中考数学压轴题破解策略专题16《对角互补模型》.docx
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中考数学压轴题破解策略专题16《对角互补模型》
专题16《对角互补模型》
破解策略
1．全等型之“90°”
如图，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB，则
A
C
D
OEB
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝2OC；
（3）SOCDSOCE
1OC2．
2
证明
方法一：
如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为
由角平分线的性质可得
＝，∠
＝90°．
CMCN
MCN
所以∠MCD＝∠NCE，
从而△MCD≌△NCE（ASA），
故CD＝CE．
易证四边形MONC为正方形．
所以OD＋OE＝OD＋ON＋NE＝2ON＝2OC．
所以SOCD
SOCE
S正方形MONC
ON2
1OC2．
2
方法二：
如图，过C作CF⊥OC，交OB于点F．
易证∠
＝∠
＝45°，
＝
，∠
＝∠
．
DOC
EFC
COCFDCO
ECF
所以△DCO≌△ECF（ASA）
A
所以
＝
，
＝
，
CDCEODFE
D
可得OD＋OE＝OF＝
2OC．
所以SOCD
SOCE
SOCF
1OC2．
O
2
【拓展】如图，当∠DCE的一边与AO的延长线交于点D时，则：
M，N．
A
MC
D
E
ONB
C
B
EF
1
A
C
B
O
E
D
（1）CD＝CE；
（2）OE－OD＝2OC；
（3）SOCESOCD
1OC2．
2
如图，证明同上．
A
A
M
C
C
O
B
B
N
E
O
FE
D
D
2．全等型之“120”
如图，∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，则：
C
A
D
E
OB
（1）CD＝CE；
（2）OD＋OE＝OC；
（3）SOCD
SOCE
3OC2．
4
证明方法一：
如图，过点
C
分别作⊥
，⊥，垂足分别为
，．
CMOACNOB
MN
所以SOCD
SOCE
2SONC
3
OC2
4
易证△MCD≌△NCE（ASA），
所以CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝OC．
2
CC
AA
M
DED
ONBOEFB
方法二：
如图，以CO为一边作∠FCO＝60°，交OB于点F，则△OCF为等边三角形．
易证△DCO≌△ECF（ASA）．
所以CD＝CE，OD＋OE＝OF＝OC，
∴S△OCD＋S△OCE＝S△OCF＝3OC2
4
【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：
（1）CD＝CE；
（2）OD－OE＝OC；（3）S△OCD－S△OCE＝
3OC2
4
如图，证明同上．
A
A
A
D
C
D
C
D
C
M
E
B
E
ON
B
E
FB
O
O
3、全等型之“任意角”
如图，∠AOB＝2
，∠DCE＝180°－2
，OC平分∠AOB，则：
2·sincos
（1）
＝；
（2）＋
＝2
·cos
；（3）△ODC＋△OEC＝
OC
CDCE
ODOE
OC
S
S
A
D
C
O
E
B
证明：
方法一：
如图，过点
C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为
M，N
MA
DC
B
ONE
易证△MCD≌△NCE（ASA）
∴CD＝CE，OD＋OE＝2ON＝2OC·cos
∴S△ODC＋S△OEC＝2S△ONC＝OC2·sincos
方法二：
如图，以CO为一边作∠FCO＝180°－2，交OB于点F．
3
A
D
C
B
OEF
易证△DCO≌△ECF（ASA）
∴CD＝CE，OD＋OE＝OF＝2OC·cos
∴S△ODC＋S△OEC＝S△OCF＝OC2·sincos
【拓展】如图，当∠DCE的一边与BO的延长线交于点E时，则：
（1）CD＝CE；
（2）OD－OE＝2OC·cos
△ODC△OEC
2
·sincos
；（3）S－S＝OC
如图，证明同上
D
A
D
A
DA
M
C
C
B
C
B
B
EO
N
EO
EO
F
4、相似性之“90°”
如图，∠
＝∠
＝90°，∠
＝
，则
＝
·tan
AOBDCE
COB
CECD
A
D
C
OE
B
方法一：
如图，过点C分别作CM⊥OA，CN⊥OB，垂足分别为M、N
A
D
M
C
O
EN
易证△MCD∽△NCE，∴NE
CE
CN
tan，即CE＝CD·tan
MD
CD
CM
方法二：
如图，过点
C作CF⊥OC，交OB于点F．
A
D
C
O
E
F
B
4
易证△DCO∽△ECF，∴FE
CE
CF
tan
，即CE＝CD·tan
OD
CD
CO
方法三：
如图，连接
DE．
A
D
C
O
E
B
易证
、、、
C
四点共圆
DOE
∴∠CDE＝∠COE＝
，故CE＝CD·tan
【拓展】如图，当∠
DCE的一边与AO的延长线交于点
D时，则CE＝CD·tan
A
C
O
B
E
D
如图，证明同上．
A
A
A
C
C
C
M
O
B
O
N
E
B
O
FE
B
E
D
D
D
例题讲解
例1、已知△ABC是⊙O的内接三角形，AB＝AC，在∠BAC所对弧BC上任取一点D，连接AD，BD，CD．
（1）如图1，若∠BAC＝120°，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？
（2）如图2，若∠BAC＝，那么BD＋CD与AD之间的数量关系是什么？
DD
BC
OO
BC
A图1A图2
解：
（1）BD＋CD＝3AD
D
EO
BC
F
A
图3
如图3，过点A分别向∠BDC的两边作垂线，垂足分别为E、F．
由题意可得∠ADB＝∠ADC＝30°
5
易证△AEB≌△AFC
∴BD＋CD＝2DE＝3AD
⑵BD＋CD＝2ADsin．
2
如图4，作∠EAD＝∠BAC，交DB的延长线于点E．
D
F
BC
E
O
A
图4
则△EBA≌△DCA，所以BE＝CD，AE＝AD．
作AF⊥DE于点F，则∠FAD＝．所以BD＋CD＝DE＝2DF＝2ADsin．
22
例2如图1，将一个直角三角板的直角顶点P放在正方形ABCD的对角线BD上滑动，并使其一条直角边始终经过点A，另一条直角边与BC相交于点F．
⑴求证：
PA＝PE；
⑵如图2，将⑴中的正方形变为矩形，其余不变，且
＝10，
＝8，求
：
的值；
AD
CD
AP
PE
⑶如图3，在⑵的条件下，当
P滑动到BD的延长线上时，AP：
PE的值是否发生变化？
A
D
P
A
D
A
P
DF
P
B
E
CB
E
C
B
CE
图1
图2
图3
解：
⑴如图4，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为
M，N．
则
＝，∠
＝90°，由已知条件可得∠
＝90°，所以∠
＝∠
，所以△
≌
PMPN
MPN
APE
APM
EPN
APM
△EPN．
故AP＝PE．
AD
MP
BENC
图4
⑵如图5，过点P分别作PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为M，N．则PM∥AD，PN∥CD．
所以△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD．可得PM
BP
PN，所以PM
AD
5．
AD
BD
CD
PN
CD
4
易证△∽△
，所以AP
PM
5
．
APM
EPN
PN
4
PE
6
AD
MP
BENC
图5
⑶AP：
PF的值不变．[如图，理由同⑵]
MP
AF
D
BCNE
图6
进阶训练
1．如图，四边形ABCD被对角线BD分为等腰Rt△ABD和Rt△CBD，其中∠BAD和∠BCD都是
直角，另一条对角线AC的长度为2，则四边形ABCD的面积为_________．
A
BD
C
第1题图
答案：
四边形ABCD的面积为2．
【提示】易证A、B、C、D四点共圆，则∠BCA＝∠BDA＝∠ABD＝∠ACD，由“全等型之‘90°’”
的结论可得S
＝
1
2
AC＝2．
四边形ABCD
2
2．在△中，
＝，∠
＝60°，
D
是
边的中点，∠
＝120°，
与
边相交于
ABC
ABAC
A
BC
EDF
DE
AB
点E，DF与AC边（或AC边的延长线）相交于点
F．
A
A
E
E
N
F
C
B
D
C
B
D
F
第1题图1
第1题图2
⑴如图1，DF与AC边相交于点F，求证：
BE＋CF＝1AB；
2
⑵如图2，将图1中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，使
DF与AC边的延长线交于点
F，作DN⊥AC于点N，若DN＝FN，求证：
BE＋CF＝
3（BE－CF）．
答案：
略．
7
【提示】⑴过点D作DG∥AC交AB于点G，证△DEG≌△DFC，从而BE＋CF＝BE＋EG＝BG＝1AB．2
A
G
E
F
B
D
C
第1题答图1
⑵过点D作DG∥AC交AB于点G，同⑴可得BE－CF＝1AB＝DC＝2DN，延长AB至点H，使
2
3
得BH＝CF，则DH＝DF＝DE，从而BE＋CF＝HE＝
2DE＝
2×
2DN＝2DN，所以BE＋CF＝3
（BE－CF）．
A
E
G
N
B
D
C
H
F
第1
题答图2
3．在菱形
中，两条对角线
，
相交于点
，∠
＋∠
＝180°，∠
绕点
O
ABCD
ACBD
O
MON
BCD
MON
旋转，射线OM交BC于点E，射线ON交CD于点F，连结EF．
⑴如图1，当∠ABC＝90°时，△OEF的形状是____；
⑵如图2，当∠
＝60°时，请判断△
的形状，并说明理由；
ABC
OEF
⑶如图3，在⑴的条件下，将∠
MON的顶点移动到
AO的中点O'处，∠MO'N绕点O'旋转，仍
满足∠
'＋∠
＝180°，射线'
交直线
于点
，射线
'
交直线
于点
，当
BC
MON
BCD
OM
BCE
ON
CD
F
＝4，且
SVO'EF
9时，求
的长．
S四边形ABCD8
CE
A
D
A
D
A
D
O'
O
F
O
O
N
F
B
ME
C
B
ME
CN
B
C
第3题图1
第3题图2
第3题图3
答案：
⑴等腰直角三角形；⑵△
OEF是等边三角形；⑶线段
CE的长为3
3＋3或33－3．
【提示】⑵由“全等型之‘120°’”的结论可得OE＝OF．⑶两种情况，如图：
8
F'
N'
AD
O'
E
O
E'
B
M
F
CM'
N
第3题答图
9
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