出子集．按子集中所含元素的个数分类写出子集；由总结当n＝0，n＝1，n＝2，n＝3时子集的个数规律，归纳猜想出结论．

　　解：

的子集有：

，即有1个子集；

　　{a}的子集有：

，{a}，即{a}有2个子集；

　　{a，b}的子集有：

，{a}，{b}，{a，b}，即{a，b}有4个子集；

　　{a，b，c}的子集有：

，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，即{a，b，c}有8个子集．

　　由可得：

当n＝0时，集合m有1＝20个子集；

　　当n＝1时，集合m有2＝21个子集；

　　当n＝2时，集合m有4＝22个子集；

　　当n＝3时，集合m有8＝23个子集；

　　因此含有n个元素的集合m有2n个子集.

　　变式训练

　　已知集合A{2,3,7}，且A中至多有一个奇数，则这样的集合A有

　　A．3个　　　B．4个　　　c．5个　　　D．6个

　　解析：

对集合A所含元素的个数分类讨论．

　　A＝或{2}或{3}或{7}或{2,3}或{2,7}共有6个．

　　答案：

D

　　点评：

本题主要考查子集的概念以及分类讨论和归纳推理的能力．集合m中含有n个元素，则集合m有2n个子集，有2n－1个真子集，记住这个结论，可以提高解题速度．写一个集合的子集时，按子集中元素的个数来写不易发生重复和遗漏现象.

　　知能训练

　　课本本节练习1,2.

　　【补充练习】

　　．判断正误：

　　空集没有子集．

　　空集是任何一个集合的真子集．

　　任一集合必有两个或两个以上的子集．

　　若B⊆A，那么凡不属于集合A的元素，则必不属于B.

　　分析：

关于判断题应确实把握好概念的实质．

　　解：

该题的4个命题，只有是正确的，其余全错．

　　对于，来讲，由规定：

空集是任何一个集合的子集，且是任一非空集合的真子集．

　　对于来讲，可举反例，空集这一个集合就只有自身一个子集．

　　对于来讲，当x∈B时必有x∈A，则xA时也必有xB.

　　2．集合A＝{x|－1＜x＜3，x∈Z}，写出A的真子集．[:

学科网]

　　分析：

区分子集与真子集的概念，空集是任一非空集合的真子集，一个含有n个元素的集合的子集有2n个，真子集有2n－1