春季班15by王刚.docx

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春季班15by王刚

第1讲奇偶对称分组

例1.冰球场上有三个冰球处于三角形三个顶点上，冰球手每次击球使其中一个穿过另外两个冰球之间。

25次之后三个冰球能否处于原来位置？

例2.将25枚棋子放在25×25的棋盘上，每个格最多放一枚。

所有棋子位置恰好使得两条棋盘对角线都是对称轴。

请说明棋盘正中间有一枚棋子。

例3.25×25的方格表内写上1—25，使得每行每列都是25个不同的数，并且以某条对角线为对称轴。

请说明，这条对角线上是25个不同的数。

例4.黑板上写着1、2…1985，每次擦去任意两个，并且写上两数之差。

最后剩下一个数，能否是0？

例5.公司100个人，每天晚上3人值班。

一段时间后，能否恰好其中每个人和其余所有人都值过一次班？

例6.在线段AB所在直线上点出45个点。

这些点都不夹在AB之间。

这些点到A、B距离之和能否相等？

例7.圆周上写着4个1和5个0。

每次操作是指：

在9个间隔上写出9个新的数。

如果原有相邻两数不等，那么间隔处写0，反之写1。

然后擦掉原先9个数。

若干次操作之后能否使圆周上所有数相等？

例8.25个男孩25个女孩围成圈，请说明一定有人左右都是男孩。

第1讲奇偶对称分组课后展示

1.11个齿轮围成一圈，相邻齿轮咬和在一起。

所有齿轮能否同时转动？

2.能否画出一条9节的封闭折线，每一节恰好和另外一节相交？

3.一本书共2012页，撕下其中25页，这25页上面页码的和能否等于2012？

4.5×5的方格纸去掉一个小方格，剩余部分可用1×2的骨牌覆盖。

可以去掉哪个小方格？

5.甲乙丙进行乒乓球比赛，谁输一局就下场换人。

甲打了9局，乙打了6局，丙最多打几局？

6.无限大的正方形格点平面上，有只跳蚤在某格点上。

每次这只跳蚤跳跃距离都是5，并且只能落在格点上。

这只跳蚤能否跳跃2012次之后到达与出发点相邻的格点上？

第2讲抽屉原理与图

例1.试说明等边三角形不会被两个更小的等边三角形完全盖住。

例2.某行星表面超过一半被冰覆盖。

试说明可以开凿一条隧道穿过行星中心，使隧道两端都是有冰覆盖的。

例3.试说明一定有3的若干次方，以001结尾。

例4.100人围坐，其中法国人超过一半。

试说明有两个法国人对着坐。

例5.有9个人，每个人在这些人中至少认识4人。

试说明任意两人都能通过认识的人联系在一起。

例6.五边形的某三个相邻顶点上各放一枚棋子，每次操作将某个棋子移动到对角位置。

若干次之后，能否其中一个还在原位置，另外两个位置互换？

例7.苏老师连续77天每天都做题。

连续七天最多做12道。

为什么扈老师断言一定有连续若干天苏老师做了21道题？

例8.将平面上所有点染成三种颜色之一：

红、黄、蓝。

试说明必有两个同色点距离是1。

第2讲抽屉原理与图课后展示

1.口袋内装有4个红球、6个黑球和8个白球，一次最少取出多少个球，才能保证至少有1个白球和1个黑球？

2.有64只乒乓球放在18个盒子中，每个盒子最多放6只乒乓球．那么最少有几个盒子里的乒乓球数目相同？

3.试说明多面体必有某个面边数小于6.

4.试说明，从任意10个整数中都能找出若干个，总和是10的倍数。

5.120厘米长得钢丝，做成棱长10厘米的立方体骨架，最少要切成几段？

6.某国每一个城市都有100条道路通往其他城市，任意两个城市都是可以由若干条道路连接的。

如果关闭其中一条道路，那么仍然能从一个城市到达任意另外一个城市吗？

第3讲游戏与策略

例1.两人轮流在国际象棋棋盘上摆“象”，使得棋子相互不会被吃。

谁无法继续算输。

例2.两堆石子都是7颗，两人轮流取石子。

每次可从任意某堆取任意多块。

无石子可取算输。

例3.黑板上写着36、26。

两人轮流写新数。

新写的数必须等于原有某两数之差。

无法继续算输。

例4.国际棋盘左下角有个“王”，两人轮流移动。

每次可以向右或向上或向右上移动一格。

先将棋子移动到右上角算赢。

例5.石子300颗，两人轮流取石子。

每次不可拿走超过一半。

无法继续算输。

例6.石子60颗，两人轮流取石子。

每次取出树木都是现有数目的约数。

谁先拿光谁输。

例7.两堆石子都是11颗，两人轮流取石子。

每次可从任意某堆取任意2块，另一堆取一块。

无石子可取算输。

例8.从2开始做加法，每次加上一个小于自身的任意非0自然数并擦掉原数，谁先得到1000算赢。

第3讲游戏与策略课后展示

1.两人轮流在国际象棋棋盘上摆“车”，使得棋子相互不会被吃。

谁无法继续算输。

2.两人轮流用1×2纸片覆盖10×10棋盘，纸片不能重叠或出格。

无法继续算输。

3.圆周上有20个点，两人轮流用线段连接这些点，不与已有线段相交，无法继续算输。

4.年糕堆成4×3×3长方体，两人轮流用毛衣针戳年糕，每次都是戳一串立柱，并且都是戳没戳过的年糕，无法继续算输。

5.从1000开始做减法，每次减去2的若干次方。

谁能得到0谁赢。

6.小名、小亮两人玩扑克牌，他们手里各有点数为1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的纸牌各一张。

两人每轮各出一张牌，点数大的为胜，并将两张牌的点数差（大减小），做为获胜一方的分数，另一方不得分，10轮牌出完之后，两人总分之和最大是。

第4讲不变量

例1.某部落语言中只有两个字母A、B。

如果某个单词中删去相连的字母AB，则保持意义不变。

同样，添加BA或AABB也是保持意义不变。

那么单词A与单词B是否一定意义相同？

例2.一个圆分为六个扇形，每个扇形中放一枚棋子。

每一步允许将任意两个棋子移动到相邻扇形。

若干步之后能否将所有棋子移动到同一个扇形里？

例3.黑板上写着1、2、3、4…20。

允许擦掉两个数，并且写上这两个数之和与1的差。

最后剩1个数是几？

例4.积木盒中的积木有1×4的和2×2的铺满了一层。

如果丢了一块1×4的，捡到一块2×2的还能放进盒子里边吗？

例5.在中国一块钱能换十美元，在美国一美元能换十块钱。

如果有一块钱，能否经过几次兑换，使手中的人民币与美元数额相同？

例6.一堆石子1001颗，每次先从某一堆（不止一颗石子）扔掉一个，然后把某一堆分成分为两堆。

若干次之后能否每堆都是三个？

例7.某海岛上生活着45条变色龙，其中有13条灰色的，15条褐色和17条紫色的。

每当两条颜色不同的变色龙相遇时，它们就一起都变为第三种颜色（例如，灰色和褐色相遇，就都变为紫色）。

能否经过一段时间，45条变色龙全都变为同一颜色？

例8.有3部卡片打印机。

第一部能根据原有卡片上的号码

，打印一张号码为

的卡片；第二部则当原号码

中二数皆为偶数时，打印一张号码为

的卡片；第三部根据两张号码分别为

和

的卡片，打印一张号码为

的卡片。

打印过后，原有卡片和新卡片全都归顾客所得。

试问，能否利用这3部打印机，由一张卡片为

的卡片得到号码为

的卡片？

第4讲不变量课后展示

1.从

到

的每一个数反复地被换成该数所有数字的和，直到得到

个一位数。

这些数中1多还是2多？

2.棋子“骆驼”在

的棋盘上走

步，即往横向走一格再往纵向走三格（横1纵3），也可纵1横3。

（有点象“马”，不过“马”是走

步）。

试问，“骆驼”可否经过几次跳动到达某个与原来相邻的方格？

3.一条龙有100个头。

一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头，就在这四种情况下，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头。

如果把头都砍光时，龙就死了。

龙会死吗？

4.在一个

的方块中，九个

方格被感染了。

在单位时间后，只要是某个未感染的格子与两个已感染的格子相邻，这个格子也被感染。

问感染是否能传播到每个格子？

5.12名矮人住在森林里，每人将自己的房子染成红色或白色．在每年的第i月，第i个矮子访问他所有的朋友（这12个矮人中的）．如果他发现大多数朋友的房子与自己颜色不同，那么他就将自己房子的颜色改变，与大多数朋友的保持一致．证明：

不久以后，这些矮人就不需要改变颜色了．

6.在

的棋盘的每个方格中有一个整数。

每次可取一个

或

的正方形，并把其中的每个数都加上1。

是否总能得到一个数表，使得

表中每个数都是偶数；

表中每个数都是3的倍数？

第5讲综合复习

例1.．已知a是各位数字相同的两位数，b是各位数字相同的两位数，c是各位数字相同的四位数，且

．求所有满足条件的（a，b，c）．

例2.如图所示，正方形ABCD的面积为12，AE=ED，且EF=2FC，那么△ABF的面积是．

例3.纸板上写着100、200、400三个自然数，再写上两个自然数，然后从这五个数中选出若干个（至少两个）做只有加、减法的四则运算，在一个四则运算式子中，选出的数只能出现一次，经过所有这样的运算，可以得到k个不同的非零自然数。

那么k最大是多少？

例4.有57个边长等于1的小等边三角形拼成一个内角都不大于180的六边形，小等边三角形之间既无缝隙，也没有重叠部分．则这个六边形的周长至少是多少？

例5.试确定积

的末两位的数字．

例6.如右图所示，梯形ABCD的面积为117平方厘米，AD//BC，EF=13厘米，MN=4厘米，又已知EF

MN于O点，那么阴影部分的总面积为____________平方厘米。

例7.老师问学生：

“昨天你们有几个人复习数学了？

”

　　　张：

“没有人”

　　　李：

“一个人”

　　　王：

“二个人”

　　　赵：

“三个人”

　　　刘：

“四个人”

　　　老师知道，他们昨天下午有人复习，也有人没复习，复习了的人说的都是真话，没复习的人说的都是假话，昨天这５个人中复习数学的有（　　　）个人

例8.用若干台计算机同时录入一部书稿，计划若干小时完成，如果增加3台计算机，则只需原定时间的75%，如果减少3台计算机，则比原定时间多用

小时，那么原定完成录入这部书稿的时间是（）小时

第5讲综合复习课后展示

1.某地区的气象记录表明，在一段时间内，全天下雨共1天；白天雨夜间晴或白天晴夜间雨共9天；6个夜间和7个白天晴朗．则这段时间有天，其中全天晴有天．

2.计算：

=．

3.某班共36人都买了铅笔，共买了50支，有人买了1支，有人买了2支，有人买了3支．如果买1支的人数是其余人数的2倍，则买2支铅笔的人数是．

4.一列数的前三个依次是1，7，8，以后每个都是它前面相邻三个数之和除以4所得的余数，则这列数中的前2011个数的和是．

5.黑板上写有1，2，3，…，2011一串数．如果每次都擦去最前面的16个数，并在这串数的最后再写上擦去的16个数的和，直至只剩下1个数，则

1）最后剩下的这个数是多少？

2）所有在黑板上出现过的数的总和是多少？

6.若连续的四个自然数都为合数，那么这四个数之和的最小值为（）