第六讲 三角平分线 3.docx

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第六讲三角平分线3

新思维教育八年级培优班讲义

第六讲：

第十二章　全等三角形（四）角平分线的性质定理和判定

【教学目标】

知识与技能：

掌握角的平分线的性质定理和判定定理的内容、证明及应用

过程与方法。

实践操作：

尝试探究角的平分线的性质定理与判定定理

情感、态度与价值观;

1、渗透角平分线是满足特定条件的点的集合的思想

2、培养学生积极探索、大胆猜想的创新意识与求证精神

重点和难点

重点：

角平分线的性质定理和判定定理的应用

难点：

性质定理和判定定理的区别和灵活运用

【知识归纳】

1、角平分线：

把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；

2、角平分线的性质定理：

角平分线上的点到角的两边的距离相等：

①平分线上的点；②点到边的距离；

3、角平分线的判定定理：

到角的两边的距离相等的点在角平分线上。

4.注意在证明中用到这两个定理，如何把文字叙述转化成数学符号：

例：

如图

怎么运用角的平分线的性质定理：

∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，

∴PD=PE

怎么运用角的平分线的判定定理：

∵PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE

∴点P在∠AOB的平分线上

自我评测：

知识点

掌握情况

备注

非常好

一般

有待提高

角平分线的定义

角平分线的性质定理

角平分线的判定定理

角平分线的作图

【教学过程】

例1.已知：

在等腰Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，AB=15cm，

（1）求证：

BD+DE=AC．

（2）求△DBE的周长．

分析：

（1）因为AC=BC=BD+CD，只要证明CD=DE即可，又因为AD平分∠BAC，则CD=DE；

（2）由

（1）可知AC=BD+DE，由CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，可证△ACD≌△AED，则AC=AE，所以BD+DE+BE=AC+BE=AE+BE=AB．

证明：

（1）∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C=90°，

∴CD=DE，

∴BC=BD+CD=BD+DE，

∵AC=BC，

∴AC=BD+DE；

（2）∵CD=DE，AD=AD，∠C=∠AED=90°，

∴△ACD≌△AED，

∴AC=AE，

∵AC=BD+DE，

∴BD+DE=AE，

∴△BDE周长=BD+DE+BE=AE+BE=AB=15cm．

例2.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE=CF．

求证：

AD是△ABC的角平分线．

分析：

首先可证明Rt△BDE≌Rt△DCF（HL）再根据三角形角平分线的逆定理求得AD是角平分线即可．

证明：

∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴Rt△BDE和Rt△DCF是直角三角形．

∵

∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），

∴DE=DF，

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴AD是角平分线．

例3、已知：

如图所示，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC。

求证：

OB=OC．

证明：

∵AO平分∠BAC

∴OE=OD

∵CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，

∴△AOD、△AOE、△AEB、△ADC都是直角三角形。

在Rt△AOD与Rt△AOE中

∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），

∴AE=AD

在Rt△AEB与Rt△ADC中

∴△BDE≌△DCF（ASA）

∴CD=BE

∴CD-DO=BE-EO

即OB=OC

【变式1】如图所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．

（1）若BC＝8，BD＝5，则点D到AB的距离是__________．

（2）若BD∶DC＝3∶2，点D到AB的距离为6，则BC的长为__________．

例2、BD=CD，BF垂直AC于F，CE垂直AB于E，求证：

点D在∠BAC的角平分线上

证明：

∵BF垂直AC于F，CE垂直AB于E

∴∠CFD=∠BED=∠AFD=∠AED=90°

∴△ADF、△ADE都是直角三角形。

在△CFD与R△BED中

∴△CFD≌△BED（ASA）

DF=DE

在Rt△AFD与Rt△AED中

∴Rt△AFD≌Rt△AED（HL），

∴∠DFA=∠DEA

∴点D在∠BAC的角平分线上

【变式1】如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D，E，BE，CD相交于Ｏ，ＯＢ＝ＯＣ。

求证∠１＝∠２．

例3、已知：

如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．

（1）若连接AM，则AM是否平分∠BAD？

请你证明你的结论；

（2）线段DM与AM有怎样的位置关系？

请说明理由．

解：

（1）AM平分∠BAD。

（2）DM与AM垂直。

作ME垂直AD于E,

∵DM平分∠ADC

∴∠1=∠2；CM=EM

∵M是BC的中点，

∴CM=BM,

∴EM=BM,

∵ME垂直AD于E

∴∠DEM=∠B=∠C=90°

∴∠DME=∠CMD

在Rt△MEA与Rt△MBA中

∴Rt△MEA≌Rt△MBA（HL），

∴∠3=∠4,∠EMA=∠BMA

∴AM平分∠BAD

∠EMA+∠DME=（∠EMA+∠DME+∠BMA+∠DMC）÷2=1800÷2=900

即：

DM与AM垂直。

【变式1】四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB,BE平分∠ABC，点E恰在DC上，∠C=∠D=90°。

（1）求证：

AE⊥BE

（2）猜想AB、AD、BC之间有何数量关系？

请证明你的结论。

例4.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．

解：

作DF垂直BC于点F，

∵BD为∠ABC的平分线，

∴DE=DF=2

∴△DBC的面积是2×6÷2=6cm2

∴△ADB的面积是2×9÷2=9cm2

∴△ABC的面积是6+9=15cm2

【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．

求证：

AD平分∠BAC．

例5.如图，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到公路距离为5cm．

（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1：

10 000，用尺规作图）．

（2）求出仓库G到铁路的实际距离。

【变式1】如图，直线

表示三条互相交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到

三条公路的距离相等，试问：

（1）可选择的地点有几处？

（2）你能画出塔台的位置吗？

易错题：

一、忽视“垂直”条件

例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。

求证：

AF为∠BAC的平分线。

错误解法：

正确解法：

∵CE⊥AB,BD⊥AC（已知）

∴∠CDF=∠BEF=90°

∵∠DFC=∠BFE（对顶角相等），BF=CF（已知）

∴△DFC≌△EFB（S.S.A.）

∴DF=EF（全等三角形对应边相等）

∵FE⊥AB,FD⊥AC（已知）

∴点F在∠BAC的平分线上（到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）

即AF为∠BAC的平分线

错因：

在应用角平分线定理及逆定理时遗漏了“垂直”的条件。

小结：

（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。

（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。

常用方法有：

使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。

（3）注意：

许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．

趣味天地：

漂亮的问问题方法？

　　有甲、乙两人，其中，甲只说假话，而不说真话；乙则是只说真话，不说假话。

但是，他们两个人在回答别人的问题时，只通过点头与摇头来表示，不讲话。

有一天，一个人面对两条路：

A与B，其中一条路是通向京城的，而另一条路是通向一个小村庄的。

这时，他面前站着甲与乙两人，但他不知道此人是甲还是乙，也不知道“点头”是表示“是”还是表示“否”。

现在，他必须问一个问题，才可能断定出哪条路通向京城。

那么，这个问题应该怎样问？

何去何从——走哪条路？

　　有一个外地人路过一个小镇，此时天色已晚，于是他便去投宿。

当他来到一个十字路口时，他知道肯定有一条路是通向宾馆的，可是路口却没有任何标记，只有三个小木牌。

第一个木牌上写着：

这条路上有宾馆。

第二个木牌上写着：

这条路上没有宾馆。

第三个木牌上写着：

那两个木牌有一个写的是事实，另一个是假的。

相信我，我的话不会有错。

假设你是这个投宿的人，按照第三个木牌的话为依据，你觉得你会找到宾馆吗？

如果可以，那条路上有宾馆哪条路上有宾馆？

课后作业：

一、选择题

1．三角形中到三边距离相等的点是（　　）

A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点　

C、三条中线的交点　D、三条角平分线的交点

2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E，若AB＝12cm，则△DBE的周长为（）

A、12cm　　　　B、10cm　　　　　C、14cm　　　　D、11cm

3．如图所示，已知PA、PC分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的关系是（）

A.PM＞PN　　　B.PM＝PN　　　C.PM＜PN　　　D.无法确定

第2题第3题第4题

4．如图所示，△ABC中，AB=AC，AD是∠A的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，下面给出四个结论，其中正确的结论有（）

①AD平分∠EDF；②AE=AF；③AD上的点到B、C两点的距离相等

④到AE、AF距离相等的点，到DE、DF的距离也相等

A、1个B、2个C、3个D、4个

二、填空题

1．如图，已知

平分

，

平分

，

，且过点

，若

，

，则

的周长是___________________

第1题第2题第3题

2．如图，在△ABC中，∠C=900，AD平分∠CAB，BC＝8cm，BD＝5cm，那么D点到直线AB的距离是cm．

3．如图所示：

⑴若∠BAD＝∠CAD，且BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，则BD＝CD，⑵若BD⊥AB于B，DC⊥AC于C，且BD＝CD，则∠BAD＝∠CAD，试利用上述知识，解决下面的问题：

三条公路两两相交于A、B、C三点，现计划修建一个商品超市，要求这个超市到三条公路距离相等，问可供选择的地方有处．

三、细心做一做，你会成功

1．已知：

AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：

∠B＝∠C.

2．如图，已知在△

中，

，点

是斜边

的中点，

，

交

于

．求证：

平分

．

3．先作图，再证明．

（1）在所给的图形（如图）中完成下列作图（保留作图痕迹）

①作

的平分线

，交

于点

；

②延长

到点

，使

，连结

．

（2）求证：

．

4.如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC，

求证：

∠PCB+∠BAP=180º