课本实验指导书.docx
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课本实验指导书
实验一：
MATLAB软件入门
一、实验目的及意义
[1]熟悉MATLAB软件的用户环境；
[2]了解MATLAB软件的一般目的命令；
[3]掌握MATLAB数组操作与运算函数；
[4]掌握MATLAB软件的基本绘图命令；
[5]掌握MATLAB语言的几种循环、条件和开关选择结构。
通过该实验的学习，使学生能灵活应用MATLAB软件解决一些简单问题，能借助MATLAB软件的绘图功能，对函数的特性进行探讨，广泛联想，大胆猜想，发现进而证实其中的规律。
二、实验内容
1．MATLAB软件的数组操作及运算练习；
2．直接使用MATLAB软件进行作图练习；
3．用MATLAB语言编写命令M-文件和函数M-文件。
三、实验步骤
1.在E盘建立一个自己的文件夹;
2．开启软件平台——MATLAB，将你建立的文件夹加入到MATLAB的搜索路径中。
3．利用帮助了解函数max,min,sum,mean,sort,length，rand,size和diag的功能和用法。
4．开启MATLAB编辑窗口,键入你编写的M文件（命令文件或函数文件）；
5．保存文件（注意将文件存入你自己的文件夹）并运行；
6．若出现错误，修改、运行直到输出正确结果；
7．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验任务
基础实验
1．设有分块矩阵
，其中E,R,O,S分别为单位阵、随机阵、零阵和对角阵，试通过数值计算验证
。
2．某零售店有9种商品的单件进价（元）、售价（元）及一周的销量如表1.1，问哪种商品的利润最大，哪种商品的利润最小；按收入由小到大，列出所有商品及其收入；求这一周该10种商品的总收入和总利润。
表1.1
货号
123456789
单件进价
7.158.253.2010.306.6812.0316.8517.519.30
单件售价
11.1015.006.0016.259.9018.2520.8024.1515.50
销量
568120575358039521041538810694
3.在同一个坐标下作出
y1=ex,y2=1+x,y3=1+x+（1/2）x2,y4=1+x+（1/2）x2+（1/6）x3这四条曲线的图形，要求在图上加各种标注，观察、发现、联想、猜想，给出验证及理论证明。
4．用subplot分别在不同的坐标系下作出下列四条曲线，为每幅图形加上标题，
1）概率曲线
；
2）四叶玫瑰线=sin2；
3）叶形线
4）曳物线
。
5．作出下列曲面的3维图形，
1）
；
2）环面：
。
6．建立一个命令M-文件：
求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。
例如，153是一个水仙花数，因为153=13+53+33。
7．编写函数M-文件sq.m：
用迭代法求
的值。
求平方根的迭代公式为
迭代的终止条件为前后两次求出的x的差的绝对值小于105。
8.求函数的极限、导数或积分：
1）
当x
时；2）
3）
；4）已知
求
；
5）已知
，求
；
6）
画函数图；7）
;
9.作出函数y=x4-4x3+3x+5（x[0,6]）的图形，用小红点在函数曲线上标出其在[0,6]之间的最小值点，并在最小值点附近标出该最小值点的坐标值。
探究实验
10．自由发挥：
自己提出问题，实验探索，广泛联想，发现规律，大胆猜想。
比如函数cos（1/x）在x=0附近的振荡现象，有无规律可寻？
实验二：
方程及方程组的求解
一、实验目的及意义
[1]复习求解方程及方程组的基本原理和方法；
[2]掌握迭代算法；
[3]熟悉MATLAB软件编程环境；掌握MATLAB编程语句（特别是循环、条件、控制等语句）；
[4]了解迭代过程的图形表示，分形与混沌学科等，学会参数的灵敏度分析；
[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
通过该实验的学习，复习和归纳方程求解或方程组求解的各种数值解法（简单迭代法、二分法、牛顿法、割线法等），观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象——分歧与混沌，学习参数的灵敏度分析，初步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容
1．方程求解和方程组的各种数值解法练习
2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习
3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；
2．根据各种数值解法步骤编写M文件
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果（数值或图形）；
5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务
基础实验
1．用图形放大法求解方程xsin（x）=1.并观察该方程有多少个根。
2．已知方程x5+5x3-2x+1=0，
（1）将其改写成各种等价的形式进行迭代，观察迭代是否收敛，给出解释，若不收敛，将其进行改进后再迭代，比较这些迭代序列的收敛速度。
（2）分别用牛顿迭代法和区间迭代法求该方程的实根。
3．求解下列方程组
直接使用MATLAB命令：
solve（）和fsolve（）对方程组求解。
应用实验
4．油价与船速的优化问题
油价的上涨，将影响大型海船确定合理的航行速度，以优化航行收入。
直观地，油耗的多少直接影响船速的快慢，因而直接影响航行时间的长短，进而影响支付船员人工费用数量。
过去有一些经验表明：
（1）油耗正比于船速的立方；
（2）最省油航速的基础上改变20%的速度；则引起50%的油耗的变化。
作为一个例子：
某中型海船，每天油耗40吨，减少20%的航速，省油50%、即20吨。
每吨油价250美元，由此每天减少耗油费用5000美元，而航行时间的增加将增加对船员支付的费用的增加，如何最优化?
算例：
航程L=1536海里，标准最省油航速20节，油耗每天50吨，航行时间8天。
最低航速10节，本次航行总收入为84600美元。
油价250美元/吨，日固定开支1000美元。
试确定最佳航速。
5．航空公司的预订票策略
在激烈的市场竞争中，航空公司为争取更多的客源而开展的一个优质服务项目是预订票业务。
公司承诺，预先订购机票的乘客如果未能按时前来登机，可以乘坐下一班机或退票，无需附加任何费用。
设飞机容量为
，若公司限制只预订
张机票，那么由于总会有一些订了机票的乘客不按时前来登机，致使飞机因不满员飞行而利润降低，甚至亏本。
如果不限制订票数量，则当持票按时前来登机的乘客超过飞机容量时，将会有乘客不能乘坐他们预订的航班，航空公司需要采取各种不同方法来应对这些乘客。
有的不给予任何补偿，有的被改签后面的航班，有的给予一定赔偿金。
这样，为极大化公司的经济利益，必然存在一个恰当的预订票数量的限额。
假设已经知道飞行费用（可设与乘客人数无关）、机票价格（一般飞机满员50%_60%时不亏本，由飞行费用可确定价格）、飞机容量、每位被挤掉者的赔偿金等数据，以及由统计资料估计的每位乘客不按时前来登机的概率（不妨认为乘客间是相互独立的），建立一个数学模型，综合考虑公司经济利益（飞行费用、赔偿金与机票收入等），确定最佳的预订票数量。
1）对上述飞机容量、费用、迟到概率等参数给出一些具体数据，按你的模型计算，对结果进行分析。
2）对模型进行改进，如增设某类旅客（学生、旅游者）的减价票，迟到则机票作废。
提示：
按时到达机场乘坐某航班的乘客数是一个随机变量，因此利润也是随机变量，需要给出利润的数学模型。
实验三：
函数迭代
一、实验目的及意义
[1]了解迭代过程的图形表示，分形与混沌学科等，学会参数的灵敏度分析；
[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
通过该实验的学习，观察非线性方程迭代过程中产生的奇特现象——分歧与混沌，学习参数的灵敏度分析，初步了解数学建模过程。
这对于学生深入理解数学概念，掌握数学的思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法具有十分重要的意义。
二、实验内容
1．方程求解和方程组的各种数值解法练习
2．直接使用MATLAB命令对方程和方程组进行求解练习
3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；
2．根据各种数值解法步骤编写M文件
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果（数值或图形）；
5．根据观察到的结果写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
基础实验
1．迭代与分歧
对于非线性函数f（x）=ax（1x）的迭代：
（1）对于参数a分别取值于[1,4];[3,4];[3.8284,4]，作出费根鲍图。
（2）观察其2-周期的分裂现象，尽可能多地给出分裂出现的的参数取值。
（3）观察其倍3-周期现象，并总结类似倍2-周期的规律。
（4）观察其倍5-周期现象。
注意：
选取同一个迭代初值，去掉前面若干项；将参数a的取值间距尽量地减小，以便于发现和总结规律。
应用实验
2．生物种群的数量问题
种群的数量（为方便起见以下指雌性）因繁殖而增加，因自然死亡和人工捕获而减少。
记xk（t）为第t年初k岁（指满k-1岁，未满k岁，下同）的种群数量，bk为k岁种群的繁殖率（1年内每个个体繁殖的数量），dk为k岁种群的死亡率（1年内死亡数量占总量的比例），hk为k岁种群的捕获量（1年内的捕获量）。
今设某种群最高年龄为5岁（不妨认为在年初将5岁个体全部捕获），b1=b2=b5=0，b3=2，b4=4，d1=d2=0.3，d3=d4=0.2，h1=400，h2=200，h3=150，h4=100。
A. 建立xk（t+1）与xk（t）的关系（k=1,2,5,t=0,1,），如
。
为简单起见，繁殖量都按年初的种群数量xk（t）计算，不考虑死亡率。
B. 用向量表示t年初的种群数量，用bk和dk定义适当的矩阵L，用hk定义适当的向量h，将上述关系表成的形式。
C. 设t=0种群各年龄的数量均为1000，求t=1种群各年龄的数量。
又问设定的捕获量能持续几年。
D. 种群各年龄的数量等于多少，种群数量x（t）才能不随时间t改变。
E.记D的结果为向量x*,给x*以小的扰动作为x（0），观察随着t的增加x（t）是否趋于x*,分析这个现象的原因。
3．遗传模型
孟德尔（Mendel）第一定律：
配子的基因是从其父倍的两个基因型中随机地选择的。
实际应用中，将比例作为概率：
Pk（A）=Prob{AA或Aa};Pk（a）=Prob{aa}，并记Xk=Pk（a）。
得到如下遗传模型：
1）致死基因遗传模型：
Xk+1=
。
讨论Xk的变化趋势。
2）自然选择基因遗传模型：
Xk+1=
。
其中：
=r1/r2。
r1和r2分别表示在总人口数量中，新生儿基因为（AA或Aa）和（aa）所占的比例。
对不同的取值，讨论Xk的变化趋势，选取初值：
X0=0.9。
3）突变基因遗传模型：
Xk+1=
（1）Xk+。
其中：
为A突变为a的概率（比例一般为：
105106）。
对不同的讨论Xk的变化情况?
考虑初值X0=0.1。
探究实验
4．迭代与分形
（1）对于非线性函数f（z）=z21，在复数平面上迭代过程：
作出其迭代有界的初值点集，就是所谓的Julia集。
注意：
迭代产生的（复数）数列可能有界，也可能无界，这完全依赖于迭代初值的选取。
初值可以在整个复平面上任意选取。
我们可以根据初值产生的迭代数列有界与否，将复平面上的点划分为两类：
其中之一称为“迭代有界初值点集”，用实心黑点代表这些点，观察其几何形状，特别是其边缘的几何性质。
（2）对于非线性函数f（z）=z2+c，参数c在复平面取值。
对于每一个复数平面上的参数值，迭代产生的Julia集（迭代有界的初值点集）可能连通，也可能不连通。
其中Julia集连通的参数取值的集合，就是所谓的Mandelbrot集。
具体地：
对参数c的一个取值，例如c=1，可以得到一个Julia集，这个点集可能连通，也可能不连通。
由于参数c的取值范围是整个复数平面，因此，参数c取值的复平面就可以根据迭代有界初值点集连通与否划分为两类。
其中之一称为“Julia集连通的参数点集”，用实心黑点表示这些点，观察其几何形状，特别是其边缘的几何性质。
提示：
快速确定Mandelbrot集的方法：
对于一个c，如果迭代对初值z=0，产生的迭代数列是有界的，那么这个c就是属于Mandelbrot集的。
5．迭代与混沌
使用牛顿方法求解非线性方程，自然希望找到好的初始点，能够快速地收敛到某个特定的根。
根是一个吸引子，相应有一个该吸引子的控制域（收敛到该吸引子的初值范围）。
利用计算机可以很方便地作出所有的吸引子与其控制域的图形，加上那些不是任何一个控制域的点，就构成了整个初值空间。
这样的图形，不妨称为初值空间谱图。
（1）对于用牛顿方法，只求实数根，作出初值空间谱图，当然应该是一维的。
（2）对于用牛顿方法求所有根，也就是包括复数根，初值可以是任何一个复数，其初值空间谱图是二维的。
试作出其初值空间谱图。
（3）对问题2，作出彩色的初值空间谱图。
注：
用彩色替代黑色的点的方法是：
不同的（吸引子的）控制域用不同颜色，并用颜色的暗淡（不同强度）表示收敛速度（指牛顿算法以此点为初值的迭代过程的收敛快慢程度）。
可以先想一想，这个图色彩形状如何？
五彩缤纷、千奇百怪、还是平淡无奇，很难想到，除非你自己亲自动手！
注意：
可以采用如下两个方程进行实践：
实验四：
常微分方程的求解与定性分析
一、实验目的及意义
[1]归纳和学习求解常微分方程（组）的基本原理和方法；
[2]掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；
[3]熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；
[4]通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；
通过该实验的学习，使学生掌握微分方程（组）求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。
这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
二、实验内容
1．微分方程及方程组的解析求解法；
2．微分方程及方程组的数值求解法——欧拉、欧拉改进算法；
3．直接使用MATLAB命令对微分方程（组）进行求解（包括解析解、数值解）；
4．利用图形对解的特征作定性分析；
5．建立微分方程方面的数学模型，并了解建立数学模型的全过程。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；
2．根据微分方程求解步骤编写M文件
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果（数值或图形）；
5．根据观察到的结果和体会写出实验报告。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）
基础实验
1．求微分方程的解析解,并画出它们的图形，
y’=y+2x,y（0）=1,0y’’+ycos（x）=0,y（0）=1,y’（0）=0;
2．用向前欧拉公式和改进的欧拉公式求方程y’=y-2x/y,y（0）=1（0≤x≤1,h=0.1）的数值解，要求编写程序，并比较两种方法的计算结果，说明了什么问题？
3.Apollo卫星的运动轨迹的绘制
探究实验
4．Rossler微分方程组：
当固定参数b=2,c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈（0,0.65））而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？
应用实验
5．盐水的混合问题
一个圆柱形的容器，内装350升的均匀混合的盐水溶液。
如果纯水以每秒14升的速度从容器顶部流入，同时，容器内的混合的盐水以每秒10.5升的速度从容器底部流出。
开始时，容器内盐的含量为7千克。
求经过时间t后容器内盐的含量。
6．老鼠觅食
有一个连续的很多个小老鼠笼子（正方形），它们首尾相连。
在其前后两边的中央都开有一个洞，可供老鼠自由进出。
并在右边放置鼠粮，左边未放鼠粮。
老鼠在笼子里面只能够沿着笼子边沿（正方形的四条边）沿左边或从右边向前通过。
沿左边则吃不到鼠粮，只有沿右边才能够吃到鼠粮。
在每个鼠笼子里，老鼠随机地选择左右之一向前行进。
1）奖励型：
如果老鼠沿右边吃到鼠粮后，则下次将毫不犹豫地沿右边，如果沿左边未吃到鼠粮，则下次将以1的概率向左。
2）奖惩兼顾型：
如果向右吃到鼠粮后，则下次向右的概率为1；如果向左未吃到鼠粮，则下次向左的概率为1。
就这两种情况，分别建立并求解老鼠在第n次进入鼠笼子时向右能够吃到鼠粮的概率。
并考察其无穷趋势。
7．两种生物种群竞争模型
两种相似的群体之间为了争夺有限的同一种食物来源和生活空间而进行生存竞争时，往往是竞争力较弱的种群灭亡，而竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量。
假设有甲、乙两个生物种群，当它们各自生存于一个自然环境中，均服从Logistic规律。
1）x1（t）,x2（t）是两个种群的数量；
2）r1,r2是它们的固有增长率；
3）n1,n2是它们的最大容量；
4）m2（m1）为种群乙（甲）占据甲（乙）的位置的数量，并且m2=αx2;m1=βx1。
计算x1（t）,x2（t）,画出图形及相轨迹图。
解释其解变化过程。
5）改变r1,r2,n1,n2,x0,y0,而α1，α2不变，计算并分析结果；若α1=1.5，α2=0.7，再分析结果。
由此能得到什么结论。
实验五：
插值方法
一、实验目的及意义
[1]了解插值的基本原理
[2]了解拉格朗日插值、线性插值、样条插值的基本思想；
[3]了解三种网格节点数据的插值方法的基本思想；
[4]掌握用MATLAB计算三种一维插值和两种二维插值的方法；
[5]通过范例展现求解实际问题的初步建模过程；
通过自己动手作实验学习如何用插值方法解决实际问题，提高探索和解决问题的能力。
通过撰写实验报告，促使自己提炼思想，按逻辑顺序进行整理，并以他人能领会的方式表达自己思想形成的过程和理由。
提高写作、文字处理、排版等方面的能力。
二、实验内容
1．编写拉格朗日插值方法的函数M文件；
2．用三种插值方法对已知函数进行插值计算，
通过数值和图形输出，比较它们的效果；
3．针对实际问题，试建立数学模型，并求解。
三、实验步骤
1．开启软件平台——MATLAB，开启MATLAB编辑窗口；
2．根据各种数值解法步骤编写M文件
3．保存文件并运行；
4．观察运行结果（数值或图形）；
5．写出实验报告，并浅谈学习心得体会。
四、实验要求与任务
根据实验内容和步骤，完成以下具体实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论→心得体会）
基础实验
1.一维插值
利用以下一些具体函数，考察分段线性插值、三次样条插值和拉格朗日多项式插值等三种插值方法的差异。
（1）
，x[-5,5]；
（2）sinx,x[0,2];（3）cos10x,x[0,2]．
注意：
适当选取节点及插值点的个数；比较时可以采用插值点的函数值与真实函数值的差异，或采用两个函数之间的某种距离。
2．高维插值
对于二维插值的几种方法：
最邻近插值、分片线性插值、双线性插值、三次插值等，利用如下函数进行插值计算，观察其插值效果变化，得出什么结论？
（1）
，参数p=1/2000~1/200；采样步长为：
t=4ms~4s；x=5~25m.
（2）
参数=1~2；x,y[1,1]。
（3）将
（2）中的函数推广到三维情形，进行同样的处理，体会高维插值的运用。
应用实验
3．几何物理中的插值问题
采用适当的方法求解下列问题：
（1）轮船的甲板成近似半椭圆面形，为了得到甲板的面积。
首先测量得到横向最大相间8.534米；然后等间距地测得纵向高度，自左向右分别为：
0.914,5.060,7.772,8.717,9.083,9.144,9.083,8.992,8.687,7.376,2.073，
计算甲板的面积。
（2）物体受水平方向外力作用，在水平直线上运动。
测得位移与受力如表5.1
表5.1
X
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
F
20
21
21
20
19
18.5
18.0
13.5
9
4.5
0
求（a）物体从位移为0到0.4所做的功；
（b）位移为0.4时的速度是多少？
（3）火车行驶的路程、速度数据如表5.2，计算从静止开始20分钟内走过的路程。
表5.2
t（分）
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
v（km/h）
10
18
25
29
32
20
11
5
2
0
（4）确定地球与金星之间的距离
天文学家在1914年8月份的7次观测中，测得地球与金星之间距离（单位：
米），并取其常用对数值，与日期的一组历史数据如表5.3。
表5.3
日期（号）
18
20
22
24
26
28
30
距离对数
9.9617724
9.9543645
9.9468069
9.9390950
9.9312245
9.9231915
9.9149925
由此推断何时金星与地球的距离（米）的对数值为9.9351799？
4．社会经济中的插值问题
（1）日照时间分布表5.4的气象资料是某一地区1985-1998年间不同月份的平均日照时间的观测数据（单位：
小时/月），试分析日照时间的变化规律。
表5.4
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
日照
80.9
67.2
67.1
50.5
32.0
33.6
36.6
46.8
52.3
62.0
64.1
71.2
（2）山区地貌图在某山区（平面区域（0，2800）（0，2400）内，单位：
米）测得一些地点的高程（单位：
米）如表5.5，试作出该山区的地貌图和等高线图。
表5.5
2400
2000
1600
1200
800
400
0
1430145014701320128012001080940
14501480150015501510143013001200
14601500155016001550160016001600
1370150012001100155016001
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