高三数学二轮复习专题辅导1数形结合精品教学案.docx
《高三数学二轮复习专题辅导1数形结合精品教学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学二轮复习专题辅导1数形结合精品教学案.docx（46页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
高三数学二轮复习专题辅导1数形结合精品教学案
专题一】数形结合思想
考情分析】
在高考题中，数形结合的题目出现在高中数学知识的方方面面上，把图象作为工具、载体，以此寻求解题思路或制定解题方案，真正体现数形结合的简捷、灵活特点的多是填空小题。
从近三年新课标高考卷来看，涉及数形结合的题目略少，预测2020年可能有所加强。
因为对数形结合等思想方法的考查，是对数学知识在更高层次的抽象和概括能力的考查，是对学生思维品质和数学技能的考查，是新课标高考明确的一个命题方向。
1．数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。
它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。
“数缺形时少直观，形少数时难入微”，利用数形结合的思想方法可以深刻揭示数学问题的本质。
2．数形结合的思想方法在高考中占有非常重要的地位，考纲指出“数学科的命题，在考查基础知识的基础上，注重对数学思想思想方法的考查，注重对数学能力的考查”，灵活运用数形结合的思想方法，可以有效提升思维品质和数学技能。
3．“对数学思想方法的考查是对数学知识在更高层次的抽象和概括的考查，考查时要与数学知识相结合”，用好数形结合的思想方法，需要在平时学习时注意理解概念的几何意义和图形的数量表示，为用好数形结合思想打下坚实的知识基础。
4．函数的图像、方程的曲线、集合的文氏图或数轴表示等，是“以形示数”，而解析几何的方程、
斜率、距离公式，向量的坐标表示则是“以数助形”，还有导数更是数形形结合的产物，这些都为我们提供了“数形结合”的知识平台。
5．在数学学习和解题过程中，要善于运用数形结合的方法来寻求解题途径，制定解题方案，养成数形结合的习惯，解题先想图，以图助解题。
用好数形结合的方法，能起到事半功倍的效果，“数形结合千般好，数形分离万事休”。
纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。
【知识归纳】
数形结合的数学思想：
包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：
一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质．。
应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：
数形结合思想解决的问题常有以下几种：
（1）构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；
（2）构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；
（3）构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；
（4）构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；
（5）构建立体几何模型研究代数问题；
（6）构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；
（7）构建方程模型，求根的个数；
（8）研究图形的形状、位置关系、性质等．
常见适用数形结合的两个着力点是：
以形助数常用的有：
借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.
以数助形常用的有：
借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。
数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧，特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功效，这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练，以提高解题能力和速度．具体操作时，应注意以下几点：
（1）准确画出函数图象，注意函数的定义域；
（2）用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）的解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先要把方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两个函数的图象，由图求解．这种思想方法体现在解题中，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维的和谐复合，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决。
1•数形结合的途径
（1）通过坐标系形题数解
借助于建立直角坐标系、复平面可以将图形问题代数化。
这一方法在解析几何中体现的相当充分（在高考中主要也是以解析几何作为知识载体来考察的）；值得强调的是，形题数解时，通过辅助角引入三角
函数也是常常运用的技巧（这是因为三角公式的使用，可以大大缩短代数推理）
实现数形结合，常与以下内容有关：
①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。
如等式（X2）2（y1）24。
常见方法有：
1解析法：
建立适当的坐标系（直角坐标系，极坐标系），引进坐标将几何图形变换为坐标间的代数关系。
2三角法：
将几何问题与三角形沟通，运用三角代数知识获得探求结合的途径。
3向量法：
将几何图形向量化，运用向量运算解决几何中的平角、垂直、夹角、距离等问题。
把抽象的几何
推理化为代数运算。
特别是空间向量法使解决立体几何中平行、垂直、夹角、距离等问题变得有章可循。
（2）通过转化构造数题形解
许多代数结构都有着对应的几何意义，据此，可以将数与形进行巧妙地转化•例如，将a>0与距离互
化，将a2与面积互化，将a2+b2+ab=a2+b2—2bcos（60或120）与余弦定理沟通，将a>b>c
>0且b+c>a中的a、b、c与三角形的三边沟通，将有序实数对（或复数）和点沟通，将二元一次方程与直线、将二元二次方程与相应的圆锥曲线对应等等.这种代数结构向几何结构的转化常常表现为构造一个
图形（平面的或立体的）。
另外，函数的图象也是实现数形转化的有效工具之一，正是基于此，函数思想和数形结合思想经常借助于相伴而充分地发挥作用。
常见的转换途径为：
1方程或不等式问题常可以转化为两个图象的交点位置关系的问题，并借助函数的图象和性质解决相关的问题。
2利用平面向量的数量关系及模AB的性质来寻求代数式性质。
（3）构造几何模型。
通过代数式的结构分析，构造出符合代数式的几何图形，如将a2与正方形的面
积互化，将abc与体积互化，将,a2c2与勾股定理沟通等等。
（4）利用解析几何中的曲线与方程的关系，重要的公式（如两点间的距离.（x1x2）2（y1y2）2,
点到直线的距离d1AXoBy0_C|，直线的斜率，直线的截距）、定义等来寻求代数式的图形背景及有VA^V
关性质。
2•数形结合的原则
（1）等价性原则在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导。
（2）双向性原则
在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析（或仅对几何问题进行代数分析）在许多时候是很难行得通的。
例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化。
（3）简单性原则
就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取
决于那种方法更为简单•而不是去刻意追求一种流性的模式一一代数问题运用几何方法，几何问题寻找代数方法。
【考点例析】
题型1数轴、韦恩图在集合中的应用
例1.
（1）（2020高考真题浙江理1）设集合A={x|1VxV4}，集合B={x|x-2x-3<0},则AA（CB）
=（）
A.（1,4）B.（3,4）C..（1,3）D.（1,2）U（3,4）
2
解析：
B;B={x|x-2x-3w0}={x|1x3},An（CRB）={x|1VxV
4}{x|x1,或x3}={x|3x4}。
故选B.
点评：
不等式型集合的交、并集通常可以利用数轴进行，解题时注意验证区间端点是否符合题意。
（2）（2020湖南文1）设全集UMUN{1,2,3,4,5},MICdN{2,4},则N（）
A.{1,2,3}B.{1,3,5}C.{1,4,5}D.{2,3,4}
解析:
B;解析：
画出韦恩图，可知
真题重
韦恩图考查集合的概念和集合的关系。
高考
点评:
3
本题主要利用数轴、
）（2020
庆理10）设
占
八、、
（x,y）（y
x）（y1
0,B
2
（x,y）（x1）
（y1）21，则AIB所表示的平面图形的面积为
）
（A）3
4
（B）
4
（C）-
（D）-
1
解析：
D；由（yx）（y-）
x
0yx0
在同一坐标系中做出平面区域如图,
或者i
0y-0
x
由图象可知AB的区域为阴影部分，根据对称性可知，两部分阴影面积之和为圆面积的一半，所以面积
为一，选D.
2
题型2:
函数图像的价值
例2.
（1）（2020高考真题江西理10）如右图，已知正四棱锥SABCD所有棱长都为1,点E是侧
棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SEx（0x1）,截面下面
部分的体积为V（x）,则函数yV（x）的图像大致为（）
2
1
解析：
A；（定性法）当0x-时，随着x的增大，观察图形可知，Vx单调递减，且递减的速度
2
1
越来越快；当-x1时，随着x的增大，观察图形可知，Vx单调递减，且递减的速度越来越慢；再
2
观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.
【点评】对于函数图象的识别问题，若函数yfx的图象对应的解析式不好求时，作为选择题,
没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节
约时间.
1
（2）（2020高考真题山东理12）设函数f（x）丄，g（x）
2
axbx（a,bR,a0），若y
f（x）的图
象与yg（x）图象有且仅有两个不同的公共点
A（%,yi）,B（X2,y2）,则下列判断正确的是（
A.当a
0时,
X1X20,y1y20
B.当a
c•当a
0时，X1X20,y1y20
D.当a
解析:
B;在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当
0时，
x1x2
0,y1y2
0
0时，
X1X2
0,y1y2
0
a
0时，
要想满足条件,
则有如图，做出点
A关于原点的对称点C,则C点坐标为（为，yj，由图象知
Xi
X2,%y2,即X1
X2
0,yi
y20，
x
同理当a0时，则有x-ix20,y（y20，故答案选B.
xix•由
另法：
F（x）x3bx21，则方程F（x）0与f（x）g（x）同解，故其有且仅有两个不同零点
F（x）
2
0得x0或x3b.这样，必须且只须
2
F（0）0或F（-b）0，因为F（0）1，故必有
3
2
F（評0
由此得
b»近.不妨设X|X2，则X2-b
23
32.所以F（x）（xXi）（x32）2，比较系数得
故x1
J2.”
X2
—■'20，由此知y1
2
11X1x2
y2
X1X2X1X2
0,故答案为B.
点评:
数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。
8
2m1
（3）（2020高考真题湖南理8）已知两条直线11:
y=m和|2:
y=（m>0）,|1与函数y|log2X
的图像从左至右相交于点A,B，l2与函数y|log2X的图像从左至右相交于C,D•记线段AC和BD在X
轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，-的最小值为（
a
A.16.2B.
8.2
C.
4,4
解析：
B;在同一坐标系中作出
8
y=my=（m>0）,
2m1
log2x图像如下图,
由Iog2x=m，得X12m,X22
8
Iog2X=k，得
X3
88
2^,X42
2m1
依照题意得a
2m
2m2
Tm\
2m1
8
2m1
1
4
1
1
m-
1m-
2
4-
3,
2
2
2
2
【点评】
解决方程、不等式问题
2
8
2m1
2m1
log2x图像，结合图像可解得.
题型3:
例3.若方程lgx23xm
lg3x在x0，3内有唯一解，求实数m的取值范围。
解析：
（1）原方程可化为
设y1x2210
3，y2
在同一坐标系中画出它们的图象（如图）
。
由原方程在（0,3）内有唯一解，知y1与y2的图象只
有一个公共点，可见m的取值范围是
例4.（2020高考真题浙江理17）设aR,若x>0时均有[（a-1）x—1]（x2-ax-1）>0,则a=
解析：
a■2本题按照一般思路，则可分为一下两种情况：
_（a—1）x—10十*-（a_1）x—10十*
（A）2,无解；（B）2,无解.
x—ax—10x—ax—10
x>0的整个区间上，我们可
因为受到经验的影响，会认为本题可能是错题或者解不出本题•其实在
以将其分成两个区间（为什么是两个？
），在各自的区间内恒正或恒负.（如下答图）
我们知道：
函数yi=（a—1）x—1,y2=x2—ax—1都过定点P（0,1）.
1
考查函数y1=（a—1）x—1：
令y=0,得M（,0），还可分析得：
a>1；
a1
2
考查函数y2=x2—ax—1：
显然过点M」,0），代入得：
—a10，解之得：
a2,
a1a1a1
舍去a2，得答案：
a2.
点评：
数形结合的思想方法，是研究数学问题的一个基本方法。
深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。
题型4:
解决三角函数、平面向量问题
例5.
（1）（2020高考真题江西理7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD
的中点，则
|pa|2|pb|2
|pc2
A.2B.4C.5D.10
解析：
D；将直角三角形放入直角坐标系中，如图，设A（a,0）,B（0,b）,a,b0,则D（a-）,P（空b）,
2‘24‘4
所以pc2（旦）2
4
2
a
16
b
16，
|PB|2
（^）2（b
b）2
a
9b
16
4
16
|PA2
，亘
a）2
（4）2
9a2
£
4
4
16
16
所以PA
2
PB|2
2a
9b2
9a2
1心二）10PC2,所以1PA2」PB
b2a2b2
161616
|PC2
2
10，选D.
（2）（2020年陕西
15）如图，平面内有三个向量OA、OB、OC,其中OA与0B的夹角为120°,OA
与OC的夹角为30°,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23，若OC=XOA+
口Ob（入，口€R）,则入+口的值为。
解析：
（1）考查三角函数的计算、解析化应用意识。
解法1:
约定AB=6,AC=BC=32,由余弦定理CE=CF=10,再由余弦定理得cosECF-，解得
5
tanECF3
4
解法2:
坐标化。
约定AB=6,AC=BC=3,2,F（1,0）,E（-1,0）,C（0,3）
43
利用向量的夹角公式得：
cosECF—,解得tanECF—。
54
（2）6;解析：
（OC）2=（XOA+口OB）2=X2OA+口2OB+2入口
OAOB=12;注意OA与OC的夹角为30°,OA与OB的夹角为120°,
结合图形容易得到OB与OC的夹角为90°,得口=0;这样就得到答案。
点评：
综合近几年的高考命题，平面向量单纯只靠运算解题是不够的，需要结合几何特征。
ULIVUUV
例6.（2020全国卷1文数）已知圆O的半径为1,PAPB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA?
PB
的最小值为（）
A.4,2B.3.2C.42.2D.
答案：
D;
【解析1】如图所示：
设PA=PB=X（X0）,/APO=
APB=2，PO=.1x2，sin
UUVUUVULUV
PA?
PB|PA|
UUV
|PB|cos2
=x2（12sin2
422
X（1y）xy0，由x是实数，所以
2/242
X（x1）XX
2=~2
X1X
LUVUUV，令PA?
PB1
42
xx
则y2，即
x1
2cos
—
22
212sin
・2
2
sin
2
1sin2-
12sin2-
2
2
换元
.2sin-
xsin2,0x1
2
2
uuuuv1x12x
2x-3223
x
22
xy-设A（Xi,yi）,B（Xi,yi）,P（Xo,O）,
uuuuvPA?
PB
x
X。
，％xx0,y1
2
AO
PA
X1,Y1
XX）,y
0
uuv
iuv
PA?
PB
2
%2x1x0
22
X。
*
2
X1
【解析3】建系：
园的方程为
x2
X1X0y：
0
x^1
2x2
1x22x：
x23223
c22
2xixoXoy-
[（1
uuuuv
（PA?
PB）min
y）]2
41（y）
0,y26y1
0,
解得y
32「2或y32「2.故
3
22.此时x
、、21.
uuvuuv
2
【解析2】
设
APB,0
PA?
PB
PA
PBcos
1/tancos
2
点评：
本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法一一判别式法，同
时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力
题型5:
解析几何问题
例7.
（1）（2O2O高考真题山东理5）已知变量
X
2y
2
x,y满足约束条件2x
y
4，则目标函数
4x
y
1
z3xy的取值范围是（）
333
（A）[—,6]（B）[-,1]（C[1,6]（D）[6,—]
222
解析：
A；做出不等式所表示的区域如图，由z3xy得y3xz，平移直线y3x，由图象可
知当直线经过点E（2,0）时，直线y
3x
z的截距最小，此时
z最大为z
3xy
6，当直线经过C点
时，直线截距最大，此时z最小，由
4x
2x
y1，解得x
y4
y
1
2，此时z
3
3xy
33
-3—,所以
22
z3xy的取值范围是［3,6］，选A.
2
（2）（2020江苏14）设集合A{（x,y）|m（x2）2y2m2,x,yR}
2
B{（x,y）|2mxy2m1,x,yR},若AB,贝U实数m的取值范围是
解析:
（数形结合）当m
0时，集合
A是以
（2,
行线之间，
22m1
Qm
（1.2）m
J
0,
2
以（2,
0）为圆心，以
■m和m
为半径的1
0）为圆心，以|m为半径的圆，集合B是在两条平
因为AB，此时无解；当m0时，集合A是
I环，集合B是在两条平行线之间，必有
22m
2
22m|
2
例8.
（1）（2020高考真题陕西理
l时，拱顶离水面2米，水面
宽4米，水位下降1米后，水面宽
13）右图是抛物线形拱桥，当水面在
21.又因为mm2,1m一21。
22
点评：
线性规划是借助平面区域表示直线、不等式等代数表达式，最终借助图形的性质解决问题；对于直线与圆的位置关系以及一些相关的夹角、弦长问题，往往要转化为点到线的距离问题来解决。
A的坐标为（2,-2）.设抛物线
解析：
26;设水面与桥的一个交点为A,如图建立直角坐标系则,
方程为x22py，带入点A得p1，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为（X。
，3），则
x0223,x。
6，所以水面宽度为2.6.
（2）【2020高考真题湖北理】（本小题满分13分）
设A是单位圆x2y21上的任意一点，I是过点A与x轴垂直的直线，D是直线I与x轴的交点，点
M在直线I上，且满足|DM|m|DA|（m0,且m1）.当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C.
（I）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；
（H）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P,Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N,
直线QN交曲线C于另一点H•是否存在m，使得对任意的k0,都有PQPH?
若存在,求m的值；若不存在，请说明理由•
【答案】（I）如图1,设M（x,y）,A（xo,y°），则由|DM|m|DA|（m0,且m1）,
1
可得xXo,|y|m|yo|，所以xox,|yo||y|.①
m
因为A点在单位圆上运动，所以x/y021.②
2
将①式代入②式即得所求曲线C的方程为x2爲1（m0,且m1）.
m
因为m（0,1）U（1,），所以
当0m1时，曲线C是焦点在x轴上的椭圆，
两焦点坐标分别为（—,0）,（—m
升级会员 