第一章 11 第1课时 多面体的结构特征.docx
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第一章11第1课时多面体的结构特征
第1课时 多面体的结构特征
学习目标
1.认识组成我们的生活世界的各种各样的多面体；2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征；3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．
知识点一 空间几何体的定义、分类及相关概念
思考 观察下面两组物体，你能说出各组物体的共同点吗？
答案
（1）几何体的表面由若干个平面多边形围成．
（2）几何体的表面由平面图形绕其所在平面内的一条定直线旋转而成．
1．空间几何体的定义及分类
（1）定义：
如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空间几何体．
（2）分类：
常见的空间几何体有多面体与旋转体两类．
2．多面体与旋转体
类别
多面体
旋转体
定义
由若干个平面多边形围成的几何体
由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体
图形
相关概念
面：
围成多面体的各个多边形
棱：
相邻两个面的公共边
顶点：
棱与棱的公共点
轴：
形成旋转体所绕的定直线
知识点二 棱柱的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案
（1）有两个面相互平行；
（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两个四边形的公共边都互相平行．
棱柱的定义、分类、图示及其表示
棱柱
图形及表示
定义：
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
如图棱柱可记作：
棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′
相关概念：
底面（底）：
两个互相平行的面
侧面：
其余各面
侧棱：
相邻侧面的公共边
顶点：
侧面与底面的公共顶点
分类：
①依据：
底面多边形的边数
②类例：
三棱柱（底面是三角形）、四棱柱（底面是四边形）……
知识点三 棱锥的结构特征
思考 观察下列多面体，有什么共同特点？
答案
（1）有一个面是多边形；
（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
棱锥的定义、分类、图形及表示
棱锥
图形及表示
定义：
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
相关概念：
棱锥的底面（底）：
多边形面
棱锥的侧面：
有公共顶点的各个三角形面
棱锥的侧棱：
相邻侧面的公共边
棱锥的顶点：
各侧面的公共顶点
分类：
①依据：
底面多边形的边数
②举例：
三棱锥（底面是三角形）、四棱锥（底面是四边形）……
如图棱锥可记作：
棱锥SABCD
知识点四 棱台的结构特征
思考 观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？
答案
（1）区别：
有两个面相互平行．
（2）联系：
用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．棱台
的定义、分类、图形及表示
棱台
图形及表示
定义：
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台
相关概念：
上底面：
原棱锥的截面
下底面：
原棱锥的底面
侧面：
其余各面
侧棱：
相邻侧面的公共边
顶点：
侧面与上（下）底面的公共顶点
分类：
①依据：
由几棱锥截得
②举例：
三棱台（由三棱锥截得）、四棱台（由四棱锥截得）……
如图棱台可记作：
棱台ABCDA′B′C′D′
类型一 棱柱的结构特征
例1 试判断下列说法是否正确：
（1）棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面；
（2）棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形．
解
（1）错误．如长方体中相对侧面互相平行．
（2）正确．由棱柱的定义可知，棱柱的侧棱互相平行且相等，且各侧面都是平行四边形．
反思与感悟 概念辨析题常用方法：
（1）利用常见几何体举反例；
（2）从底面多边形的形状、侧面形状及它们之间的位置关系、侧棱与底面的位置关系等角度紧扣定义进行判断．
跟踪训练1 根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体名称：
（1）由6个平行四边形围成的几何体．
（2）由8个面围成，其中两个面是平行且全等的六边形，其余6个面都是平行四边形．
解
（1）这是一个上、下底面是平行四边形，四个侧面也是平行四边形的四棱柱．
（2）该几何体是六棱柱．
类型二 棱锥的结构特征
例2 如图，几何体中，四边形AA1B1B为边长为3的正方形，CC1＝2，CC1∥AA1，CC1∥BB1，请你判断这个几何体是棱柱吗？
若是棱柱，指出是几棱柱．若不是棱柱，请你试用一个平面截去一部分，使剩余部分是一个侧棱长为2的三棱柱，并指出截去的几何体的特征．在立体图中画出截面．
解
（1）∵这个几何体的所有面中没有两个互相平行的面，
∴这个几何体不是棱柱．
（2）在四边形ABB1A1中，在AA1上取E点，使AE＝2；在BB1上取F点，使BF＝2；连接C1E、EF、C1F，则过C1、E、F的截面将几何体分成两部分，其中一部分是棱柱ABC—EFC1，其侧棱长为2；截去部分是一个四棱锥C1—EA1B1F，该几何体的特征为：
有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．
反思与感悟 认识一个几何体，要看它的结构特征，并且要结合它各面的具体形状，棱与棱之间的关系，分析它是由哪些几何体组成的组合体，并能用平面分割开．
跟踪训练2 试从如图正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．
（1）只有一个面是等边三角形的三棱锥；
（2）四个面都是等边三角形的三棱锥；
（3）三棱柱．
解
（1）如图所示，三棱锥A1－AB1D1（答案不唯一）．
（2）如图所示，三棱锥B1－ACD1（答案不唯一）．
（3）如图所示，三棱柱A1B1D1－ABD（答案不唯一）．
类型三 棱台的结构特征
例3 有下列三个命题：
①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．
其中正确的有（ ）
A．0个B．1个C．2个D．3个
答案 A
解析 ①中的平面不一定平行于底面，故①错；②③可用反例去检验，如图所示，故②③错．
反思与感悟 一个棱台的基本特征是上、下底面平行且相似，侧棱延长后交于一点，这是判断几何体是否为棱台的依据．
跟踪训练3 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4、8的正方形，各侧棱长均相等，且侧棱长为
，求四棱台的高．
解 如图，在截面ACC1A1中，A1A＝CC1＝
，A1C1＝4
，AC＝8
，过A1作A1E⊥AC交AC于点E.
在Rt△A1EA中，AE＝
（8
－4
）＝2
，
A1A＝
，
∴A1E＝
＝
＝3，
即四棱台的高为3.
1．下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行
B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形
答案 A
解析 棱柱的两底面互相平行，故A正确；棱柱的侧面也可能有平行的面（如正方体），故B错；立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，故C错；由棱柱的定义知，棱柱的侧面一定是平行四边形．但它的底面可以是平行四边形，也可以是其他多边形，故D错．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．棱柱的底面一定是平行四边形
C．棱锥的底面一定是三角形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
答案 A
3．下列说法错误的是（ ）
A．多面体至少有四个面
B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形
C．长方体、正方体都是棱柱
D．三棱柱的侧面为三角形
答案 D
解析 由于三棱柱的侧面为平行四边形，故选项D错．
4．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定
答案 A
解析 形成的几何体前后两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，符合棱柱的定义．
5．对棱柱而言，下列说法正确的序号是________．
①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形．②所有的棱长都相等．③棱柱中至少有2个面的形状完全相同．④相邻两个面的交线叫做侧棱．
答案 ①③
解析 ①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．
1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．
2．各种棱柱之间的关系
（1）棱柱的分类
棱柱
（2）常见的几种四棱柱之间的转化关系
3．棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：
名称
底面
侧面
侧棱
高
平行于底面的截面
棱柱
斜棱柱
平行且全等的两个多边形
平行四边形
平行且相等
与底面全等
直棱柱
平行且全等的两个多边形
矩形
平行、相等且垂直于底面
等于侧棱
与底面全等
正棱柱
平行且全等的两个正多边形
全等的矩形
平行、相等且垂直于底面
等于侧棱
与底面全等
棱锥
正棱锥
一个正多边形
全等的等腰三角形
有一个公共顶点且相等
过底面中心
与底面相似
其他棱锥
一个多边形
三角形
有一个公共顶点
与底面相似
棱台
正棱台
平行且相似的两个正多边形
全等的等腰梯形
相等且延长后交于一点
与底面相似
其他棱台
平行且相似的两个多边形
梯形
延长后交于一点
与底面相似
一、选择题
1．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱的底面一定是平行四边形
B．棱锥的底面一定是三角形
C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥
D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱
答案 D
解析 棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确，应选D.
2．具备下列条件的多面体是棱台的是（ ）
A．两底面是相似多边形的多面体
B．侧面是梯形的多面体
C．两底面平行的多面体
D．两底面平行，侧棱延长后交于一点的多面体
答案 D
解析 棱台是由棱锥截得的，因此一个几何体要成为棱台应有两个条件：
一是上、下底面平行；二是各侧棱延长后必须交于一点．选项C只具备一个条件，选项A、B则两条件都不具备．
3．有两个面平行的多面体不可能是（ ）
A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错
答案 B
解析 由棱锥的定义可得．
4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是（ ）
A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶1
答案 B
解析 由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积比为对应边之比的平方，故选B.
5．下图中不可能围成正方体的是（ ）
答案 D
6．五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有（ ）
A．20B．15C．12D．10
答案 D
解析 如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：
AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10（条）．
7．下列图形中，不是三棱柱的展开图的是（ ）
答案 C
二、填空题
8．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm.
答案 12
解析 因棱柱有10个顶点，所以棱柱为五棱柱，共有五条侧棱，所以侧棱长为
＝12cm.
9.如图所示，在所有棱长为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行一周到达点A1，则爬行的最短路程为________．
答案
解析 将三棱柱沿AA1展开如图所示，则线段AD1即为最短路线，即AD1＝
＝
.
10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何图形的4个顶点，这些几何图形是________．（写出所有正确结论的编号）
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
答案 ①③④⑤
解析
如图：
①正确，如图四边形A1D1CB为矩形；②错误，任意选择4个顶点，若组成一个平面图形，则必为矩形或正方形，如四边形ABCD为正方形，四边形A1BCD1为矩形；③正确，如四面体A1ABD；④正确，如四面体A1C1BD；⑤正确，如四面体B1ABD.则正确的说法是①③④⑤.
11．如图，M是棱长为2cm的正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
答案
解析 由题意，若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2cm,3cm，故两点之间的距离是
cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4，故两点之间的距离是
cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是
cm.
三、解答题
12.
如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？
如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面，EF，B′C′，BC是侧棱．
截面BCFE左侧部分也是棱柱．
它是四棱柱ABEA′—DCFD′.其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面，A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
13.
如图所示，有12个小正方体，每个正方体6个面上分别写着数字1,9,9,8,4,5，用这12个小正方体拼成一个长方体，那么图中看不见的那些小正方体的面有多少个，并求这些面上的数字和．
解 这12个小正方体，共有6×12＝72个面，图中看得见的面共有3＋4×4＝19个，故图中看不见的面有72－19＝53个，12个小正方体各个面的数字的和为（1＋9＋9＋8＋4＋5）×12＝432.而图中看得见的数字的和为131，所以看不见的那些小正方体的面上的数字的和为432－131＝301.
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