[
O_B+c_E4$ 【思路】a/q+a+a*q=k（k为正整数）!
_af_;5F_
由此求得a=k/（1/q+1+q）_A-
_^B?
E
所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值.A~_s_6_~__
对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.f?
@M"p_@_T
其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.（mba不要求证明最值）O_`~L*_h_
N_B8Yn\{B 5、掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。
q_}&+{dN\1
36_8_H6Jj 【思路】可以有两种方法：
S._owV_M
Q
1.用古典概型样本点数为C（3，5），样本总数为C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是说正面朝上为2，3，4，5个），相除就可以了；_3T__K_l_
2.用条件概率在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。
至少2个正面向上的概率为13/16，P（AB）的概率为5/16，得5/13t3_.I`_Z
_Uetna!
ABB 假设事件A：
至少出现两个正面；B：
恰好出现三个正面。
._1"_"U']
A和B满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2_JjQTD__-^
P（A）=1-（1/2）^5-（C5|1）*（1/2）*（1/2）^4=13/16ith!
jY*i
A包含B，P（AB）=P（B）=（C5|3）*（1/2）^3*（1/2）^2=5/16x>[gShAV!
所以：
P（B|A）=P（AB）/P（A）=5/13。
DOW_Z_hD
_wRE2rsXoU 6、设有n个球和n个能装球的盒子，它们各编有序号1,2,....n今随机将球分别放在盒子中，每个盒放一个，求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。
（答案：
1）${,!
Ll7）
#'h（o/hz&& 【思路】1/nn，N个球进N个盒有N的N次方种排列，对号入座只有1种排列。
_:
X_-\!
w\
__@N_JJ__ +__j_z%_:
D 7、若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则（（x1+1）*（x2+1））/p=?
7_ah1__IEK
（a）-2,（b）-1（c）-1/2（d）15mY_I5~_p
s|=.L&"_ 【思路】题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-38*Ad7GG1/u
ka_j6C_k| 8、设F（n）=（n+1）n-1（n为自然数）,则F（n）:
|_cB_pX+_D
（a）只能被n整除（b）能被n*n整除....._5Y&s+_|_
Zk_JYPXdn?
【思路】用二项式定理去做第二题，只考虑n的系数，有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。
Z<#beT__6_
__6tbH_（ 9、一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。
任取其中一张，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。
BcT|TX+ct
【思路】设A=被观察的一面是绿的，B=两面都是绿PL8eM]_XS
则需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：
1/2=1/2，所给答案却2/3？
P,O9O_n___
;1cX|N__=_ 10、 设Ａ是４＊３矩阵且Ｒ（Ａ）＝２，Ｂ＝求Ｒ（ＡＢ）D__naG$a_<
L_"tjDA_V
【思路】R（B）=3"_^<:
7_Y_
so:
R（AB）=R（A）=2`_/]8C&u
X&M4_c5Li 11、 在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,Zu\#_;O__
J%f5NSSU{6 求:
（1）最小号码为5的概率，
（2）最大号码为5的概率.;-^WUf|_
vCbqZdy?
【思路】最小号码为5的概率：
9_S&6__u1
号码5已确定，另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出$___CL_=M
故组合的个数为所以概率为/C＝10/120＝1/12w_zo-V^+_q
同样最大号码为5的概率：
6n%^U2H/-
号码5已确定，另外2人的号码应从1、2、3、4中选出HE_jV7g0E_
故组合的个数为C所以概率为C/C＝6/120＝1/20P_m_+H!
x,
G-M_!
I_`P_ 12、从5双不同的鞋子中任取4只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
_6=6b_!
hD
#_Y`U8
n2F 【思路】可以这样理解，先算出没有两只配成一双的情况，然后用1去减一下便可。
f
Kr_Oz!
b
4只鞋中没有配成一双的情况：
10只鞋按配对分成5组，只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况，那么组合数为：
C＝10×8×6×4O;__qS__3
任取4只的组合数为：
10×9×8×7=_H_!
_u4
所以没有2只配对的概率为：
10×8×6×4/10×9×8×7＝8/21Rfa1v*（_
故至少2只成对的概率为1－8/12＝13/21\i`/_k（___
c1MALgK~}\ 13、设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1）上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3）上的诸数字。
旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。
+s1mm__c
【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分别为p（01）,p（13）,p1,p2,则：
#._Ft_PR
p（01）=p（13）=1/2,p1=p（01）*p
（1）|p（01）=1/2*[（1-1/2）/（1-0）]=1/4qBKIl=ne_
同理p2=1/2*[（3/2-1）/（3-1）]=1/8p=1/4+1/8=3/8Td"f（&Hk_&
dO_rgqz`e 14、设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。
_!
Edc_]rg7
【思路】设A为三人中至少有一个女孩，B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩；P（A）=1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8,P（AB）=1-（1/2）*（1/2）=3/4,f=g/_R2$xN
所以P（B|A）=P（AB）/P（A）=6/7。
R]_]]7）+
（这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括bgg,gbg,ggb三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些）Hc_5@_g_N
__X2q_$_i 15、求极限：
lim（）x-1/2（x趋于正无穷）；QYyF6ht=!
_+_,p____
【思路】lim=lim（1-）S_-Ryt>G__
c{V_0]A9VF
把它的指数整理成（（（x+6）/3）*（3/2）-7/2）,就可得结果：
+_2|_X7wA
orlim[（x+3）/（x+6）]^（x-1/2）x->正无穷_Lk4&_&5q
=lim[（x+3）/（x+6）]^x/2*lim[（x+6）/（x+3）]1/2#_H_J_F==
=lim[（1+3/x）/（1+6/x）]x/29'Pyo`hJ#U
=lim{[1+3/x]^[（x/3）*（3/2）]}/{[1+6/x]^[（x/6）*3）]}[__qIi_（%o
=lim（e3/2）/（e3）=`（__cR
@\_
.%U~r_2Y（ 16、求极限：
lim（1-1/2*2）（1-1/3*3）...（1-1/n*n）（n趋于正无穷）；mkk_74_NY_
Pq_agepd 【思路】lim（1-1/2*2）（1-1/3*3）...（1-1/n*n）n->正无穷5c_aYA&__R
=lim（1-1/2）（1+1/2）（1-1/3）（1+1/3）.....（1-1/n）（1+1/n）`y_P-,lA$
=lim1/2*3/2*2/3*4/3......*（n-1）/n*（n+1）/njm_.__pb/
=lim（n+1）/2n=1/2_MeQ（,irr^
f_OE:
~3_Q 17、求极限：
lim（x->0）K_8|6r_|x
__7_w>"M_ 【思路】此题需要连用三次使用罗必塔法则。
正确答案为：
-0.5eg__v_oK__
<>__j,__Q 注意（x+1）1/x=eA:
0___]n
5V
G_@Q%__ QRdb~f;3>L1}z_yM]
Ei}_DA=:
_s 【思路】An+1=2nAn=>An+1/An=2n=>X='__4N_<
A2/A1=2,A3/A2=2^2.....dDm<'30?
*v
（A2/A1）*（A3/A2）*......*（An/An-1）=222......2n-1_VF_YJXR{
=>An/A1=2（1+2+...+n-1）=2n（n-1）/2=>An=2n（n-1）/2Uy_F]__gO
Wg$MKc9Vy[ 19、设有4只坏，每只都能以同样的落入4个格子中的任一个，求前2个球落入不同格子中的概率。
R_Hdi~_k
_eyCg__* 【思路】分别设四球为1号,2号，3号和4号$:
<_KG&Br
1号球落入某个格子有4种可能，那么2号球就只有3种可能__WJg?
_R^
3号4号可落入4个格子中的任意，有4，4种可能yCmiW%L4
所以应为4*3*4*4/44^_Ji__5）c
c"fnTJXr79 20、甲，乙二人同时同地绕400米跑道赛跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次赶上乙，求乙速度.（6s/m）qf+I2_kyS
d_Rt]9gIsx 【思路】3*400/（V+3）=2*400/V得V=6（m/s）s8e__FEi
_
@/XA*_9]l_ {_l@_ws_
已知f（xy）=f（x）+f（y）且f'
（1）=a,x≠0，求f'（x）=?
（答案为a/x）&+d>xy_\^/
Tf<1Z{
9_ 【思路1】原方程两边对Y进行求偏导A__Wc7TW
xf'（xy）=f'（y）其中f'（xy）与f'（y）都是对y偏导数#jv~FR`4v^
xf'（x*1）=f'
（1）=a 得f'（x）=a/x_F_/IXqj
R6r'[-_B2 【思路2】当⊿x→0时，令x+⊿x=xz则z=（1+⊿x/x）?
YOH9%_c_s
?
|s1C_uc 由f'（x）=[f（x+⊿x）-f（x）]/⊿xu^_8:
/~8K
e_）]9u$_x ={f[x（1+⊿x/x）]-f（x）}/⊿xhy3j8?
66
>~8;Hx].d =[f（x）+f（1+⊿x/x）-f（x）]/⊿x_T[]2]K[&B
50u_YU[W =f（1+⊿x/x）/⊿x =f'
（1）/x=a/x{|nm0vg`_A
Z_]kk
.@_P 8|*#r___[x q/w_<_>u_ 已知函数f（x+y,x-y）=x2-y2,则f对x的偏导数加f对y的偏导数等于?
（a）2x-2y（b）x+y=_.N_Z{_G
]AkHNg_W 【思路1】设U=x+y,v=x-y_o"J>_MAD
f（u,v）=uv[_GKSQt_{）
f'x=f'u*u'x+f'v*v'x=v*1+u*1=u+v_f_5D._wSY
f'y=f'u*u'y+f'v*v'y=v-uR7aS{8n_n
f'x+f'y=u+v+v-u=2v=2（x-y）=2x-2y 选A_yH_L_<_n
%4QCUc*lr 【思路2】由已知f（x+y,x-y）=（x+y）（x-y）,_YON@G_5^
d_Iv/.x/V_ 令u=x+y,v=x-y,则f（u,v）=uv,于是f（x,y）=xy,故答案为（b）.q
|m____8G
_,-u|_l 结论：
b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。
j_9_C=m"O
uQLXF2_ 已知方程7x2-（k+13）x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则k的取值范围是什么？
答案为（-2，-1）U（3，4）h./c__s'&
__G/（oQ_A_ 【思路】画图可得f（0）>0,f
（1）<0，f
（2）>0代入计算即可+YT/od1t7_
F_h_n_883_ D]y6*H_a_ A,B是一次随机实验的两个事件，则————_9Lz）SYd_
UYUI__p_e A.A-（B-A）=A-B B.A-（B-A）=AZy*}C_,Z_
gK）_B3dH*& 【思路】b,利用定义可得w5n_>_hz_5
__g_1zqh,
已知随机变量X的密度的函数是：
7H_>dv_'
f（x）=_5]|C
其中m>0，A为常数，则概率P{m0）的值一定是：
____lJ_Yv2E_Z
A、与a无关，随着m的增大而增大=G72`]#-_
B、与m无关，随着a的增大而增大%vThbP#mR|
C、与a无关，随着m的增大而减少c`_jT_dV_D
D、与m无关，随着a的增大而减少s3k_nh&'zb
pKJ[e@E_^ 【思路】P{m0）=dx=Ae-m=1 A=emc~CW-%wN
P{m==Ae-m[1-e-a]=1-e-a a>0 答案为B__d^Wh-U_
_sg___y 设X是连续型随机变量，其分布函数是F（X）,如果EX存在，则当x->+∞时，1-F（x）是1/x的___。
7AiCQWf9
A、等价无穷小 B、高价无穷小>KPJ_7_4R
C、低价无穷小 D、同价无穷小_""d>f_4,S
Uk9g^\
H~~__l
因为函数g（x）=1/x的无穷积分积分不收敛可知，由比较判别法可知，如果为同阶或低阶无穷小，则xf（x）不收敛。
z_TB9GrU_
Jf$_wBPg_ 设有编号为1，2，3，...,n的n个求和编号为1，2，3，...,n的n个盒子。
现将这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？
__KVB~lo
T
"v_!
H
KnDT 【思路】任给2个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同；[V__,;_X
而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!
-1/3!
+...+（-1）^（n-2）/（n-2）!
；_$L8s/_1up
［注意：
上面用到了这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为1－1／2！
＋1／3！
－...＋（-1）^（n-1）/n!
;］_jnz_z~:
故恰好有2个球的编号和盒子的编号相同的概率为（1/2!
-1/3!
+...+（-1）^（n-2）/（n-2）!
）；AJ_lIA[Kt:
给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为（n-2）!
*（1/2!
-1/3!
+...+（-1）^（n-2）/（n-2）!
）.vKf;
&`^qE
n个球中任取两个的可能取法为C（2,n）;0_*_IY%=_i
2者相乘得出：
恰好有2个球的编号和盒子的编号相同，的投放方法的总数为C（2,n）*（n-2）!
*（1/2!
-1/3!
+...+（-1）^（n-2）/（n-2）!
）=（n!
/2）!
*（1/2!
-1/3!
+...+（-1）^（n-2）/（n-2）!
）.`pAp[]SfQd
当n趋于无穷大时，取法为（n!
/2）*[e^（-1）];$C_wTNm_?
]#-/i_2-_K 【思路】如果以m代替2，通解为"ko?
att~
C（m,n）*（n-m）!
*（1/2!
-1/3!
+...+（-1）^（n-m）/（n-m）!
）Hs_`#{W{.
%=mwOoMk0L
注：
机工版P52页21题如下：
_N"_Jtg@w
设有编号为1，2，3，4，5的5个求和编号为1，2，3，4，5的5个盒子。
现将这5个球放入这5个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？
Jyz$&jqyr'
取n=5;取法为（5!
/2）*（1/2!
-1/3!
）=20>
_u_pXt?
_
.__1z_$A 设随机变量X的分布函数为F（x）,则Y=-2logF（X）的概率密度函数P（y）=_________.6Er0o{i_I
L%_o_6
5 【思路】F（y）=P（Yy）=P（-2logF（X）y）=P{F（X）e-y/2},cpF1Xpv_T
GEe0@q#YA 令F（X0）=e-y/2,因为F（X）是非减函数，bU:
_}Z_O^S
s_x[_&4k[ 故事件F（X）F（X0）=e-y/2等价于事件XX0,）_O2Nlk~l&
l}Q"__Nb）_ 则P{F（X）e-y/2}=P（XX0）=1-P（XX0）=1-F（X0）=1-e-y/2，Xx_3_g3P
_n*vTVt）dJ P（y）=[F（y）]’=（1/2）e-y/2"E_cX____>
T~i%j@
Q.6 一个盒子里有红球一只，白球一只，黑球一只，每次从盒子里取一个球，观察颜色后放回再取，直到三种颜色的球都取到为止。
求取球的次数不少于6次的概率。
~7_dM!
g{W_
uh]"（h（_> 【思路】Ai=第i次三种颜色的求全取到i3,B=取球的次数不少于6次，__c|>=S）|
_:
._*HQt9N 所求概率是P（B）=P（A6）+P（A7）+P（A8）+...10p8|9rE}B
K3时，第K次取到三个球时，前K-1次取到另两种颜色的球，PK__s#u_C
cv
}aS_`f 故P（AK）=[2K-1-2]/3K{意思是前K-1次时，每一次从两种颜色中取，去掉同色的两种情况，第K次取第三种颜色}=[`7%sn]$_
P（B）==分解为两个等比数列求和=31/81__dL-i）_F
|（G2K'Ab 库房有十箱零件（每箱都有许多），有6箱用新工艺做的，全合格。
其余用旧工艺完成，75％的合格率。
现随机打开一箱取出三个，检查其中一个为合格品，求另外两个也合格的概率。
W_K_0___C
（答案为41/41=0.85）__XM/vD_dR
_%v+=;jw_ 【思路1】Ai=正品（i=1,2,3）B=新工艺C=旧工艺"7,FXTa_er
P（B）=0.6P（A/B）=1P（C）=0.4P（A/C）=3/4/*$h_x@ih
所求：
P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）4n_qoZ_k^R
P（A1）=P（B）P（A1/B）+P（C）P（A1/C）=0.9\_（）#__e
P（A1*A2*A3）=P（B）P（A1*A2*A3/B）+P（C）P（A1*A2*A3/C）;__`dhfcU
=0.6+0.4*（3/4）3n_V*y_`._+
P（A2*A3/A1）=P（A1*A2*A3）/P（A1）=41/48Km#pX1]_>e
0aI;\D*Ts 【思路2】由题可知首先取到的零件是新工艺还是旧工艺生产应是两23!
;_}zHp_
个互斥事件，所以令：
A=新工艺生产=旧工艺生产laKuO__x}_
B=取到一个合格品 C=另两个也合格P>ceeoYQuA
则：
由题知，P（A）=0.6P（）=0.4 P（B/A）=1P（B/）=0.75Ny-_[9S-<
求：
P（CB/B）=？
"9EE1];NT_
解：
∵P（AB）=0.6×1=0.6P（B）=0.4×0.75=0.3\_cv?
^AI
∴P（B）=P（AB）+P（B）=0.9_{5r_0_v#;
又∵P（C/AB）=1×1=1
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