不是 ,原因:
右边不是x的一次式 .
2.问题②中,设增加x人,此时,共有 15+x 个装配工,每人每天可少装配 10x 个玩具,因此每人每天只装配 190-10x 个玩具,所以,增加人数后,每天装配玩具总数y可表示为 y=〔190-10x〕〔15+x〕 .
这个函数是一次函数吗?
不是 ,原因:
右边不是x的一次式 .
知识模块二 在实际问题中列二次函数的解析式
【例题】列出以下函数的关系式.
〔1〕一个圆柱的高等于底面半径的2倍,那么它的外表积S与底面半径r之间的关系式为 S=6πr2 .
〔2〕某工厂一种产品如今年产量是20件,方案今后两年增加产量,假如每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随方案所定的x的值而确定,y与x之间的关系应怎样表示?
y=20〔1+x〕2 .
学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
续表
探究新知
合作探究
合作探究
1.讨论
小组讨论自学指导中出现疑问的地方.
2.让学生归纳上面两个函数解析式具有哪些共同特征?
3.考虑:
解决列函数关系式这一类题的步骤.
老师指导
1.易错点:
二次函数是自变量的多项式,自变量的最高次数都是2,二次项系数不为0.
2.归纳小结:
一般地,表达式形如 y=ax2+bx+c 〔a,b,c是常数,且a≠0〕的函数叫做x的二次函数,其中x是自变量,a为 二次项系数 ,b为 一次项系数 ,c为 常数项 .
3.方法规律:
〔1〕二次函数必须满足三个条件:
①函数解析式必须是整式;②化简后自变量的最高次数必须是2;③二次项系数不为0.
〔2〕解决列函数关系式这一类题的步骤:
①审清题意,②找等量关系,③列函数关系式.
当堂训练
1.函数y=-2x2+3x-1的二次项系数、一次项系数、常数项依次是〔 〕
〔A〕-2,3,1〔B〕-2,3,-1〔C〕2,3,1〔D〕2,3,-1
2.将一根长为20cm的铁丝弯成一个矩形框架,设矩形的一边长为xcm,面积为ycm2,那么y与x之间的函数关系式为 ,其中自变量x的取值范围是 .
3.某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,那么该厂今年三月份新产品的研发资金y〔元〕关于x的函数关系式为 .
板书设计
21.1 二次函数
知识模块一 二次函数的概念
知识模块二 在实际问题中列二次函数的解析式
教学反思
课题
21.2 二次函数的图象和性质
课时
第1课时
上课时间
教学目的
1.知识与技能
可以利用描点法作出y=ax2的图象,并能根据图象认识和理解y=ax2的图象和性质.
2.过程与方法
经历画二次函数y=ax2的图象和探究性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经历.
3.情感、态度与价值观
经历、探究二次函数y=ax2图象性质的过程,培养观察、考虑、归纳的良好思维习惯.
教学
重难点
重点:
会画y=ax2的图象,理解其性质.
难点:
结合图象理解抛物线开口方向,对称轴,顶点坐标及根本性质.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
旧知回忆:
〔1〕一次函数y=kx+b〔k≠0〕其图象是 一条经过〔0,b〕的直线 .
特别地,正比例函数y=kx〔k≠0〕其图象是 过原点的直线 .
〔2〕描点法画出一次函数的步骤,分为 列表 , 描点 , 连线 三个步骤.
〔3〕我们把形如 y=ax2+bx+c〔a≠0〕 的函数叫做二次函数.
探究新知
合作探究
自学指导
探究二次函数y=ax2图象性质
阅读教材P5~6页的内容,答复以下问题:
1.在画二次函数y=x2的图象时,自变量取了多少个值?
经历了多少步?
自变量取了7个值,经历了3步,分别是列表、描点、连线.
2.二次函数y=x2的图象是一条抛物线,它的对称轴是 y 轴,顶点〔最低点〕是 〔0,0〕 ,在对称轴的左侧,抛物线从左到右 下降 ,在对称轴的右侧,抛物线从左到右 上升 ,也就是说,当x<0时,y随x的增大而 减小 ;当x>0时,y随x的增大而 增大 .
3.观察y=
x2,y=2x2的图象,答复它们的开口方向,对称轴和顶点坐标.
4.根据函数y=
x2,y=2x2图象特点,总结y=ax2〔a>0〕的性质:
最高或最低点,图象何时上升、下降.
5.观察y=-
x2,y=-2x2的图象,指出它们与y=
x2,y=2x2图象的不同之处.
6.〔1〕a>0与a<0时,函数y=ax2图象有什么不同?
〔2〕|a|大小对开口大小有什么影响?
学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
续表
探究新知
合作探究
合作探究
1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞.
老师指导
1.易错点:
y=ax2图象的两端是无限伸展的,画的时候要“出头〞,a的绝对值越大,抛物线的开口越小.
2.归纳小结:
a的符号
开口方向
顶点坐标
对称轴
性质
a>0
向上
〔0,0〕
y轴
x>0时,y随x的增大而 ;x<0时,y随x的增大而 ;x=0时,y有 0
a<0
向下
〔0,0〕
y轴
x>0时,y随x的增大而 ;x<0时,y随x的增大而 ;x=0时,y有 0
3.方法规律:
解决二次函数y=ax2的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑.
当堂训练
1.假设〔-5,2〕在抛物线y=ax2上,那么以下各点一定也在该抛物线上的是〔 〕
〔A〕〔5,2〕〔B〕〔-2,-5〕
〔C〕〔-5,-2〕〔D〕〔0,2〕
2.函数y=5x2的图象开口向 ,顶点是 ,对称轴是 ,当x 时,y随x的增大而增大.
板书设计
第1课时 二次函数y=ax2的图象和性质
探究二次函数y=ax2图象性质
归纳性质
教学反思
课题
21.2 二次函数的图象和性质
课时
第2课时
上课时间
教学目的
1.知识与技能
会用描点法画出二次函数y=ax2+k的图象.
2.过程与方法
经历画二次函数y=ax2+k的图象和探究性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经历,体会数形结合的思想方法.
3.情感、态度与价值观
经历、探究二次函数y=ax2+k图象性质的过程,培养观察、考虑、归纳的良好思维习惯.
教学
重难点
重点:
二次函数y=ax2+k的图象和性质.
难点:
函数y=ax2+k与y=ax2的互相关系.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
旧知回忆:
1.画函数图象利用描点法,其步骤为 列表 、 描点 、 连线 .
2.二次函数y=ax2〔a≠0〕的图象是一条 抛物线 ,a>0时,它的开口向 上 ,对称轴是 y轴 ,顶点坐标是 原点〔0,0〕 ;在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 ;当x=0时,y取最 小 值.a<0时有什么变化呢?
探究新知
合作探究
自学指导
知识模块一 二次函数y=ax2+k的图象
阅读教材P11~12,完成下面内容:
画出y=2x2+1,y=2x2-1图象,根据图象答复以下问题:
〔1〕抛物线y=2x2+1,y=2x2-1开口方向 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点坐标分别为 〔0,1〕,〔0,-1〕 .
〔2〕抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与y=2x2之间有什么关系?
答:
可以发现y=2x2+1是由y=2x2向上平移一个单位长度得到的,而y=2x2-1是由y=2x2向下平移1个单位长度得到的.
知识模块二 二次函数y=ax2+k的性质
继续观察知识模块一中y=2x2+1,y=2x2-1图象,说说它们的增减性.
答:
两个图象都是当x<0时,y随x的增大而减小;当x>0时,y随x的增大而增大.
学生看书,老师巡视,催促每一位学生认真自学,鼓励学生质疑问难.
续表
探究新知
合作探究
合作探究
1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞.
老师指导
1.易错点:
抛物线y=ax2与y=ax2+k平移规律,运用y=ax2+k的性质时要注意数形结合思想.
2.归纳小结:
〔1〕抛物线y=ax2+k的图象
①抛物线y=ax2+k的图象,当a>0时,开口方向 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点坐标是 〔0,k〕 .
②抛物线y=ax2沿着y轴上下平移可以得到y=ax2+k,当k>0时,y=ax2 向上 平移 k 个单位就可以得到抛物线y=ax2+k;当k<0时,抛物线y=ax2 向下 平移 k 个单位就可以得到抛物线y=ax2+k.
〔2〕二次函数y=ax2+k的图象和性质
①开口方向:
当a>0时,开口 向上 ,当a<0时,开口 向下 .
②对称轴:
y轴 .
③顶点坐标:
〔0,k〕 .
④增减性:
当a>0时,在对称轴左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴右侧,y随x的增大而 增大 ;当a<0时,在对称轴左侧,y随x的增大而 增大 ,在对称轴右侧,y随x的增大而 减小 .
⑤最值:
当a>0时,抛物线有 最低 点,当x=0时,y有最小值是 k ;当a<0时,抛物线有 最高 点,当x=0时,y有最大值是 k .
3.方法规律:
解决二次函数y=ax2+k的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑.
当堂训练
1.抛物线y=-2x2+8的开口 ,对称轴为 ,顶点坐标是 ;当x 时,y有最 值为 ;当x<0时,函数值随x的增大而 ;当x>0时,函数值随x的增大而 .
2.将抛物线y=x2+1向下平移2个单位,得到抛物线解析式为 .
3.二次函数y=〔a-2〕x2+a2-2的最高点是〔0,2〕,那么a的值为 .
4.抛物线y=ax2+c与y=-3x2-2的图象关于x轴对称,那么a= ,c= .
板书设计
第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质
探究二次函数y=ax2+k的图象
归纳二次函数y=ax2+k的性质
教学反思
课题
21.2 二次函数的图象和性质
课时
第3课时
上课时间
教学目的
1.知识与技能
使学生能利用描点法画出二次函数y=a〔x+h〕2的图象.
2.过程与方法
让学生经历二次函数y=a〔x+h〕2性质探究的过程,理解函数y=a〔x+h〕2的性质,理解二次函数y=a〔x+h〕2的图象与二次函数y=ax2的图象的关系.
3.情感、态度与价值观
经历、探究二次函数y=a〔x+h〕2图象性质的过程,培养观察、考虑、归纳的良好思维习惯.
教学
重难点
重点:
掌握二次函数y=a〔x+h〕2的图象和性质.
难点:
二次函数y=a〔x+h〕2的图象和性质的运用.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
旧知回忆:
1.y=ax2+k是由y=ax2平移 |k| 个单位得到.
2.二次函数y=x2+5的图象是一条 抛物线 ,它的开口向 上 ,对称轴是 y 轴,顶点坐标是 〔0,5〕 ;在对称轴的左侧,y随x的增大而 减小 ,在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大 ;当x= 0 时,y取最 小 值.
探究新知
合作探究
自学指导
知识模块 二次函数y=a〔x+h〕2的图象与性质
阅读教材P14~15,考虑并填写课本中的问题,然后完成以下问题:
抛物线y=〔x-1〕2和y=〔x+1〕2与y=x2之间有什么关系?
【例1】抛物线y=
〔x-2〕2的开口向 上 ,对称轴是 直线x=2 ,顶点坐标是 〔2,0〕 ,当x <2 时,y随x的增大而减小;当x =2 时,函数y获得最 小 值,值为 0 .
【例2】假如将抛物线y=3x2向右平移1个单位,那么所得的抛物线的表达式是〔 C 〕
〔A〕y=3x2-1〔B〕y=3x2+1
〔C〕y=3〔x-1〕2〔D〕y=3〔x+1〕2
合作探究
1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞.
续表
探究新知
合作探究
老师指导
1.易错点:
对于二次函数的图象,只要|a|相等,那么它们的形状一样,只是开口方向不同,且|a|越大,开口越小.
2.归纳小结:
〔1〕二次函数y=a〔x+h〕2〔a≠0〕的图象性质:
开口方向:
a>0时,开口向 上 ,a<0时,开口向 下 ,顶点 〔-h,0〕 ,对称轴 x=-h .最值:
a>0时,有 最小值y=0 .当a<0时,有 最大值y=0 .增减性:
a>0且x>-h时,y随x的增大而 增大 ;x<-h时,y随x的增大而减小;a<0且x>-h时,y随x的增大而 减小 ,x<-h时,y随x的增大而 增大 .
〔2〕y=ax2和y=a〔x+h〕2的图象有如下关系:
y=ax2
y=a〔x+h〕2.
3.方法规律:
〔1〕解决二次函数y=a〔x+h〕2〔a≠0〕的性质的问题要熟记性质,同时注意多运用数形结合的思想方法来考虑.
〔2〕由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a〔x+h〕2的图象,左右平移的规律是〔四字口诀〕左加右减.
当堂训练
1.抛物线y=
〔x-2〕2的开口向 ,顶点为 ,对称轴是 ,当 时,y随x增大而减小;当x= 时,y有最 值为 .
2.抛物线y=2x2.假设抛物线不动,把y轴向右平移3个单位,那么在新坐标系下抛物线解析式为 .
3.抛物线y=3〔x-1〕2图象上有A〔-1,y1〕,B〔
y2〕,C〔2,y3〕三点.那么y1,y2,y3大小关系为 .
板书设计
第3课时 二次函数y=a〔x+h〕2的图象和性质
探究二次函数y=a〔x+h〕2的图象
归纳二次函数y=a〔x+h〕2的性质
教学反思
课题
21.2 二次函数的图象和性质
课时
第4课时
上课时间
教学目的
1.知识与技能
使学生理解函数y=a〔x+h〕2+k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系.会确定函数y=a〔x+h〕2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.
2.过程与方法
让学生经历函数y=a〔x+h〕2+k性质的探究过程,理解函数y=a〔x+h〕2+k的性质.
3.情感、态度与价值观
经历、探究二次函数y=a〔x+h〕2+k图象性质的过程,培养观察、考虑、归纳的良好思维习惯.
教学
重难点
重点:
二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质.
难点:
运用二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质解决简单的实际问题.
教学活动设计
二次设计
课堂导入
1.填空:
函数
开口方向
对称轴
顶点坐标
最值
y=3x2
向上
y轴或x=0
〔0,0〕
最小值0
y=-2x2+3
向下
y轴或x=0
〔0,3〕
最大值3
y=x2-4
向上
y轴或x=0
〔0,-4〕
最小值-4
y=0.6〔x-5〕2
向上
x=5
〔5,0〕
最小值0
y=-3〔x+1〕2
向下
x=-1
〔-1,0〕
最大值0
2.函数y=
x2+1的图象由y=
x2向 上 平移 1个 单位得到;函数y=
〔x-2〕2的图象由y=
x2向 右 平移 两个 单位得到.
探究新知
合作探究
自学指导
知识模块一 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与y=ax2之间的关系
阅读教材P16~17,完成下面内容:
1.在同一直角坐标系中,画出以下函数y=
x2,y=
〔x-2〕2,y=
〔x-2〕2+1的图象.
2.观察它们的图象,答复:
它们的开口方向都向 上 ,对称轴分别为 y轴 、 直线x=2 、 直线x=2 ,顶点坐标分别为 〔0,0〕 、 〔2,0〕 、 〔2,1〕 .请同学们完成填空,并观察三个图象之间的关系.
【例题】说出抛物线y=2〔x+1〕2-3的开口方向、对称轴和顶点坐标,并指出它是由抛物线y=2x2通过怎样的平移得到的.
知识模块二 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质
1.〔1〕a>0,开口向 上 ;a<0,开口向 下 ;
〔2〕对称轴是x= -h ;〔3〕顶点坐标是 〔-h,k〕 .
2.从二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象可以看出:
假如a>0,当x<-h时,y随x的增大而 减小 ,当x>-h时,y随x的增大而 增大 ;假如a<0,当x<-h时,y随x的增大而 增大 ,当x>-h时,y随x的增大而 减小 .
续表
探究新知
合作探究
合作探究
1.将阅读教材时“生成的问题〞和通过“自学指导〞得出的“结论〞展示在各小组的小黑板上.并将疑难问题也板演到黑板上,再一次通过小组间就上述疑难问题互相释疑.
2.各小组由组长统一分配展示任务,由代表将“问题和结论〞展示在黑板上,通过交流“生成新知〞.
老师指导
1.易错点:
抛物线的增减性根据函数图象运用数形结合思想;二次函数的平移问题用到的知识点为:
二次函数的平移不改变二次项的系数;关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标,左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点.
2.归纳小结:
一般地,抛物线y=a〔x+h〕2+k与y=ax2形状 一样 ,位置 不同 ,把抛物线y=ax2向上〔下〕向左〔右〕平移,可以得到抛物线y=a〔x+h〕2+k.平移的方向、间隔要根据 h、k 的值决定.
二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质
〔1〕①a>0,开口向 上 ;a<0,开口向 下 ;
②对称轴是x= -h ;
③顶点坐标是 〔-h,k〕 .
〔2〕从二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象可以看出:
假如a>0,当x<-h时,y随x的增大而 减小 ,当x>-h时,y随x的增大而 增大 ;假如a<0,当x<-h时,y随x的增大而 增大 ,当x>-h时,y随x的增大而 减小 .
3.方法规律:
由抛物线y=ax2的图象通过平移得到y=a〔x+h〕2+k的图象,平移的规律是左加右减,上加下减.
当堂训练
1.将抛物线y=-8x2先向左平移2个单位,再向下平移4个单位后,得到抛物线的解析式为 .
2.抛物线y=-9〔x+2〕2-5的开口方向是 ,对称轴是 ,当x= 时,y有最 值 ,当 时,y随x的增大而增大,当 时,y随x的增大而减小.
3.假设一抛物线形状与y=2x2+7x一样,顶点坐标是〔4,-2〕,那么其解析式为 .
板书设计
第4课时 二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象和性质
二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与y=ax2之间的关系
二次函数y=a〔x+h〕2+k的图象与性质
教学反思
课题
21.2 二次函数的图象和性质
课时
第5课时
上课时间
教学目的
1.知识与技能
〔1〕掌握用描点法画出函数y=ax2+bx+c的图象.
〔2〕掌握
升级会员 