高三数学 23函数的极限第一课时大纲人教版选修.docx
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高三数学23函数的极限第一课时大纲人教版选修
2019-2020年高三数学2.3函数的极限（第一课时）大纲人教版选修
课时安排
2课时
从容说课
从建构主义观点出发来引入函数极限的概念,建构函数的极限的定义.数列是一种特殊函数.我们已经研究了数列的极限的概念.本小节要解决当x→∞时,函数f（x）的极限；当x→x0时函数f（x）的极限,函数的左、右极限的概念.着重弄清下列三个问题：
（1）常数C与x不发生关系,为什么有或呢？
这是因为C=C·1x,所以可把常数看成“变化率”为0的函数,它实际上与自变量x是有关系的,f（x）=C,不论x取何值,其函数值都是C,其图象是一条水平直线（与x轴平行或重合）.
（2）“当x→x0时,函数f（x）的极限是A”,这一用语是否与f（x）在点x0处的情况有关？
这一用语仅与f（x）在点x0附近的函数值变化有关,而与f（x）在点x0处的情况无关.例如,函数f（x）=x3+3x2-1在点x0=1处有定义,而分式函数在点x0=-2处无定义,但它们当x→+1,x→-2时的极限都是存在的.
（3）是否所有函数都有极限呢？
学生容易糊涂,教师应该举例说明.
答案是否定的.例如,函数,当x→∞时的极限是不存在的.事实上,
当x→+∞时,f（x）的值恒等于1,所以f（x）的变化趋势是无限接近于1；
而当x→-∞时,f（x）的值恒等于-1,所以f（x）的变化趋势是无限趋近于-1.
因此,当x→∞时,f（x）的变化趋势不是无限趋近于同一常数,即当x→∞时,f（x）的极限不存在.
第七课时
课 题
§2.3.1 函数的极限
（一）
教学目标
一、教学知识点
1.当x→+∞时,函数f（x）的极限的概念.
2.当x→-∞时,函数f（x）的极限的概念.
3.当x→∞时,函数f（x）的极限的概念.
4.常数函数f（x）=C的极限.
二、能力训练要求
1.从函数的变化趋势,理解掌握函数极限的概念.
2.会求当函数的自变量分别趋于+∞、-∞、∞时的极限.
三、德育渗透目标
1.培养学生以运动的眼光来看待数学问题的能力和极限思想.
2.培养学生从“特殊”到“一般”的归纳的能力.
教学重点
从函数的变化趋势来理解极限的概念,体会极限思想.这是本章内容的基础,也是本章后续内容（导数,积分）的基础.
教学难点
对极限概念如何从变化趋势的角度来正确理解.可以结合具体例子,通过比较数值的变化及图象,从中提炼、概括涉及极限的本质特征.
教学方法
启发式教学法.
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］什么是数列{an}的极限？
［生1］当项数n无限增大时,如果数列{an}的项an无限趋近于某个常数a,就说当n趋向于无穷大时,数列{an}的极限是a,记作或者当n→∞时,an→a.
［师］那么我们是否可以将an看成是n的函数？
即an=f（n）,自变量n∈N*,an就是一个特殊的函数.对于一般的函数f（x）,自变量x∈R,是否有同样的结论呢？
这节课就来研究当x→∞时,函数f（x）的极限.
Ⅱ.讲授新课
（一）举特殊例子
［师］我们先来看函数（x∈R,x≠0）,画出它的图象或者列表观察:
当x取正值并无限增大时和当x取负值并绝对值无限增大时,函数值的变化趋势.
［板书］（x∈R,x≠0）.
1.图象
图2－13
2.列表（请学生回答y的值）
x
1
10
100
1000
-10000
-100000
…
y
1
0.1
0.01
0.001
0.0001
0.00001
…
x
-1
-10
-100
-1000
-10000
-100000
…
y
-1
-0.1
-0.01
-0.001
-0.0001
-0.00001
…
［师］我们从图或表中可以发现什么呢？
当x取正值增大或x取负值绝对值增大时,函数值y如何变化？
［生2］从图中或表中可以看出,当x取正值增大时,y的值趋于0；当x取负值并绝对值增大时,y的值也趋于0.
［师］那我们如果也用数列中的极限符号怎么表示呢？
［板书］,.
（二）函数极限的定义
1.当自变量x取正值并且无限增大时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a.就说当x趋向于正无穷大时,函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,或者当x→+∞时,f（x）→a,
2.当自变量x取负值并且绝对值无限增大时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋向于负无穷大时,函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a或者当x→-∞时,f（x）→a.
3.如果f（x）=a且f（x）=a,那么就说当x趋向于无穷大时,函数f（x）的极限是a,记作f（x）=a,或者当x→∞时,f（x）→a.
4.常数函数f（x）=C（x∈R）,有f（x）=C.
注意：
f（x）存在,表示f（x）和f（x）都存在且两者相等.所以f（x）中的∞既有+∞,又有-∞的意义,而数列极限中的∞仅有+∞的意义.
（三）课本例题
［例1］分别就自变量x趋向于+∞和-∞的情况,
讨论下列函数的变化趋势.
（1）（老师板演）.
［师生共析］对于这个函数的图象能否作出,由图不难看出.
［师］解：
由图2－14可知,当x→+∞时,无限趋近于0,即；
当x→-∞时,无限趋近于+∞.
图2－14 图2－15
（2）y=2x（学生板演）.
解：
由图2－15可知,当x→+∞时,y=2x无限趋近于+∞;当x→-∞时,y=2x无限趋近于0,即.
（3）
图2－16
解：
由图2－16可知,当x→+∞时,f（x）的值为1,即f（x）=1;
当x→-∞时,f（x）的值为-1,即f（x）=-1.
［师］当x→+∞时,f（x）不是无限趋近于某个常数a,而是f（x）的值等于常数a,那么函数f（x）当x→+∞时的极限也就是a.x→-∞时,情况也是如此.
Ⅲ.课堂练习
1.对于函数,填写下表并画出函数的图象,观察当x→∞时,函数y的变化趋势.
x
±1
±2
±3
±10
±102
±103
…
y
1
0.25
0.11
0.01
0.0001
0.000001
…
|y-0|
1
0.25
0.11
0.01
0.0001
0.000001
…
当x→∞时,无限趋近于0,即.
2.写出下列函数极限的值.
（1）；
图2－17
（2）；
图2－18
（3）；
图2－19
（4）.
图2－20
3.已知k∈N*,求.
解:
原式
.
Ⅳ.课时小结
本节学习了当x分别趋向于+∞、-∞、∞时,函数f（x）的极限,以及常数函数的极限,并且注意f（x）中的∞和数列极限中的∞的不同意义.以概念为依据,结合函数图象,学会求一些函数的极限.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P83习题2.3 2
（1）
（2）（3）（4）.
（二）1.预习内容：
课本P79~83.
2.预习提纲：
（1）预习当x→x0时,函数f（x）的极限的概念.
（2）预习函数的左、右极限.
板书设计
§2.3.1 函数的极限
（一）
一、几个定义
1.当x→+∞时,函数f（x）的极限.
2.当x→-∞时,函数f（x）的极限.
3.当x→∞时,函数f（x）的极限.
4.常数函数f（x）=C的极限.
二、举特殊例子
1.图象
2.列表
3.记作
课本例题
例1.
（1）y=（）x
（2）y=2x
（3）
课堂练习
课后作业
2019-2020年高三数学2.3函数的极限（第二课时）大纲人教版选修
课 题
§2.3.2 函数的极限
（二）
教学目标
一、教学知识点
1.当x→x0时,函数f（x）的极限的概念.
2.函数的左极限.
3.函数的右极限.
二、能力训练要求
1.理解函数在一点处的极限,并会求函数在一点处的极限.
2.已知函数的左、右极限,会求函数在一点处的左、右极限.
3.理解函数在一点处的极限与左、右极限的关系.
三、德育渗透目标
1.认识事物之间的相互联系与区别,培养学生的归纳能力.
2.要用运动的、联系的观点看问题.
教学重点
函数在一点处的极限与左、右极限.
教学难点
函数在一点处的极限的概念的理解,以及与函数的左、右极限之间的关系.要与函数的第一类极限即自变量趋向于无穷大区别开.
教学方法
建构主义方法,让学生在做中学.
教具准备
幻灯片三张
第一张：
两类极限的区别（记作§2.3.2A）.
第二张：
函数在一点处的极限与函数在该点的值的关系（记作§2.3.2B）.
第三张：
函数在一点处的极限与左、右极限的关系（记作§2.3.2C）.
教学过程
Ⅰ.课题导入
［师］上节课我们学习了当x趋向于∞即x→∞时,函数f（x）的极限.当x趋向于∞时,函数f（x）的值就无限趋近于某个常数a.我们可以把∞看成数轴上的一个特殊的点,那么如果对于数轴上的一般的点x0,当x趋向于x0时,函数f（x）的值是否会趋近于某个常数a呢？
先看几个具体的例子.
Ⅱ.讲授新课
（一）举例
［师］我们要考虑当x无限趋近于2时,函数y=x2的变化趋势,可以有哪些方法呢？
［生］画图和列表.
［板书］1.y=x2,当x→2时.（如图2－21）
图2－21
列表如下:
x
1.5
1.9
1.99
1.999
1.9999
1.99999
…
y=x2
2.25
3.61
3.96
3.996
3.9996
3.99996
…
|y-4|
1.75
0.39
0.04
0.004
0.0004
0.00004
…
x
2.5
2.1
2.01
2.001
2.0001
2.00001
…
y=x2
6.25
4.41
4.04
4.004
4.0004
4.00004
…
|y-4|
2.25
0.41
0.04
0.004
0.0004
0.00004
…
x
2.1
1.9
2.01
1.999
2.0001
1.99999
…
y=x2
4.41
3.61
4.04
3.996
4.0004
3.99996
…
|y-4|
0.41
0.39
0.04
0.004
0.0004
0.00004
…
［结论］
（1）x从表示2的点的左边无限趋近于2,|y-4|的值无限趋近于0,即y=x2的值无限趋近于4.
（2）x从表示2的点的右边无限趋近于2,则|y-4|的值无限趋近于0,即y=x2的值无限趋近于4.
（3）x从表示2的点的两侧交错地无限趋近于2,则|y-4|的值无限趋近于0,即y=x2的值无限趋近于4.
2.（x∈R,x≠1）.
［师］考虑x无限趋近于1但不等于1时,函数的变化趋势,只用图象,写出结论.
图2－22
（学生板演）图2－22.
［结论］
（1）x从1的左边无限趋近于1,则的值无限趋近于2.
（2）x从1的右边无限趋近于1,则的值无限趋近于2.
（3）x从1的两侧交错地无限趋近于1,则的值无限趋近于2.
3.分段函数
当x→0时的变化趋势.
图2－23
（学生板演）图2－23.
［结论］
（1）x从0的左边无限趋近于0,则y的值无限趋近于-1.
（2）x从0的右边无限趋近于0,则y的值无限趋近于1.
（二）函数在一点处的极限与左、右极限
1.当自变量x无限趋近于常数x0（但x不等于x0）时,如果函数f（x）无限趋近于一个常数a,就说当x趋近于x0时,函数f（x）的极限是a,记作x0f（x）=a或当x→x0时,f（x）→a.f（x）叫做函数f（x）在点x=x0处的极限.
2.如果当x从点x=x0左侧（即x＜x0）无限趋近于x0时,函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的左极限,记作f（x）=a.
3.如果当x从点x=x0右侧（即x＞x0）无限趋近于x0时,函数f（x）无限趋近于常数a,就说a是函数f（x）在点x0处的右极限,记作f（x）=a.
4.常数函数f（x）=C在点x=x0处的极限有f（x）=C（分别给出幻灯片A、B、C）.
［注意］
（1）第一类函数极限f（x）中的自变量x是无限趋近于∞;第二类函数极限f（x）中的自变量x是无限地趋近于一个点x0.
（2）f（x）中x无限趋近于x0,但不包含x=x0,即x≠x0.所以函数f（x）的极限a仅与函数f（x）在点x0附近的函数值的变化有关,而与函数f（x）在点x0的值无关.
①点x0可以不属于函数f（x）的定义域.
如.
②点x0可以属于函数f（x）的定义域,但函数f（x）的极限与函数值f（x0）无关.
如
.
（3）是x从x0的两侧无限趋近于x0,是双侧极限.
、都是x从x0的单侧无限趋近于x0,是单侧极限.
同样,是双侧极限,
、是单侧极限.
.
.
函数f（x）的左、右极限存在,但它的极限不一定存在.只有当左、右极限都存在并且相等时,函数f（x）的极限才存在并且等于它的左极限（或右极限）.
图2－24
（三）课本例题
当时,写出下列函数的极限.（学生板演）
（1）y=x2;
解：
.
图2－25 图2－26
（2）y=sinx;
解：
.
（3）y=x;
解：
.
（4）y=5.
解：
∵y=5是常数函数,∴.
（四）精选例题
写出下列函数当x→0时的左、右极限,哪些有极限？
（1）
解：
∴f（x）在x=0处有极限,即.
（2）
解：
∴f（x）在x=0处无极限,即不存在.
（3）f（x）=（x≠-3）;
解：
∴f（x）在x=0处有极限,即.
（4）
解：
不存在,∴f（x）在x=0处无极限,即不存在.
Ⅲ.课堂练习
1.,讨论f（x）在x→0和x→1时的极限.
解:
∵,∴f（x）在x→0时的极限不存在.
又,,∴且f
（1）=1.
2.下列函数在x=0处的左、右极限各是什么？
哪些有极限？
（学生口答）
（1）
［生］在x=0处左极限为1,右极限为0,无极限.
（2）
［生］在x=0处左极限为0,右极限为0,极限为0.
（3）.
［生］在x=0处左极限为-1,右极限为1,无极限.
3.已知函数其中［x］表示不超过x的最大整数,给出下列判断:
①;②;③;④.其中正确的命题的个数有（ ）
A.1个B.2个 C.3个 D.4个
解析:
①,②,③
④,.
∴不存在.
综上所述,只有①③正确.故选B.
答案:
B
Ⅳ.课时小结
本节课主要学习了第二类函数极限.函数f（x）在点x=x0处的极限,左、右极限.要弄清极限与左、右极限的关系,第一类函数极限实质上是第二类函数极限的特例.要学会求一些简单函数的左、右极限和极限.
Ⅴ.课后作业
（一）课本P83习题2.4 2（5）~（8）,3.
（二）1.预习内容：
课本Ｐ84～Ｐ85.
2.预习提纲：
（1）预习函数极限的四则运算法则,理解极限运算与“+、-、×、÷”可交换顺序.
（2）预习由函数极限的四则运算法则推出的两个式子.
板书设计
§2.3.2 函数的极限
（二）
一、几个概念
1.f（x）在x=x0处的极限.
2.f（x）在x=x0处的左极限.
3.f（x）在x=x0处的右极限.
4.常数函数在x=x0处的极限.
二、举例
1.y=x2 x→2
画图
列表
结论
2. （x→1）
图、结论
3.
图、结论
课本例题
课堂练习
课后作业
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