届高考数学二轮复习解答客观题常用的6种方法学案全国通用.docx

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届高考数学二轮复习解答客观题常用的6种方法学案全国通用

二、解答客观题常用的6种方法

（对应学生用书第85页）

选择题、填空题是高考必考的题型，共占80分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的.选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，且答案就在给出的选项中.而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果.解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格.它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法.

解法1　直接法

直接从题目条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密的推理和准确的运算，得出正确的结论．涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．

【例1】　

（1）（2018·邢台市期末）设复数z满足z（1＋i）＝i－3，则复数的实部为（　　）

A．－2B．2

C．－1D．1

（2）（2018·全国卷Ⅰ）设抛物线C：

y2＝4x的焦点为F，过点（－2,0）且斜率为的直线与C交于M，N两点，则·＝（　　）

A．5B．6

C．7D．8

（1）A　

（2）D　[

（1）由z（1＋i）＝i－3，得z＝＝－1＋2i，所以＝＝－2＋i.

故的实部为－2，选A．

（2）过点（－2,0）且斜率为的直线的方程为y＝（x＋2），由得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以或不妨设M（1,2），N（4,4），易知F（1,0），

所以＝（0,2），＝（3,4），

所以·＝8.故选D.]

■对点即时训练·

1．将函数y＝sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（　　）

A．y＝2cos2xB．y＝2sin2x

C．y＝1＋sinD．y＝cos2x

A　[函数y＝sin2x的图象向左平移个单位得y＝sin，再向上平移1个单位得y＝sin2x＋＋1＝1＋cos2x＝2cos2x.]

2如图321所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）

图321

A．34B．55C．78D．89

B　[第一次循环：

z＝2，x＝1，y＝2；

第二次循环：

z＝3，x＝2，y＝3；

第三次循环：

z＝5，x＝3，y＝5；

第四次循环：

z＝8，x＝5，y＝8；

第五次循环：

z＝13，x＝8，y＝13；

第六次循环：

z＝21，x＝13，y＝21；

第七次循环：

z＝34，x＝21，y＝34，z＝55.

当z＝55时，退出循环，输出z＝55.]

解法2　特例法

在解决选择题和填空题时，可以取一个（或一些）特殊情况（包括特殊数值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊数列、特殊图形等）来确定其结果，这种方法称为特值法．特值法由于只需对特殊数值、特殊情形进行检验，省去了推理论证、繁琐演算的过程，提高了解题的速度．特值法是考试中解答选择题和填空题时经常用到的一种方法，应用得当可以起到“四两拨千斤”的功效．

【例2】　

（1）如图322，在三棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为（　　）

图322

A．3∶1

B．2∶1

C．4∶1

D．∶1

（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，c成等差数列，则＝________.

（1）B　

（2）　[

（1）将P，Q置于特殊位置：

P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ（＝0），则有VCAA1B＝VA1ABC＝VABCA1B1C1，VA1C1CBB1＝VABCA1B1C1，所以截后两部分的体积比为2∶1.

（2）令a＝b＝c，则A＝C＝60°，cosA＝cosC＝.

从而＝.]

■对点即时训练·

1．（2017·山东高考）若a＞b＞0，且ab＝1，则下列不等式成立的是（　　）

A．a＋＜＜log2（a＋b）B．＜log2（a＋b）＜a＋

C．a＋＜log2（a＋b）＜D．log2（a＋b）＜a＋＜

B　[令a＝2，b＝，则a＋＝4，＝，log2（a＋b）＝log2∈（1,2），则＜log2（a＋b）＜a＋.]

2.如图323所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·＝________.

图323

18　[把平行四边形ABCD看成正方形，则P是对角线的交点，所以AC＝6，·＝18.]

解法3　图解法（数形结合法）

图解法就是根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，常用于函数、向量、解析几何等问题中，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，得出结论．

【例3】　

（1）设向量a，b，c满足|a|＝|b|＝1，a·b＝，（a－c）·（b－c）＝0，则|c|的最大值等于（　　）

A．B．

C．D．1

（2）已知抛物线的方程为x2＝8y，点F是其焦点，点A（－2,4），在此抛物线上求一点P，使△APF的周长最小，此时点P的坐标为________．

（1）A　

（2）　[

（1）法一：

（几何法）如图，

a＝，b＝，c＝.由题意有∠AOB＝，点C在圆M上，当点C到达点D时，|c|最大，|c|max＝||＋||＝sin＋cos＝.选A．

法二：

（建系法或称坐标法）建立如图所示的坐标系，

设点C的坐标为（x，y）．设a＝＝，b＝＝，c＝＝（x，y）．

则（a－c）·（b－c）＝－x，－y·－x，－－y＝0.

化简得＋y2＝，它的轨迹是图中圆M.

当点C到达点D时，|c|最大，|c|max＝||＋||＝sin＋cos＝.选A．

（2）因为（－2）2＜8×4，所以点A（－2,4）在抛物线x2＝8y的内部，如图，设抛物线的准线为l，过点P作PQ⊥l于点Q，过点A作AB⊥l于点B，连接AQ，由抛物线的定义可知△APF的周长为|PF|＋|PA|＋|AF|＝|PQ|＋|PA|＋|AF|≥|AQ|＋|AF|≥|AB|＋|AF|，

当且仅当P，B，A三点共线时，△APF的周长取得最小值，即|AB|＋|AF|.

因为点A（－2,4），

所以不妨设△APF的周长最小时，

点P的坐标为（－2，y0），

代入x2＝8y，得y0＝，

故使△APF的周长最小的抛物线上的点P的坐标为.]

■对点即时训练·

1．已知P（x，y）是直线kx＋y＋4＝0（k＞0）上一动点，PA，PB是圆C：

x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.

2　[如图，把圆的方程化成标准形式得x2＋（y－1）2＝1，所以圆心为C（0,1），半径为r＝1，四边形PACB的面积S＝2S△PBC，所以若四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为1.

而S△PBC＝r·|PB|，即|PB|的最小值为2，此时|PC|最小，|PC|为圆心到直线kx＋y＋4＝0的距离d，则d＝＝＝，化简得k2＝4，因为k＞0，所以k＝2.]

2．设函数f（x）＝其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.1]＝－2，[π]＝3等．若方程f（x）＝k（x＋1）（k>0）恰有三个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．

　[直线y＝kx＋k（k>0）恒过定点（－1,0），在同一直角坐标系中作出函数y＝f（x）的图象和直线y＝kx＋k（k>0）的图象，如图所示，因为两个函数图象恰好有三个不同的交点，

所以≤k<.]

解法4　排除（淘汰）法

排除法（淘汰法）是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．

【例4】　（2018·全国卷Ⅱ）函数f（x）＝的图象大致为（　　）

　　A　　　　　　　B　　　　C　　　　　D

B　[当x＜0时，因为ex－e－x＜0，所以此时f（x）＝＜0，故排除A、D；又f

（1）＝e－＞2，故排除C，选B.]

■对点即时训练·

设f（x）＝若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（　　）

A．[－1,2]B．[－1,0]

C．[1,2]D．[0,2]

D　[若a＝－1，

则f（x）＝

易知f（－1）是f（x）的最小值，排除A，B；

若a＝0，则f（x）＝易知f（0）是f（x）的最小值，故排除C．故选D.]

解法5　构造法

构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型，从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的，首先应观察题目，观察已知（例如代数式）形式上的特点，然后积极调动思维，联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型，深刻地了解问题及问题的背景（几何背景、代数背景），从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型，达到快速解题的目的．

【例5】　

（1）已知m，n∈（2，e），且－

A．m>n

B．m

C．m>2＋

D．m，n的大小关系不确定

（2）如图324，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________．

图324

（1）A　

（2）π　[

（1）由不等式可得：

－

即＋lnn<＋lnm.

设f（x）＝＋lnx（x∈（2，e）），则f′（x）＝－＋＝.

因为x∈（2，e），

所以f′（x）>0，

故函数f（x）在（2，e）上单调递增．

因为f（n）

（2）如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.

∴CD＝＝2R，因此R＝，

故球O的体积V＝＝π.]

■对点即时训练·

在数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝2an＋1，则数列{an}的通项公式是_____．

an＝2n－1（n∈N*）　[由an＋1＝2an＋1，得an＋1＋1＝2（an＋1），又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，

∴数列{an＋1}是首项为2，公比q＝2的等比数列，

因此an＋1＝2·2n－1＝2n，

故an＝2n－1（n∈N*）．]

解法6　估值法

估值法就是不需要计算出代数式的准确数值，通过估计其大致取值范围从而解决相应问题的方法．由于选择题提供了唯一正确的选择项，解答又无需过程，因此可通过猜测、合情推理、估算而获得答案．

【例6】　（2017·全国卷Ⅱ）如图325，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（　　）

图325

A．90πB．63π

C．42πD．36π

B　[由题意，知V圆柱＜V几何体＜V圆柱．

又V圆柱＝π×32×10＝90π，

∴45π＜V几何体＜90π.

观察选项可知只有63π符合．故选B.]

■对点即时训练·

1．若a＝20.5，b＝logπ3，c＝log2sin，则（　　）

A．a>b>cB．b>a>c

C．c>a>bD．b>c>a

A　[由指数函数的性质可知y＝2x在R上单调递增，而0<0.5<1，所以a＝20.5∈（1,2）．由对数函数的性质可知y＝logπx、y＝log2x均在（0，＋∞）上单调递增，而1<3<π，所以b＝logπ3∈（0,1）；因为sin∈（0,1），所以c＝log2sin<0.综上，a>1>b>0>c，即a>b>C．故选A．]

2．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为（　　）

A．B．C．D．

D　[因为双曲线的一条渐近线经过点（3，－4），所以＝.

因为e＝>，

所以e>.故选D.]