集合的概念难题汇编附答案之欧阳道创编.docx
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集合的概念难题汇编附答案之欧阳道创编
2013年9月犀利哥的高中数学组卷
时间：
2021.03.06
创作：
欧阳道
一．选择题（共11小题）
1．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A．
T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．
T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．
T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．
T，V中每一个关于乘法都是封闭的
2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果
，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（ ）
A．
{x|0＜x＜1}
B．
{x|0＜x≤1}
C．
{x|1≤x＜2}
D．
{x|2≤x＜3}
3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：
则2010位于（ ）
A．
第7组
B．
第8组
C．
第9组
D．
第10组
4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（ ）
A．
10个
B．
11个
C．
12个
D．
13个
5．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=
，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
6．（2013•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（ ）
A．
78
B．
76
C．
84
D．
83
7．下列命题正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；
（3）
这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
8．若x∈A则
∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，
，
，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．
15
B．
16
C．
28
D．
25
9．定义A⊗B={z|z=xy+
，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（ ）
A．
3
B．
9
C．
18
D．
27
10．已知元素为实数的集合A满足条件：
若a∈A，则
，那么集合A中所有元素的乘积为（ ）
A．
﹣1
B．
1
C．
0
D．
±1
11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（ ）
A．
a∈P，b∈Q
B．
a∈Q，b∈P
C．
a∈P，b∈P
D．
a∈Q，b∈Q
二．填空题（共14小题）
12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和 _________ ．
13．（2011•上海模拟）已知集合
，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是 _________ ．
14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 _________ ．
15．（2006•四川）非空集合G关于运算⊕满足：
（1）对任意的a，b∈G，都有a⊕b∈G，
（2）存在e∈G，都有a⊕e=e⊕a=a，则称G关于运算⊕为“融洽集”．现给出下列集合和运算：
①G={非负整数}，⊕为整数的加法．
②G={偶数}，⊕为整数的乘法．
③G={平面向量}，⊕为平面向量的加法．
④G={二次三项式}，⊕为多项式的加法．
⑤G={虚数}，⊕为复数的乘法．
其中G关于运算⊕为“融洽集”的是 _________ ．（写出所有“融洽集”的序号）
16．（2012•安徽模拟）给定集合A，若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，则称集合A为闭集合，给出如下五个结论：
①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合A={n|n=3k，k∈Z}是闭集合；
④若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；
⑤若集合A1，A2为闭集合，且A1⊆R，A2⊆R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．
其中正确的结论的序号是 _________ ．
17．（2011•绵阳三模）设集合A⊆R，对任意a、b、c∈A，运算“⊕具有如下性质：
（1）a⊕b∈A；
（2）a⊕a=0；（3）（a⊕b）⊕c=a⊕c+b⊕c+c
给出下列命题：
①0∈A
②若1∈A，则（1⊕1）⊕1=0；
③若a∈A，且a⊕0=a，则a=0；
④若a、b、c∈A，且a⊕0=a，a⊕b=c⊕b，则a=c．
其中正确命题的序号是 _________ （把你认为正确的命题的序号都填上）．
18．已知集合A={a1，a2，…，an，n∈N*且n＞2}，令TA={x|x=ai+aj}，ai∈A，aj∈A，1≤i≤j≤n，card（TA）表示集合TA中元素的个数．
①若A={2，4，8，16}，则card（TA）= _________ ；
②若ai+1﹣ai=c（1≤i≤n﹣1，c为非零常数），则card（TA）= _________ ．
19．设集合M={1，2，3，4，5，6}，S1，S2，…，Sk都是M的含两个元素的子集，且满足：
对任意的Si={ai，bi}，Sj={aj，bj}（i≠j，i、j∈{1，2，3，…，k}），都有
（min{x，y}表示两个数x，y中的较小者），则k的最大值是 _________ ．
20．设集合A=
，B=
，函数f（x）=
若x0∈A，且f[f（x0）]∈A，则x0的取值范围是 _________ ．
21．（文）设集合A⊆R，如果x0∈R满足：
对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合A的聚点．则在下列集合中：
（1）Z+∪Z﹣
（2）R+∪R﹣（3）
（4）
以0为聚点的集合有 _________ （写出所有你认为正确结论的序号）．
22．用描述法表示图中的阴影部分（包括边界）
_________ ．
23．设
，则A∩B用列举法可表示为 _________ ．
24．如果具有下述性质的x都是集合M中的元素，即
，其中a，b∈Q．则下列元素：
①
；②
；
③
；④
．其中是集合M的元素是 _________ ．（填序号）
25．用列举法表示集合：
= _________ ．
三．解答题（共5小题）
26．（2007•北京）已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：
S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．
（I）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；
（II）对任何具有性质P的集合A，证明：
；
（III）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．
27．对于集合A={x|x=m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}，因为16=52﹣32，所以16∈A，研究下列问题：
（1）1，2，3，4，5，6六个数中，哪些属于A，哪些不属于A，为什么？
（2）讨论集合B={2，4，6，8，…，2n，…}中有哪些元素属于A，试给出一个一般的结论，不必证明．
28．已知集合A={x|x=m+n
，m，n∈Z}．
（1）设x1=
，x2=
，x3=（1﹣3
）2，试判断x1，x2，x3与集合A之间的关系；
（2）任取x1，x2∈A，试判断x1+x2，x1•x2与A之间的关系．
29．已知集合A的全体元素为实数，且满足若a∈A，则
∈A．
（1）若a=2，求出A中的所有元素；
（2）0是否为A中的元素？
请再举例一个实数，求出A中的所有元素；
（3）根据
（1）、
（2），你能得出什么结论？
30．设非空集合S具有如下性质：
①元素都是正整数；②若x∈S，则10﹣x∈S．
（1）请你写出符合条件，且分别含有一个、二个、三个元素的集合S各一个；
（2）是否存在恰有6个元素的集合S？
若存在，写出所有的集合S；若不存在，请说明理由；
（3）由
（1）、
（2）的解答过程启发我们，可以得出哪些关于集合S的一般性结论（要求至少写出两个结论）？
2013年9月犀利哥的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共11小题）
1．（2011•广东）设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）
A．
T，V中至少有一个关于乘法是封闭的
B．
T，V中至多有一个关于乘法是封闭的
C．
T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的
D．
T，V中每一个关于乘法都是封闭的
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
压轴题；阅读型；新定义．
分析：
本题从正面解比较困难，可运用排除法进行作答．考虑把整数集Z拆分成两个互不相交的非空子集T，V的并集，如T为奇数集，V为偶数集，或T为负整数集，V为非负整数集进行分析排除即可．
解答：
解：
若T为奇数集，V为偶数集，满足题意，此时T与V关于乘法都是封闭的，排除B、C；
若T为负整数集，V为非负整数集，也满足题意，此时只有V关于乘法是封闭的，排除D；
从而可得T，V中至少有一个关于乘法是封闭的，A正确
故选A．
点评：
此题考查学生理解新定义的能力，会判断元素与集合的关系，是一道比较难的题型．
2．（2007•湖北）设P和Q是两个集合，定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，如果
，Q={x||x﹣2|＜1}，那么P﹣Q等于（ ）
A．
{x|0＜x＜1}
B．
{x|0＜x≤1}
C．
{x|1≤x＜2}
D．
{x|2≤x＜3}
考点：
元素与集合关系的判断；绝对值不等式的解法．
专题：
计算题．
分析：
首先分别对P，Q两个集合进行化简，然后按照P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，求出P﹣Q即可．
解答：
解：
∵
化简得：
P={x|0＜x＜2}
而Q={x||x﹣2|＜1}
化简得：
Q={x|1＜x＜3}
∵定义集合P﹣Q={x|x∈P，且x∉Q}，
∴P﹣Q={x|0＜x≤1}
故选B
点评：
本题考查元素与集合关系的判断，以及绝对值不等式的解法，考查对集合知识的熟练掌握，属于基础题．
3．（2010•延庆县一模）将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组如下：
则2010位于（ ）
A．
第7组
B．
第8组
C．
第9组
D．
第10组
考点：
元素与集合关系的判断；集合的表示法；等差数列；等比数列．
专题：
计算题．
分析：
首先将正偶数集合按大小顺序排列是一个等差数列，先求出2010是此数列中的第几项，然后按第n组有2n个偶数进行分组，每组中集合元素的个数正好是等比数列，求出
解答：
解：
正偶数集按从小到大的顺序排列组成数列2，4，6…2n
2n=2010，n=1005
由第一组{2，4}的元素是2个
第二组{6，8，10，12}的元素是4个
第三组{14，16，18，20，22，24，26，28}的元素是8个
…
第m组的元素是2n个2+4+8+…+2n=
=2m+1﹣2
2m+1﹣2＜1005，解得2m＜503.5
m∈z，28=256，29=512，256＜503.5＜512
所以，m=9，
故选C．
点评：
此题表面是一个集合题，实际上考查等差数列的通项公式和等比数列求和公式，但过程中一定要思路清晰，否则容易出错．
4．（2009•闸北区一模）设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（ ）
A．
10个
B．
11个
C．
12个
D．
13个
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
综合题；压轴题．
分析：
本题考查的是新定义和集合知识联合的问题．在解答时首先要明确集合A的所有子集是什么，然后严格按照题目当中对“孤立元”的定义逐一验证即可．当然，如果按照“孤立元”出现的情况逐一排查亦可．
解答：
解：
“孤立元”是1的集合：
{1}；{1，3，4}；{1，4，5}；{1，3，4，5}；
“孤立元”是2的集合：
{2}；{2，4，5}；
“孤立元”是3的集合：
{3}；
“孤立元”是4的集合：
{4}；{1，2，4}；
“孤立元”是5的集合：
{5}；{1，2，5}；{2，3，5}；{1，2，3，5}．
点评：
本题考查的是集合知识和新定义的问题．在解答过程当中应充分体会新定义问题概念的确定性，与集合子集个数、子集构成的规律．此题综合性强，值得同学们认真总结和归纳．
5．用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B=
，若A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，由a的所有可能值构成的集合是S，那么C（S）等于（ ）
A．
4
B．
3
C．
2
D．
1
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
计算题；压轴题；新定义；分类讨论．
分析：
根据A={1，2}，B={x||x2+ax+1|=1}，且A*B=1，可知集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，然后对方程|x2+ax+1|=1的根的个数进行讨论，即可求得a的所有可能值，进而可求C（S）．
解答：
解：
|x2+ax+1|=1⇔x2+ax+1=1或x2+ax+1=﹣1，
即x2+ax=0①
或x2+ax+2=0②，
∵A={1，2}，且A*B=1，
∴集合B要么是单元素集合，要么是三元素集合，
1°集合B是单元素集合，则方程①有两相等实根，②无实数根，
∴a=0；
2°集合B是三元素集合，则
方程①有两不相等实根，②有两个相等且异于①的实数根，
即
，解得a=±2
，
综上所述a=0或a=±2
，
∴C（S）=3．
故选B．
点评：
此题是中档题．考查元素与集合关系的判断，以及学生的阅读能力和对新定义的理解与应用．
6．（2013•宁波模拟）设集合S={1，2，3，4，5，6，7，8，9}，集合A={a1，a2，a3}是S的子集，且a1，a2，a3满足a1＜a2＜a3，a3﹣a2≤6，那么满足条件的集合A的个数为（ ）
A．
78
B．
76
C．
84
D．
83
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
计算题．
分析：
从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，再把不符合条件的去掉，就得到满足条件的集合A的个数．
解答：
解：
从集合S中任选3个元素组成集合A，一个能组成C93个，
其中A={1，2，9}不合条件，其它的都符合条件，
所以满足条件的集合A的个数C93﹣1=83．
故选D．
点评：
本题考查元素与集合的关系，解题时要认真审题，仔细思考，认真解答．
7．下列命题正确的有（ ）
（1）很小的实数可以构成集合；
（2）集合{y|y=x2﹣1}与集合{（x，y）|y=x2﹣1}是同一个集合；
（3）
这些数组成的集合有5个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
A．
0个
B．
1个
C．
2个
D．
3个
考点：
集合的含义．
专题：
计算题．
分析：
（1）（3）中由集合元素的性质：
确定性、互异性可知错误；
（2）中注意集合中的元素是什么；（4）中注意x=0或y=0的情况．
解答：
解：
（1）中很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；
（2）中集合{y|y=x2﹣1}的元素为实数，而集合{（x，y）|y=x2﹣1}的元素是点；
（3）有集合元素的互异性这些数组成的集合有3个元素；
（4）集合{（x，y）|xy≤0，x，y∈R}中还包括实数轴上的点．
故选A
点评：
本题考查集合元素的性质和集合的表示，属基本概念的考查．
8．若x∈A则
∈A，就称A是伙伴关系集合，集合M={﹣1，0，
，
，1，2，3，4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为（ ）
A．
15
B．
16
C．
28
D．
25
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
综合题；压轴题；新定义．
分析：
先找出具有伙伴关系的元素：
﹣1，1，
、2，
、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，
利用组合知识求解即可．
解答：
解：
具有伙伴关系的元素组有﹣1，1，
、2，
、3共四组，它们中任一组、二组、三组、四组均可组成非空伙伴关系集合，
个数为C41+C42+C43+C44=15
故选A
点评：
本题考查集合的子集问题、排列组合等知识，考查学生利用所学知识分析问题、解决问题的能力．
9．定义A⊗B={z|z=xy+
，x∈A，y∈B}．设集合A={0，2}，B={1，2}，C={1}．则集合（A⊗B）⊗C的所有元素之和为（ ）
A．
3
B．
9
C．
18
D．
27
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
新定义．
分析：
首先根据题意，求出A⊗B中的元素，然后求出（A⊗B）⊗C中所含的元素，最后求和即可．
解答：
解：
由题意可求
（A⊗B）中所含的元素有0，4，5，
则（A⊗B）⊗C中所含的元素有0，8，10，
故所有元素之和为18．
故选C
点评：
本题考查元素与集合关系的判断，通过集合间的关系直接判断最后求和即可，属于基础题．
10．已知元素为实数的集合A满足条件：
若a∈A，则
，那么集合A中所有元素的乘积为（ ）
A．
﹣1
B．
1
C．
0
D．
±1
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
计算题；新定义．
分析：
根据若a∈A，则
，依据定义令a=
代入
进行求解，依次进行赋值代入
进行化简，把集合A中元素所有的形式全部求出，再求出它们的乘积．
解答：
解：
由题意知，若a∈A，则
，
令a=
，代入
=
=
；令a=
代入
=
=
，
令a=
，代入
=
=a，
A={a，
，
，
，}，则所有元素的乘积为1，
故选B．
点评：
本题主要考查集合的应用，题目比较新颖，以及阅读题意的能力，有一定的难度，主要对集合元素的理解．
11．设集合P={x|x=2k﹣1，k∈Z}，集合Q={y|y=2n，n∈Z}，若x0∈P，y0∈Q，a=x0+y0，b=x0•y0，则（ ）
A．
a∈P，b∈Q
B．
a∈Q，b∈P
C．
a∈P，b∈P
D．
a∈Q，b∈Q
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
计算题．
分析：
据集合中元素具有集合中元素的属性设出x0，y0，求出x0+y0，x0•y0并将其化简，判断其具有Q，P中哪一个集合的公共属性．
解答：
解：
∵x0∈P，y0∈Q，
设x0=2k﹣1，y0=2n，n，k∈Z，
则x0+y0=2k﹣1+2n=2（n+k）﹣1∈P，
x0y0=（2k﹣1）（2n）=2（2nk﹣n），故x0y0∈Q．
故a∈P，b∈Q，
故选A．
点评：
本题考查集合中的元素具有集合的公共属性、元素与集合关系的判断、等基础知识，考查化归与转化思想．属于基础题．
二．填空题（共14小题）
12．（2004•虹口区一模）定义集合A，B的一种运算“*”，A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．若A={1，2，3}，B={1，2}，则集合A*B中所有元素的和 14 ．
考点：
集合的含义．
专题：
新定义．
分析：
由A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}，A={1，2，3}，B={1，2}，知A*B={2，3，4，5}，由此能求出集合A*B中所有元素的和．
解答：
解：
∵A*B={p|p=x+y，x∈A，y∈B}．
A={1，2，3}，B={1，2}，
∴A*B={2，3，4，5}，
2+3+4+5=14．
故答案为：
14．
点评：
本题考查集合的概念，解题时要认真审题，注意新定义的灵活运用．
13．（2011•上海模拟）已知集合
，且2∈A，3∉A，则实数a的取值范围是
．
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
计算题；转化思想．
分析：
根据集合
，且2∈A，3∉A，知道2满足不等式
，3不满足该不等式，即
，解此不等式组即可求得实数a的取值范围．
解答：
解：
∵
，且2∈A，3∉A，
∴
，
解得：
．
故答案为
．
点评：
此题是个中档题．考查了元素与集合之间的关系，以及分式不等式的求解，对题意的正确理解和转化是解决此题的关键．
14．集合S={1，2，3，4，5，6}，A是S的一个子集，当x∈A时，若x﹣1∉A，x+1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，那么S中无“孤立元素”的4元子集的个数是 6 ．
考点：
元素与集合关系的判断．
专题：
计算题；压轴题．
分析：
由S={1，2，3，4，5，6}，结合x∈A时，
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