小学奥数556 中国剩余定理及余数性质拓展专项练习.docx

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小学奥数556中国剩余定理及余数性质拓展专项练习

教学目标

1.系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理

2.掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用

知识点拨

一、中国剩余定理——中国古代趣题

（1）趣题一

中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：

“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

”答曰：

“二十三。

”

此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。

韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。

刘邦茫然而不知其数。

我们先考虑下列的问题：

假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？

首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：

因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。

孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。

中国剩余定理（ChineseRemainderTheorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

（2）趣题二

我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：

有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：

“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”

这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（ChineseRemainderTheorem），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：

三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．

五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．

七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．

除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．

此题的中国剩余定理的解法是：

用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是，，

为什么70，21，15，105有此神奇效用？

70，21，15，105是从何而来？

先看70，21，15，105的性质：

70被3除余1，被5，7整除，所以70a是一个被3除余a而被5与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b是被5除余b，被3与7整除的数；同理15c是被7除余c，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，是被3除余a，被5除余b，被7除余c的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．

了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．

二、核心思想和方法

对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:

今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？

题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。

先由，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数是否可以，很显然70除以3余1

类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。

最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算：

，其中k是自然数。

也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。

例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，

那么我们可以计算得到所求

如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,

我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。

例题精讲

模块一、余数性质综合

【例1】一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是         。

【例2】有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。

这时．又窜来4只猴子。

只好重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子___个。

【巩固】一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。

但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到个桃子。

【例3】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？

【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：

一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。

问最多有多少名同学?

【例4】5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。

【巩固】有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是。

【巩固】除以余，除以余，除以余，除以余，，除以余。

最小为。

【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4动物小玩具。

那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。

【巩固】小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。

那么一起做游戏的小朋友至少有人。

【例5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．

【例6】数119很奇特：

当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5．问：

具有这种性质的三位数还有几个？

【巩固】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有　　本．

【例7】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是。

【例8】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？

【巩固】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？

【例9】是一个三位数.它的百位数字是4，能被7整除，能被9整除，问是多少？

【例10】一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。

模块二、中国剩余定理

【例11】“民间流传着一则故事——‘韩信点兵’．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人．忽有后军来报，说有楚军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：

我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？

【例12】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.　

【例13】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．

【例14】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．

【例15】有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？

模块三、余数性质的拓展应用——新中国剩余定理

【例16】有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

【例17】如图，在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），小明像玩跳棋那样，从孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗?

【例18】三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三位数中最小的数最大是。

【例19】某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是．

【例20】智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级原人数应该是（）人。

【例21】三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是．

【例22】在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？

【例23】有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．