五年级奥数秋季教材.docx
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五年级奥数秋季教材
四年级秋季
第1讲平均数------------------------
（2）
第2讲等差数列------------------------（7）
第3讲长方形，正方形周长------------------------（13）
第4讲长方形，正方形面积------------------------（20）
第5讲分类数图形------------------------（26）
第6讲尾数和余数------------------------（32）
第7讲一般应用题
（一）-----------------------（37）
第8讲一般应用题
（二）-----------------------（42）
第9讲一般应用题（三）-----------------------（47）
第10讲数阵-----------------------（51）
第11讲最小公倍数和最大公因数-----------------------（59）
第12讲周期问题-----------------------（66）
第13讲盈亏问题-----------------------（72）
第14讲组合图形面积
（一）-----------------------（78）
第15讲组合图形面积
（二）----------------------（85）
第16讲数字趣题-----------------------（92）
第1讲平均数
（一）
一、知识要点
把几个不相等的数，在总数不变的条件下，通过移多补少，使它们完全相等，求得的相等的数就是平均数。
如何灵活运用平均数的数量关系解答一些稍复杂的问题呢？
下面的数量关系必须牢记：
平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量×平均数
二、精讲精练
【例题1】有4箱水果，已知苹果、梨、橘子平均每箱42个，梨、橘子、桃平均每箱36个，苹果和桃平均每箱37个。
一箱苹果多少个？
【思路导航】
（1）1箱苹果＋1箱梨＋1箱橘子=42×3=136（个）；
（2）1箱桃＋1箱梨＋1箱橘子=36×3=108（个）（3）1箱苹果＋1箱桃=37×2=72（个）
由
（1）
（2）两个等式可知：
1箱苹果比1箱桃多126－108=18（个），再根据等式（3）就可以算出：
1箱桃有（74－18）÷2=28（个），1箱苹果有28＋18=46（个）。
1箱苹果和1箱桃共有多少个：
37×2=74（个）
1箱苹果比1箱桃多多少个：
42×3－36=18（个）
1箱苹果有多少个：
28＋18=46（个）
即学即练1：
一次考试，甲、乙、丙三人平均分91分，乙、丙、丁三人平均分89分，甲、丁二人平均分95分。
问：
甲、丁各得多少分？
【例题2】一次数学测验，全班平均分是91.2分，已知女生有21人，平均每人92分；男生平均每人90.5分。
求这个班男生有多少人？
【思路导航】女生每人比全班平均分高92－91.2=0.8（分），而男生每人比全班平均分低91.2－90.5=0.7（分）。
全体女生高出全班平均分0.8×21=16.8（分），应补给每个男生0.7分，16.8里包含有24个0.7，即全班有24个男生。
即学即练2：
两组学生进行跳绳比赛，平均每人跳152下。
甲组有6人，平均每人跳140下，乙组平均每人跳160下。
乙组有多少人？
【例题3】小丽读一本小说，第一天读74页，第二天读82页，第三次读71页，第四天读63页，第五天读的页数比这5天平均每天读的少6页，小丽第五天读了多少页？
【思路导航】前四天平均每天读（74+82+71+63）÷4=72.5（页）。
第五天比5天中平均数读的少6页，平均分给前4天，72.5-6÷4=71（页）就是5天平均数读的页数，第五天读的页数为71-6=65（页）。
列式为：
（74+82+71+63）÷4=72.5（页）
6÷4=1.5（页）
72.5-1.5-6=65（页）
答：
小丽第五天读了65页。
即学即练3
一个技术工带4个普通工人完成了一项工作，每个普通工人各得200元，这位技术工人的收入比他们5人的平均收入还多80元，这位技术工人的多少元？
【例题4】五一班同学数学考试平均成绩91.5分，事后复查发现计算成绩时将一位同学的98分误作89分计算了。
经重新计算，全班的平均成绩是91.7分，五一班有多少名同学？
【思路导航】98分比89分多9分。
多算9分就能使全班平均每人的成绩上升91.7－91.5=0.2（分）。
9里面包含有几个0.2.五一班就有几名同学。
即学即练4：
五
（1）班有40人，期中数学考试，有2名同学去参加体育比赛而缺考，全班平均分为92分。
缺考的两位同学补考均为100分，这次五
（1）班同学期中考试的平均分是多少分？
【例题5】把五个数从小到大排列，其平均数是38。
前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48。
中间一个数是多少？
【思路导航】先求出五个数的和：
38×5=190，再求出前三个数的和：
27×3=81.后三个数的和：
48×3=144。
用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个数就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数。
即学即练5：
甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲、乙的平均年龄是18岁，乙、丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？
课后巩固
1.甲、乙、丙三个小组的同学去植树，甲、乙两组平均每组植树18棵，甲、丙两组平均每组植树17棵，乙、丙两组平均每组植树19棵。
三个小组各植树多少棵？
2.甲、乙、丙、丁四人称体重，乙、丙、丁三人共重120千克，甲、丙、丁三人共重126千克，丙、丁二人的平均体重是40千克。
求四人的平均体重是多少千克？
3.有两块棉田，平均每亩产量是92.5千克，已知一块地是5亩，平均每亩产量是101.5千克；另一块田平均每亩产量是85千克。
这块田是多少亩？
4，把甲级和乙级糖混在一起，平均每千克卖7元，乙知甲级糖有4千克，平均每千克8元；乙级糖有2千克，平均每千克多少元？
5.小雨与五名同学一起参加数学竞赛，那五名同学的成绩分别为79分，82分，90分，85分，84分，小雨的成绩比6人的平均成绩高5分，求小雨得了多少分？
6.某班的一次测验，平均成绩是91.3分。
复查时发现把张静的89分误看作97分计算，经重新计算，该班平均成绩是91.1分。
问全班有多少同学？
7.五个数的平均数是18，把其中一个数改为6后，这五个数的平均数是16。
这个改动的数原来是多少？
2.十名参赛者的平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。
那么第5人和第6人的平均分是多少分？
8.下图中的○内有五个数A、B、C、D、E，□内的数表示与它相连的所有○中的平均数。
求C是多少？
9.期中考试过后，李玲同学语文、数学的平均成绩为91分，语文、英语的平均成绩为88分，数学、英语的平均成绩为93分，李玲三门功课各得多少分？
10，奶糖和水果糖混合起来，成为什锦糖，平均每千克售价9.13元。
已知奶糖有35千克，每千克10.3元．水果糖每千克8.5元，那么有多少千克水果糖？
11.7位同学进行跳绳比赛，平均每人跳148下。
由于记录失误，李强的成绩被错记成121下，因此他们的平均成绩变成145下，问：
李强实际上跳了多少下？
12.几位裁判员为一位体操运动员评分，去掉一个最高分后，平均成绩为8.82分。
如果记入最高分，平均成绩为9.04分。
已知这位运动员的最高分是9.70分，问：
共有几位裁判员？
13.小明一星期看完一本书，平均每天看75页．前3天平均每天看70页，后5天平均每天看78页．他第三天看了多少页？
14.8个数从小到大排成一列，它们的平均数是32．前5个数的平均数是24．后5个数的和是210,中间两个数的平均数是多少？
15，王师傅加工一批零件，前三天共加工97个，第四天加工的零件个数比这四天的平均数多11个，第四天加工多少个？
16甲、乙两地相距288km,一艘客轮从甲地顺水行驶12小时到达乙地，已知船速为每小时20km，问：
客轮从乙地逆水返回甲地时要用多少小时？
17，甲、乙、丙三人共买了9个面包平均分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了4个面包的钱，丙没有带钱，经计算，丙应付4.5元，甲应收回多少钱？
提高检测
有四个数，每次选取其中三个数，算出它们的平均数再加上另一个数，这样计算了四次，得到了下面四个数：
86，92，100，106。
求原来四个数的平均数。
有若干个大于0的自然数，它们的平均数是10．如果去掉最大的一个，余下数平均数为9：
如果去掉最小的一个，余下数的平均数为11．这些数最多有多少个？
其中最大的是多少？
第2讲等差数列
像
（1）1,2,3,4，...
（2）10,20,30，...这种从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列。
这种常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。
在等差数列
中，它的公差是d，那么
由此可见，等差数列从第2项起，每一项都等于第一项加上公差的若干倍，这个倍数等于这项减1的差，所以
。
这个公式我们称它为等差数列的通项公式，利用它可以求出等差数列中的任何一项。
例1求等差数列3,8,13,18，...的第38项和第69项。
分析：
在这个等差数列中，已知
得：
=188=343
即学即练1
求等差数列1,4,7,10,13，...的第20项和第80项。
例236个小学生排成一排玩报数游戏，后一个同学报的数总比前一个同学多报8，已知最后一个同学报的数是286，第一个同学报的数是几？
分析：
由题，同学们报的数是一个等差数列，
，要求
可用公式
推导出：
即学即练2
1.仓库里有一叠编上号的书，共40本，已知每下面一本书都比上面一本书的编号多5，最后一本书的编号是225，问第一本书的编号是几？
2.幼儿园给小朋友发玩具，共32个小朋友，每人一个，每个玩具商都有编号，已知最后一个小朋友玩具上的编号是98，前一个玩具的编号比后一个玩具的编号总少3，问第一个小朋友手上的玩具是多少号？
3.学校举办运动会，共54个人参加，每人都有参赛号码，已知前一个人的号码比后一个人的号码总是少4，最后一个人的号码是215，第一个人的号码是多少？
例3等差数列4,12,20，···中，580是第几项？
【思路导航】在这一等差数列中，已知a1=4，an=580,d=8,求n是多少。
根据公式an=a1+（n-1）xd推导出n=（an-a1）÷d+1
n=（580－4）÷8+1
=72+1
=73
答：
580是第73项。
即学即练3
等差数列3,9,15,21，···中，381是第几项？
糖果生产商为机器编号，依次为7,13,19,25，···，问编号为433的机器是第几个？
例4。
一批货箱，上面的标号是按等差数列排列的，第1项是3.6,第5项是12,求它的第2项。
【思路导航】要求这个等差数列的第2项，我们必须先求出等差数列的公差是多少。
已知a1=3.6,a5=12,n=5,可以得出a1与a5相差12－3.6=8.4,8.4就是（5-1）个公差
d=（12-3.6）÷（5-1）
=8.4÷4
=2.1
a2=3.6+（2-1）×2.1
=3,6+2.1
=5.7
答：
第2项是5.7。
即学即练4.
有一个等差数列的第1项是2.4,第7项是26.4,求它的第5项。
一个等差数列的第1项是1.2，第8项是9.6，求它的第10项。
例5游乐园的智慧梯最高一级宽60㎝，最低一级宽150㎝，中间还有13级，各级的宽度成等差数列，求正中一级的宽。
【思路导航】这个等差数列的项数为15，知道a1=60,an=150,求正中一级的宽，可以直接用（an+a1）÷2即可。
（150+60）÷2=105（㎝）
即学即练5
梯子的最高一级宽30㎝，最低一级宽100㎝，中间还有11级，各级的宽度成等差数列，正中一级宽是多少㎝？
一个等差数列的第一项是4.1，公差是3.1，另外一项是32，求项数。
课后巩固
1.超市工作人员在商品上一次编号，分别为4,8,12,16，...请问第34个商品上标注的是什么数字？
第58个呢?
2.商店中推行打包促销活动，每6个商品为一包。
第一包中每个商品的编号一次是3,6,9,12,15,18；第二包中编号为21,24,27,30,33,36。
一次类推，请问第20包的第3个商品编号为多少？
4.计算1+2+3+…+2012。
5.计算2+3+4+5+…+2588．
6，求首项为5，公差是3的等差数列的前2000项的和．
7.求首项为10，公差为5的等差数列的前5000项的和。
8.计算11+13+15+…+97．92+90+88+…+2。
9.计算2012-2010+2008-2006+...+4-2。
10，计算9000-8997+8994-8991+...+6-3。
11，求所有被2除余数是1的两位数的和。
12，求所有被3除余数是1的三位数的和。
13，有9个朋友聚会，见面时如果每个人和其余的每个人只能握一次手，那么9个人共握多少次手？
14，有lI个足球队员在上场前相互击掌鼓励．如果每个人和其余队员只击次．那么ll个人共击掌多少次？
第3讲长方形、正方形的周长
同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
例1有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
【思路与导航】根据题意，我们可以把每个正方形的边长的一半同时向左、右、上、下平移（如图b），转化成一个大正方形，这个大正方形的周长和原来5个小正方形重叠后的图形的周长相等。
因此，所求周长是18×4=72厘米。
即学即练1，下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
例2一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？
思路导航把截掉的192平方厘米分成A、B、C三块（如图），其中AB的面积是192－4×4=176（平方厘米）。
把A和B移到一起拼成一个宽4厘米的长方形，而此长方形的长就是这块木板剩下部分的周长的一半。
176÷4=44（厘米），现在这块木板的周长是44×2=88（厘米）。
即学即练二
1，有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。
求这个正方形的周长。
例3已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？
【思路导航】从图中可以看出，整个图形的周长由六条线段围成，其中三条横着，三条竖着。
三条横着的线段和是（a＋b）×2，三条竖着的线段和是b×2。
所以，整个图形的周长是（a＋b）×2＋b×2，即2a＋4b。
即学即练三
有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
例4下图是边长为4厘米的正方形，求正方形中阴影部分的周长。
【思路导航】我们把阴影部分周长中左边的5条线段全部平移到左边，其和正好是4厘米。
再把下面的线段全部平移到下面，其和也正好是4厘米。
因此，阴影部分的周长与边长是4厘米的正方形的周长是相等的。
即学即练四
求下面图形的周长（单位：
厘米）。
9
13
例5如下图，阴影部分是正方形，DF=6厘米，AB=9厘米，求最大的长方形的周长。
【思路导航】根据题意可知，最大长方形的宽就是正方形的边长。
因为BC=EF，CF=DE，所以，AB＋BC＋CF=AB＋FE＋ED=9＋6=15（厘米），这正好是最大长方形周长的一半。
因此，最大长方形的周长是（9＋6）×2=30（厘米）。
即学即练五
1，下面三个正方形的面积相等，剪去阴影部分的面积也相等，求原来正方形的周长发生了什么变化？
（单位：
厘米）
课后巩固
1.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。
2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
3.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？
4.一个长12厘米，宽2厘米的长方形和两个正方形正好拼成下图
（1）所示长方形，求所拼长方形的周长。
图
（1）
5.求下面图形（图2）的周长（单位：
厘米）。
图
（2）
6.在（）里填上“＞”、“＜”或“=”。
甲的周长（）乙的周长
7.下面是一个零件的平面图，图中每条短线段都是5厘米，零件长35厘米，高30厘米。
这个零件的周长是多少厘米？
8.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。
求划去的绿化带的面积是多少平方米？
9.下图中的每一小段的长度都相等，求图形的周长。
10.有两个相同的长方形，长7厘米，宽3厘米，如下图重叠着，求重叠图形的周长。
第4讲长方形、正方形的面积
专题简析：
长方形的面积=长×宽，正方形的面积=边长×边长。
掌握并能运用这两个面积公式，就能计算它们的面积。
但是，在平时的学习过程中，我们常常会遇到一些已知条件比较隐蔽、图形比较复杂、不能简单地用公式直接求出面积的题目。
这就需要我们切实掌握有关概念，利用“割补”、“平移”、“旋转”等方法，使复杂的问题转化为普通的求长方形、正方形面积的问题，从而正确解答。
例1已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大40平方厘米。
求大、小正方形的面积各是多少平方厘米？
分析从图中可以看出，大正方形的面积比小正方形的面积大出的40平方厘米，可以分成三部分，其中A和B的面积相等。
因此，用40平方厘米减去阴影部分的面积，再除以2就能得到长方形A和B的面积，再用A或B的面积除以2就是小正方形的边长。
求到了小正方形的边长，计算大、小正方形的面积就非常简单了。
即学即练一
1，有一块长方形草地，长20米，宽15米。
在它的四周向外筑一条宽2米的小路，求小路的面积。
例2一个大长方形被两条平行于它的两条边的线段分成四个较小的长方形，其中三个长方形的面积如下图所求，求第四个长方形的面积。
分析因为AE×CE=6，DE×EB=35，把两个式子相乘AE×CE×DE×EB=35×6，而CE×EB=14，所以AE×DE=35×6÷14=15。
即学即练二
1，下图一个长方形被分成四个小长方形，其中三个长方形的面积分别是24平方厘米、30平方厘米和32平方厘米，求阴影部分的面积。
例3把20分米长的线段分成两段，并且在每一段上作一正方形，已知两个正方形的面积相差40平方分米，大正方形的面积是多少平方分米？
分析我们可以把小正方形移至大正方形里面进行分析。
两个正方形的面积差40平方分米就是图中的A和B两部分，如图。
如果把B移到原来小正方形的上面，不难看出，A和B正好组成一个长方形，此长方形的面积是40平方分米，长20分米，宽是40÷20=2（分米），即大、小两个正方形的边长相差2分米。
因此，大正方形的边长就是（20+2）÷2=11（分米），面积是11×11=121（平方分米）
即学即练三
1，一块正方形，一边划出1.5米，另一边划出10米搞绿化，剩下的面积比原来减少了1350平方米。
这块地原来的面积是多少平方米？
例4有一个正方形ABCD如下图，请把这个正方形的面积扩大1倍，并画出来。
分析由于不知道正方形的边长和面积，所以，也没有办法计算出所画正方形的边长或面积。
我们可以利用两个正方形之间的关系进行分析。
以正方形的四条边为准，分别作出4个等腰直角三角形，如图中虚线部分，显然，虚线表示的正方形的面积就是原正方形面积的2倍。
即学即练四
1，四个完全一样的长方形和一个小正方形组成了一个大正方形，如果大、小正方形的面积分别是49平方米和4平方米，求其中一个长方形的宽。
例5有一个周长是72厘米的长方形，它是由三个大小相等的正方形拼成的。
一个正方形的面积是多少平方厘米？
分析三个同样大小的正方形拼成的长方形，它的周长是原正方形边长的8倍，正方形的边长为72÷8=9（厘米），一个正方形的面积就是9×9=81（平方厘米）。
即学即练五
1.五个同样大小的正方形拼成一个长方形，这个长方形的周长是36厘米，求每个正方形的面积是多少平方厘米？
课后巩固
1.下面一个长方形被分成六个小长方形，其中四个长方形的面积如图所示（单位：
平方厘米），求A和B的面积。
2.下图中阴影部分是边长5厘米的正方形，四块完全一样的长方形的宽是8厘米，求整个图形的面积。
3.正方形的一组对边增加30厘米，另一组对边减少18厘米，结果得到一个与原正方形面积相等的长方形。
原正方形的面积是多少平方厘米？
4.把一个长方形的长增加5分米，宽增加8分米后，得到一个面积比原长方形多181平方分米的正方形。
求这个正方形的边长是多少分米？
5.一个正方形，如果它的边长增加5厘米，那么，面积就比原来增加95平方厘米。
原来正方形的面积是多少平方厘米？
6.有一个正方形草坪，沿草坪四周向外修建一米宽的小路，路面面积是80平方米。
求草坪的面积。
7.正图的每条边都垂直于与它相邻的边，并且28条边的长都相等。
如果此图的周长是56厘米，那么，这个图形的面积是多少？
8.正图中，正方形ABCD的边长4厘米，求长方形EFGD的面积。
9.有一张长方形纸，长12厘米，宽10厘米。
从这张纸上剪下一个最大的正方形后，剩下部分的周长是多少厘米？
10.有一个小长方形，它和一个正方形拼成了一个大长方形ABCD（如下图），已知大长方形的面积是35平方厘米，且周长比原来小长方形的周长多10厘米。
求原来小长方形的面积。
提高题
第5周分类数图形
专题简析：
我们在数数的时候，遵循不重复、不遗漏的原则，不能使数出的结果准确。
但是在数图形的个数的时候，往往就不容易了。
分类数图形的方法能够帮助我们找到图形的规律，从而有秩序、有条理并且正确地数出图形的个数。
例题1下面图形中有多少个正方形？
分析：
图中的正方形的个数可以分类数，如由一个小正方形组成的有6×3=18个，2×2的正方形有5×2=10个，3×3的正方形有4×1=4个。
因此图中共有18＋10＋4=32个正方形。
即学即练一
下图中共有多少个正方形？
例题2下图中共有多少个三角形？
分析为了保证不漏数又不重复，我们可以分类来数三角形，然后再把数出的各类三角形的个数相加。
（1）图中共有6个小三角形；
（2）由两个小三角形组合的三角形有3个；
（3）由三个小三角形组合的三角形有4个；
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