学年度第一学期上海杨浦区高三数学理科数学1.docx

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学年度第一学期上海杨浦区高三数学理科数学1

杨浦区2010学年度高三学科测试

数学试卷（理科）2011.1.

考生注意：

1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号．

2．本试卷共有23道题，满分150分，考试时间120分钟．

一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．

1．若复数满足，则__________．

2．抛物线的焦点到准线的距离是.

3．函数的定义域为.

4．已知等差数列首项为1，公差为2．若时，则项数．

5．若是奇函数，则实数．

6．函数的最小正周期是.

7．在的二项展开式中，的系数是_________（用数字作答）．

8．计算：

.

9．设的内角的对边分别为．若，

则角．

10.若经过点且以为方向向量的直线与双曲线相交于不同两点、，则实数的取值范围是.

11．若全集，不等式＞0的解集为，则.

12．若为第二象限的角，，则.

13．若直线被两平行线与所截得线段的长为，则直线的倾斜角是.

14．如图，已知的面积为，．

设，，并且以为中心、为焦点的椭

圆经过点．当取得最小值时，则此椭圆的方程为.

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答案纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.

15．函数，若，则的值为（）．

....

16．“”是“函数在上是增函数”的（）．

充分非必要条件.　　　　　必要非充分条件.

充要条件.　　　　　即非充分也非必要条件.

17．已知点的坐标为，为抛物线的焦点．若点在抛物线上移动，当取得最小值时，则点的坐标是（）．

....

18．已知的面积是，内角所对边分别为，．

若，则的值是（）．

...不确定.

三、解答题（本大题满分74分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.

19．（本题满分12分）

已知函数（且）的反函数定义域为集合，

集合．若，求实数的取值范围．

20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

设函数的最大值为，最小值为，

其中．

（1）求的值（用表示）；

（2）已知角的顶点与平面直角坐标系中的原点重合，始边与轴的正半轴重合，终边经过点．求的值．

21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知数列的前项和满足条件，其中．

（1）求证：

数列成等比数列；

（2）设数列满足．若，求数列的前项和．

22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.

纪念品

纪念品

纪念品

精品型

100

150

普通型

300

450

600

在上海世博会期间，某工厂生产三种世博纪念品,每种纪念品均有精品型和普通型两种.某一天产量如下表（单位:

个）:

现采用分层抽样的方法在这一天生产的纪念品中抽取200个,其中有种纪念品40个.

（1）求的值；

（2）从种精品型纪念品中抽取5个,其某种指标的数据分别如下:

.把这5个数据看作一个总体,其均值为10、方差为2,求的值；

（3）用分层抽样的方法在种纪念品中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2个纪念品,求至少有1个精品型纪念品的概率.

23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.

给定椭圆：

，称圆心在坐标原点，半径为的圆是椭圆的“伴随圆”．

（1）若椭圆过点，且焦距为，求“伴随圆”的方程；

（2）如果直线与椭圆的“伴随圆”有且只有一个交点，那么请你画出动点轨迹的大致图形；

（3）已知椭圆的两个焦点分别是，

椭圆上一动点满足．设点是椭圆的“伴随圆”上的动点，过点作直线使得与椭圆都各只有一个交点，且分别交其“伴随圆”于点．

研究：

线段的长度是否为定值，并证明你的结论．

杨浦区2010学年度高三学科测试

参考答案及评分标准

说明:

1.本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.

2.评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.

3.第19题至第23题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.

4.给分或扣分均以1分为单位.

一、填空题

１．1；2．２；３．；４．４；５．；６．；7.10；8.2；9.；

10．；11．；12.文理；13.或

14.文,理;

二、选择题

15．；16.；17.；18.；

三、解答题

19．解法１：

由题意得，函数（且）值域为

所以，的定义域为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分

又由得．．．．．．．．．．．8分

　，即　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１１分

所以，实数的取值范围为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１２分

解法２：

由函数得（且）

所以，的定义域为．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分

（以下解法同上）

20．解（１）由题可得而．．．．．．．．．．３分

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分

（２）文科　角终边经过点，则．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

　　所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．１４分

理科　角终边经过点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分

当时，　　　　则

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

当时，　

则

所以，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１３分

综上所述　　或　　　．．．．．．．．．１４分

21.解：

（1）由题得　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

所以　　故有．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

又，解得，

所以　数列成等比数列．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分

（２）

文科由（１）得，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分

故有

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

．．．．．．．．．．．．．．．．．１４分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１６分

理科　由（１）得，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分

故有

设

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

则

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１４分

22.（１）解：

设这一天生产的纪念品为，

由题意得，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

所以．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

（２）由题得　则．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分

由于得．．．．．．．．．．．８分

从而

即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分

（３）设所抽样本中有个精品型纪念品，则

也就是抽取了２个精品型纪念品，３个普通型纪念品．．．．．．．．．．．．．．１３分

所以，至少有1个精品型纪念品的概率为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１６分

（其他解法，参照给分）

２３.

（１）解　由题意得：

　，则．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分

又由焦距为，所以　焦距为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分

故所求的“伴随圆”的方程为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分

（２）由于椭圆的“伴随圆”与直线有且只有一个交点，

则圆心到直线的距离等于半径，

即　　　　．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分

故动点轨迹方程为　　

即动点的轨迹是：

以原点为圆心半径为３的圆上八分之一弧（除去两端点）如图．．．１０分

（３）由题意得：

得，半焦距

则椭圆的方程为“伴随圆”的方程为

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

文科　因为“伴随圆”的方程为与轴正半轴的交点，设过点，且与椭圆有一个交点的直线为，

则　　整理得．．．．．．．．．．．．．．．．．１4分

所以，解得

所以，的方程为，．．．．．．．．．．．１６分

由于，垂直，线段的长度为４．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１８分

理科

①当，中有一条无斜率时，不妨设无斜率，

因为与椭圆只有一个交点，则其方程为或，

当方程为时，此时与“伴随圆”交于点，，

此时经过点（或）且与椭圆只有一个公点的直线（或），即为（或）显然直线，垂直；

同理可证方程为时，直线，垂直，所以．．．．．．．．．．13分

②当，都有斜时，设点，其中。

设经过点与椭圆为只有一共点的直线为，则消去，

得即

经过化简得到：

因为，所以有．．．．．．．．．１６分

设，的斜率分为，因为，与椭圆都有只有一个交点，

所以满足方程

所以，即，垂直．

综合①②知：

因为，经过点，又分别交其“伴随圆”于点，且，垂直，所以线段为“伴随圆”的直径，所以．．．．．．１８分