层次分析法--多目标决策.pptx

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多目标决策单目标与多目标决策决策的标准根据一个指标来决定，这样的决策称为单目标决策，例如，是否兼并一家公司，决策的依据是这家公司的净资产；是否投资某一个项目，决策的依据是这个项目的投资回报指标；许多决策方法都是建立在单目标决策的基础上的，例如线性规划模型就是，典型的单目标决策模型单目标与多目标决策然而，决策的标准是要考虑多个指标，这样的决策称为多目标决策。

例如，购买家用轿车，就有价格、品牌、动力、经济、安全、舒适等多个目标；挑选住房，也要考虑价格、质量、信誉、售后服务、付款方式等因素。

这些都是多目标决策的例子在多目标决策中，这些指标往往是互相冲突的，即一个方案某个指标比较好，其他指标就比较差。

“又要马儿快，又要马儿不吃草”，就是指两个目标之间不可兼顾。

更进一步，多目标决策中的各个目标的重要性对决策者而言并不是相同的，往往具有不同的重要性。

多目标决策就是要建立全面分析和评估各项指标，从而获得决策者可以接受并认为最理想的备选方案。

多目标决策的线性加权法解决多目标决策问题的一种常用方法是将多目标分解为单目标问题，然后线性加权求和的方法。

例子11.1商品住宅选择问题。

有三套住宅可供选择，选择的目标包括面积、单价、朝向、地段和楼层五个因素。

三套住宅、五个目标的数据如下商品住宅选择的多目标决策问题面积（平方米）单价（元/平方米）朝向地段楼层住宅A2004800南丙四层住宅B1805500西甲七层住宅C1504000东乙三层商品住宅选择的多目标决策问题要在这三套住宅中选择一套最理想的住宅。

这是一个典型的多目标决策问题。

这五个目标有的是数值。

有的是属性，数值的单位也不尽相同。

为了使这五个目标相互之间具有可比性，需要把各目标进行归一化处理，最理想的值为1，最不理想的值为0，将各决策的实际目标值转化为0-1之间的值，如下表所示商品住宅选择的多目标决策问题为了将五个指标转化为一个目标，需要确定各目标对决策者的重要性，即各目标的权重。

然后用相应的权重对各指标的归一化值进行线性加权求和。

根据决策者对五个目标的偏好，设定目标重要性由大到小依次排列为：

单价面积地段朝向楼层。

设五个目标的权重为商品住宅选择的多目标决策问题给出符合以上条件的一组权重值：

单价的权重，面积的权重，地段的权重，朝向的权重，楼层的权重。

将各指标的归一化值乘以目标的权重，计算各套住宅的评价值（如表11.3所示），评价值最高的为最优值。

线性加权法求各方案的评价值面积（平方米）单价（元/平方米）朝向地段楼层评价值目标权重0.250.30.150.20.1A10.410.40.90.69B0.840.1670.410.60.58C0.60.6670.70.710.695A2004800南丙四层B1805500西甲七层C1504000东乙三层商品住宅选择的多目标决策问题根据评价值，选择住宅C是最优方案。

多目标决策的线性加权法简单易行，可操作性好。

线性加权法的不足是各目标的权重完全是主观确定，随意性较大。

而权重的选取对决策结果起着十分关键的作用。

从上表可以看出住宅A和住宅C的评价值相差不大，即使权重选取顺序不变，只要权重的大小稍有变化，决策的结果就可能发生变化。

二、层次分析法简介层次分析法（AnalyticHierarchyProcess，简称AHP）是美国匹兹堡大学教授A.L.Saaty于20世纪70年代提出的一种系统分析方法。

他模仿人的决策思维过程，开发一种综合定性的定量相结合的分析方法，主要解决多因素复杂系统，特别是难以定量描述的社会系统的分析方法。

1977年第一届国际数学建模会议上，Saaty发表了无结构决策问题的建模层次分析理论，开始引起人们注意。

1980年后陆续出版相关的专著和文章，其理论逐步走向成熟，1982年引入我国，天津大学许树柏等发表我国第一篇介绍AHP的论文，此后在我国得到广泛的应用。

1988年专门在天津召开国际AHP学术研讨会，使得在我国得到广泛运用。

12一、建立层次结构模型将将将将所所所所包包包包含含含含的的的的因因因因素素素素分分分分组组组组设设设设层层层层，并并并并标标标标明明明明各各各各层层层层因因因因素素素素之之之之间间间间的的的的关关关关系系系系，如如如如对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。

对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。

对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。

对决策问题，可构造出下图所示的层次结构模型。

目标层目标层目标层目标层AA准则层准则层准则层准则层CC方案层方案层方案层方案层PP目标目标目标目标AA准则准则准则准则CC11准则准则准则准则CC22准则准则准则准则CC33方案方案方案方案PP11方案方案方案方案PP22方案方案方案方案PP33方案方案方案方案PP44方案方案方案方案PP55二、基本思路分解建立确定计算判断实际问题层次结构多个因素诸因素的相对重要性权向量综合决策先分解后综合的系统思想：

首先将所要分析的问题层次化：

根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解成不同的组成因素，按照因素间的相互关系及隶属关系，按不同层次聚集组合，形成一个多层分析结构模型，最终归结为最低层（方案、措施、指标等）相对于最高层（总目标）相对重要程度的权值或相对优劣次序的问题。

决策目标准则1方案1准则m1准则2子准则1方案2子准则2方案mr子准则m2递阶层次结构判别矩阵ZC1C2C3CnC1a11a12a13a1nC21/1/a12a22a23a2nC31/1/a131/1/a23a33a3nCn1/1/a1n1/1/a2n1/1/a3nann三、基本步骤1、建立系统的递阶层次结构建立系统的递阶层次结构（如图如图）（分析系统中各个因素的关系）（分析系统中各个因素的关系）2、构造两两比较构造两两比较判断矩阵判断矩阵（正互反矩阵）（正互反矩阵）（如图如图）（对对同同一一层层次次的的各各元元素素关关于于上上一一层层次次中中某某一一准准则则的的重重要要性性进进行行两两两两比较）比较）3、层次单排序及一致性检验层次单排序及一致性检验（根根据据判判断断矩矩阵阵计计算算被被比比较较元元素素对对于于该该准准则则的的相相对对权权重重，并并做做一一致致性检验性检验）4、层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验（计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序、检验计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序、检验）以例说明目标层O（选择旅游地）P2黄山P1桂林P3北戴河准则层方案层C3居住C1景色C2费用C4饮食C5旅途例.选择旅游地如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.“选择旅游地”思维过程的归纳将决策问题分为3个层次：

目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素，各层元素间的关系用相连的直线表示。

通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。

将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。

层次分析法将定性分析与定量分析结合起来完成以上步骤，给出决策问题的定量结果。

层次分析法的基本步骤成对比较阵和权向量元素之间两两对比，对比采用相对尺度设要比较各准则C1,C2,Cn对目标O的重要性A成对比较阵A是正互反阵要由A确定C1,Cn对O的权向量选择旅游地OC1C2C3C4C5C1111/21/2443333C22211775555C31/41/41/71/7111/21/21/31/3C41/31/31/51/5221111C51/31/31/51/5331111成对比较的不一致情况一致比较不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况成对比较阵和权向量成对比较完全一致的情况满足的正互反阵A称一致阵，如A的秩为1，A的唯一非零特征根为nA的任一列向量是对应于n的特征向量A的归一化特征向量可作为权向量对于不一致（但在允许范围内）的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w，即一致阵性质成对比较阵和权向量2468比较尺度aijSaaty等人提出19尺度aij取值1,2,9及其互反数1,1/2,1/9尺度13579相同稍强强明显强绝对强aij=1,1/2,1/9的重要性与上面相反心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个用13,15,117,1p9p（p=2,3,4,5）,d+0.1d+0.9（d=1,2,3,4）等27种比较尺度对若干实例构造成对比较阵，算出权向量，与实际对比发现，19尺度较优。

便于定性到定量的转化：

成对比较阵和权向量一致性检验对A确定不一致的允许范围已知：

n阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：

n阶正互反阵最大特征根n,且=n时为一致阵定义一致性指标:

CI越大，不一致越严重RI000.580.901.121.241.321.411.451.491.51n1234567891110为衡量CI的大小，引入随机一致性指标RI随机模拟得到aij,形成A，计算CI即得RI。

定义一致性比率CR=CI/RI当CR0.1时，通过一致性检验Saaty的结果如下“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验准则层对目标的成对比较阵最大特征根=5.073权向量（特征向量）w=（0.263,0.475,0.055,0.090,0.110）T一致性指标随机一致性指标RI=1.12（查表）一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160,bii=1，bij=1/bji，i，j=1，2，n因此，对于这样的判断矩阵来说，作n（n-1）/2次两两判断就可以了。

判断过程中的问题1、合理选择咨询对象；（专长及熟悉的领域）2、创造适合于咨询工作的良好环境；（介绍AHP方法，提供信息，独立思考）3、正确的咨询方法；（通过咨询确定递阶层次结构，设计好表格）4、及时分析专家咨询信息，必要时要进行反馈及多轮次咨询5、专家数量根据实际情况确定，一般为2050位4层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程，称为层次总排序。

这一过程是最高层次到最低层次逐层进行的。

对于最高层下面的第二层，若上一层次A包含m个因素,A1，A2，Am，其层次总排序权值分别为a1，a2，am，下一层次B包含n个元素B1，B2，Bn，它们对于因素Aj的层次单排序权值分别为bj1，bj2，bjn（当Bi与Aj无联系时，bji0），此时B层次总排序权值由下表给出。

层次总排序的一致性检验

（1）

（2）（3）在

（1）式中，CI为层次总排序的一致性指标，CIj为与aj对应的层次中判断矩阵的一致性指标；在

（2）式中，RI为层次总排序的随机一致性指标，RIj为与aj对应的层次中判断矩阵的随机一致性指标；在（3）式中，CR为层次总排序的随机一致性比例。

同样当CR0.10时，我们认为层次总排序的计算结果具有满意的一致性。

37AHP计算的根本问题是计算判断矩阵的最大特征根max及其对应的特征向量W.三种常用的计算方法：

幂法、和积法、方根法幂幂法法：

计算机进行，可得到任意精确：

计算机进行，可得到任意精确度的最大特征根度的最大特征根maxmax及其相应的特征向量及其相应的特征向量WW。

和积法和积法：

近似算法。

：

近似算法。

方根法方根法：

近似算法。

：

近似算法。

计算方法38一.幂法计算步骤如下:

（1）取与判断矩阵B同阶的正规化的初值向量W。

（2）计算（3）令计算计算计算计算（4）（4）（4）（4）给定一个精度给定一个精度给定一个精度给定一个精度,当当当当，对所有，对所有，对所有，对所有成立时停止计算成立时停止计算成立时停止计算成立时停止计算，则，则，则，则就是就是就是就是所需所需所需所需求的特征向量。

求的特征向量。

求的特征向量。

求的特征向量。

（55）计算最大特征值：

）计算最大特征值：

）计算最大特征值：

）计算最大特征值：

39二.和积法例例例例1111用和积法计算下述判断矩阵的最大特征根及其用和积法计算下述判