MATLAB课件概率论基础.docx
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MATLAB课件概率论基础
第十章概率论基础
以下将简单的介绍排列组合公式的计算，随机数的产生以及常见函数的概率密度的计算。
1.1排列组合
1阶乘：
=factorial（n）
【例1.1】计算3！
>>factorial（3）
ans=
6
2组合：
=nchoosek（n,k）
【例1.2】计算
>>nchoosek（5,3）
ans=
10
3排列：
=nchoosek（n,k）*factorial（k）
【例1.3】计算
>>nchoosek（5,3）*factorial（3）
ans=
60
也可自行编写程序：
functiony=pailie（n,k）
y=nchoosek（n,k）*factorial（k）;
>>pailie（5,3）
y=
60
1.2随机数的产生
1.2.1.二项分布的随机数据的产生
命令生成参数为N，P的二项随机数据
函数binornd
格式R=binornd（N,P）%N、P为二项分布的两个参数，返回服从参数为N、P的二项分布的随机数。
R=binornd（N,P,m）%随机生成m行m列数据。
R=binornd（N,P,m,n）%m,n分别表示R的行数和列数。
【例1.4】
>>R=binornd（10,0.4）
R=
4
>>R=binornd（10,0.4,3）
R=
244
343
274
>>R=binornd（10,0.4,1,5）
R=
35655
>>R=binornd（10,0.4,[2,5]）
R=
41434
76642
1.2.2正态分布的随机数据的产生
命令生成参数为μ、σ的正态分布的随机数据
函数normrnd
格式R=normrnd（MU,SIGMA）%返回均值为MU，标准差为SIGMA的正态分布的随机数据，R可以是向量或矩阵。
R=normrnd（MU,SIGMA,m）%随机生成m行m列数据。
R=normrnd（MU,SIGMA,m,n）%m,n分别表示R的行数和列数。
【例1.5】
>>R=normrnd（12,0.4,[2,4]）%mu为12，sigma为0.4的2行4列个正态随机数
R=
11.331911.514912.260912.4331
12.188712.026512.130812.4024
>>R=normrnd（12,0.4,3）
R=
12.871112.176512.0658
12.455411.440712.2991
11.001211.898011.8908
1.2.3常见分布的随机数产生函数
常见分布的随机数函数的使用格式与上面相同，具体见表1.1
表1.1随机数产生函数表
函数名
调用形式
注释
Unifrnd
unifrnd（A,B,m,n）
[A,B]上均匀分布（连续）随机数
Unidrnd
unidrnd（N,m,n）
均匀分布（离散）随机数
Exprnd
exprnd（Lambda,m,n）
参数为Lambda的指数分布随机数
Normrnd
normrnd（MU,SIGMA,m,n）
参数为MU，SIGMA的正态分布随机数
chi2rnd
chi2rnd（N,m,n）
自由度为N的卡方分布随机数
Trnd
trnd（N,m,n）
自由度为N的t分布随机数
Frnd
frnd（N1,N2,m,n）
第一自由度为N1,第二自由度为N2的F分布随机数
gamrnd
gamrnd（A,B,m,n）
参数为A,B的
分布随机数
betarnd
betarnd（A,B,m,n）
参数为A,B的
分布随机数
lognrnd
lognrnd（MU,SIGMA,m,n）
参数为MU,SIGMA的对数正态分布随机数
nbinrnd
nbinrnd（R,P,m,n）
参数为R，P的负二项式分布随机数
ncfrnd
ncfrnd（N1,N2,delta,m,n）
参数为N1，N2，delta的非中心F分布随机数
nctrnd
nctrnd（N,delta,m,n）
参数为N，delta的非中心t分布随机数
ncx2rnd
ncx2rnd（N,delta,m,n）
参数为N，delta的非中心卡方分布随机数
raylrnd
raylrnd（B,m,n）
参数为B的瑞利分布随机数
weibrnd
weibrnd（A,B,m,n）
参数为A,B的韦伯分布随机数
binornd
binornd（N,P,m,n）
参数为N,p的二项分布随机数
geornd
geornd（P,m,n）
参数为p的几何分布随机数
hygernd
hygernd（M,K,N,m,n）
参数为M，K，N的超几何分布随机数
Poissrnd
poissrnd（Lambda,m,n）
参数为Lambda的泊松分布随机数
根据表1-1，可方便的生成其他常用分布的随机数据，如：
>>poissrnd（4,2,3）%生成参数为4的泊松分布2行3列的随机数组。
ans=
553
352
1.2.4通用函数求各分布的随机数据
命令求指定分布的随机数
函数random
格式y=random（'name',A1,A2,A3,m,n）%name的取值见表1-1；如均匀分布名为：
’unif’,泊松分布名为：
’poiss’,其他类似可知。
函数名的字母大小写可任意。
A1，A2，A3为分布的参数；m，n指定随机数的行和列
【例1.6】
>>x=random（'norm',1,0.5,2,5）%产生10（2行5列）个均值为1，标准差为0.5
的正态分布随机数
x=
0.67450.52781.46240.97251.2973
1.12850.33911.00001.45561.1751
>>x=random（'NOrM',1,0.5,2,5）%函数名的字母大小写可任意。
x=
1.06011.20641.37980.69800.8462
1.28560.50650.67141.08850.9341
>>x=random（'UNIf',1,4,2,5）%产生均匀分布随机数组
x=
1.20642.59262.22293.15512.5940
1.95882.96333.45993.90591.9754
1.3随机变量的概率密度计算
1.3.1通用函数计算概率密度函数值
命令通用函数计算概率密度函数值
函数pdfprobabilitydensityfunction
格式Y=pdf（name，K，A）
Y=pdf（name，K，A，B）
Y=pdf（name，K，A，B，C）
说明返回在X=K处、参数为A、B、C的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是不同；name为分布函数名，其取值如表1.2。
表1.2常见分布函数表
name的取值
函数说明
'beta'
或
'Beta'
Beta分布
'bino'
或
'Binomial'
二项分布
'chi2'
或
'Chisquare'
卡方分布
'exp'
或
'Exponential'
指数分布
'f'
或
'F'
F分布
'gam'
或
'Gamma'
GAMMA分布
'geo'
或
'Geometric'
几何分布
'hyge'
或
'Hypergeometric'
超几何分布
'logn'
或
'Lognormal'
对数正态分布
'nbin'
或
'NegativeBinomial'
负二项式分布
'ncf'
或
'NoncentralF'
非中心F分布
'nct'
或
'Noncentralt'
非中心t分布
'ncx2'
或
'NoncentralChi-square'
非中心卡方分布
'norm'
或
'Normal'
正态分布
'poiss'
或
'Poisson'
泊松分布
'rayl'
或
'Rayleigh'
瑞利分布
't'
或
'T'
T分布
'unif'
或
'Uniform'
均匀分布
'unid'
或
'DiscreteUniform'
离散均匀分布
'weib'
或
'Weibull'
Weibull分布
【例1.7】计算正态分布N（0，1）的随机变量X在点0.5的密度函数值。
解：
>>pdf（'norm',0.5,0,1）
ans=
0.3521
【例1.8】计算二项分布B（5,0.2）的随机变量在X=2处的概率。
>>pdf（'bino',2,5,0.1）
ans=
0.0729
>>nchoosek（5,2）*0.1^2*0.9^3%即pdf（'bino',2,5,0.1）=
ans=
0.0729
1.3.2专用函数计算概率密度函数值
命令正态分布的概率值
函数normpdf（K,mu,sigma）%计算参数为μ=mu，σ=sigma的正态分布密度函数在K处的值
命令指数分布的概率值
函数exppdf（K,lamda）%计算参数为lamda的指数分布密度函数在K处的值
命令均匀分布的概率值
函数unifpdf（x,a,b）%计算[a,b]上均匀分布（连续）概率密度在X=x处的函数值
命令泊松分布的概率值
函数poisspdf
格式poisspdf（k,Lambda）%等同于
命令二项分布的概率值
函数binopdf
格式binopdf（k,n,p）%等同于
，p—每次试验事件A发生的概率；K—事件A发生K次；n—试验总次数
专用函数计算概率密度函数列表如表1.3。
表1.3专用函数计算概率密度函数表
函数名
调用形式
注释
Unifpdf
unifpdf（x,a,b）
[a,b]上均匀分布（连续）概率密度在X=x处的函数值
unidpdf
Unidpdf（x,n）
均匀分布（离散）概率密度函数值
Exppdf
exppdf（x,Lambda）
参数为Lambda的指数分布概率密度函数值
normpdf
normpdf（x,mu,sigma）
参数为mu，sigma的正态分布概率密度函数值
chi2pdf
chi2pdf（x,n）
自由度为n的卡方分布概率密度函数值
Tpdf
tpdf（x,n）
自由度为n的t分布概率密度函数值
Fpdf
fpdf（x,n1,n2）
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布概率密度函数值
gampdf
gampdf（x,a,b）
参数为a,b的
分布概率密度函数值
betapdf
betapdf（x,a,b）
参数为a,b的
分布概率密度函数值
lognpdf
lognpdf（x,mu,sigma）
参数为mu,sigma的对数正态分布概率密度函数值
nbinpdf
nbinpdf（x,R,P）
参数为R，P的负二项式分布概率密度函数值
Ncfpdf
ncfpdf（x,n1,n2,delta）
参数为n1，n2，delta的非中心F分布概率密度函数值
Nctpdf
nctpdf（x,n,delta）
参数为n，delta的非中心t分布概率密度函数值
ncx2pdf
ncx2pdf（x,n,delta）
参数为n，delta的非中心卡方分布概率密度函数值
raylpdf
raylpdf（x,b）
参数为b的瑞利分布概率密度函数值
weibpdf
weibpdf（x,a,b）
参数为a,b的韦伯分布概率密度函数值
binopdf
binopdf（x,n,p）
参数为n,p的二项分布的概率密度函数值
geopdf
geopdf（x,p）
参数为p的几何分布的概率密度函数值
hygepdf
hygepdf（x,M,K,N）
参数为M，K，N的超几何分布的概率密度函数值
poisspdf
poisspdf（x,Lambda）
参数为Lambda的泊松分布的概率密度函数值
【例1.9】绘制卡方分布密度函数在自由度分别为2、8、20的图形
>>x=0:
0.1:
50;%对x进行赋值
>>y1=chi2pdf（x,2）;plot（x,y1,':
'）
>>holdon%图形保持开关开启。
>>y2=chi2pdf（x,8）;plot（x,y2,'+'）
>>y3=chi2pdf（x,20）;plot（x,y3,'o'）
>>axis（[0,50,0,0.2]）%指定显示的图形区域
则图形为图1.1。
图1.1
1.3.3常见分布的密度函数作图
以下将分别给出几种常见分布的密度函数的图形描绘。
1．二项分布、泊松分布
【例1.10】
>>x1=0:
10;y1=binopdf（x1,10,0.4）;subplot（1,2,1）;plot（x1,y1,'+'）
>>x2=0:
15;y2=poisspdf（x2,6）;subplot（1,2,2）;plot（x2,y2,'+'）
图1.2
2．指数分布、正态分布
【例1.11】
>>x1=0:
0.1:
15;y1=exppdf（x1,3）;subplot（1,2,1）;plot（x1,y1）
>>x2=-3:
0.15:
3;y2=normpdf（x2,0,1）;subplot（1,2,2）;plot（x2,y2）
图1.3
3．Γ分布、卡方分布
【例1.12】
>>x=gaminv（（0.005:
0.01:
0.995）,100,10）;y=gampdf（x,100,10）;
>>y1=normpdf（x,1000,100）;subplot（1,2,1）;plot（x,y,'-',x,y1,'-.'）
>>xx=0:
0.1:
20;yy=chi2pdf（xx,5）;subplot（1,2,2）;plot（xx,yy）
图1.4
4．T分布、F分布
【例1.13】
>>x=-4:
0.1:
4;y=tpdf（x,6）;z=normpdf（x,0,1）;subplot（1,2,1）;plot（x,y,'-',x,z,'-.'）
>>xx=0:
0.01:
10;yy=fpdf（xx,5,3）;subplot（1,2,2）;plot（xx,yy）
图1.5
随机变量的累积概率值和逆累积概率值的计算往往都需要查表计算，而教科书上的分布表的篇幅十分有限，对更多的结果无从查起，而MATLAB可以完整的计算所需的数据所有结果，以下将分别介绍。
2.1随机变量的累积概率值
2.1.1通用函数计算累积概率值
命令通用函数cdf用来计算随机变量
的概率之和（累积概率值）
函数cdfcumulativedistributionfunction
格式
说明返回以name为分布、随机变量X≤K的概率之和的累积概率值，name的取值见第一章中的表1-2常见分布函数表
【例2.1】求自由度为20的t分布随机变量落在X<2内的概率
>>cdf（'t',2,20）
ans=
0.9704
【例2.2】求标准正态分布随机变量X落在区间（-∞，0.8）内的概率（该值就是概率统计教材中的附表：
标准正态数值表）。
解：
>>cdf（'norm',0.8,0,1）
ans=
0.7881
2.1.2专用函数计算累积概率值（随机变量
的概率之和）
命令正态分布的累积概率值
函数normcdf
格式normcdf（
）%返回F（x）=
的值，mu、sigma为正态分布的两个参数
【例2.3】设X~N（1,22）
求
解p1=
p2=
则有：
>>p1=normcdf（5,1,2）-normcdf（2,1,2）
p1=
0.2858
>>p2=normcdf（10,1,2）-normcdf（-4,1,2）
p2=
0.9938
命令二项分布的累积概率值
函数binocdf
格式binocdf（k,n,p）%n为试验总次数，p为每次试验事件A发生的概率，k为n次试验中事件A发生的次数，该命令返回n次试验中事件A恰好发生k次的概率。
命令泊松分布的累积概率值
函数poisscdf
格式poisscdf（k,lamda）参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
【例2.4】已知随机变量X服从参数lamda=4的泊松分布，试求P{X≤5}
>>poisscdf（5,4）
ans=
0.7851
专用函数计算累积概率值函数列表如表2.1。
表2.1专用函数的累积概率值函数表
函数名
调用形式
注释
unifcdf
unifcdf（x,a,b）
[a,b]上均匀分布（连续）累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
unidcdf
unidcdf（x,n）
均匀分布（离散）累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
expcdf
expcdf（x,Lambda）
参数为Lambda的指数分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
normcdf
normcdf（x,mu,sigma）
参数为mu，sigma的正态分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
chi2cdf
chi2cdf（x,n）
自由度为n的卡方分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
tcdf
tcdf（x,n）
自由度为n的t分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
fcdf
fcdf（x,n1,n2）
第一自由度为n1,第二自由度为n2的F分布累积分布函数值
gamcdf
gamcdf（x,a,b）
参数为a,b的
分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
betacdf
betacdf（x,a,b）
参数为a,b的
分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
logncdf
logncdf（x,mu,sigma）
参数为mu,sigma的对数正态分布累积分布函数值
nbincdf
nbincdf（x,R,P）
参数为R，P的负二项式分布概累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
ncfcdf
ncfcdf（x,n1,n2,delta）
参数为n1，n2，delta的非中心F分布累积分布函数值
nctcdf
nctcdf（x,n,delta）
参数为n，delta的非中心t分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
ncx2cdf
ncx2cdf（x,n,delta）
参数为n，delta的非中心卡方分布累积分布函数值
raylcdf
raylcdf（x,b）
参数为b的瑞利分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
weibcdf
weibcdf（x,a,b）
参数为a,b的韦伯分布累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
binocdf
binocdf（x,n,p）
参数为n,p的二项分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
geocdf
geocdf（x,p）
参数为p的几何分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
hygecdf
hygecdf（x,M,K,N）
参数为M，K，N的超几何分布的累积分布函数值
poisscdf
poisscdf（x,Lambda）
参数为Lambda的泊松分布的累积分布函数值F（x）=P{X≤x}
说明累积概率函数就是分布函数F（x）=P{X≤x}在x处的值。
2.2逆累积分布函数值的计算
MATLAB中的逆累积分布函数是已知
，求x。
类似于累积分布函数的计算，逆累积分布函数值的计算也有两种方法
2.2.1通用函数计算逆累积分布函数值
命令icdf计算逆累积分布函数inversecumulativedistributionfunction
格式
说明返回分布为name，参数为
，累积概率值为P的临界值，这里name与前面表2-1相同。
如果
，则
【例2.5】在标准正态分布表中，若已知
=0.95，求x
解：
>>x=icdf（'norm',0.95,0,1）
x=
1.6449
【例2.6】在
分布表中，若自由度为15，
=0.95，求临界值Lambda。
解：
因为表中给出的值满足
，而逆累积分布函数icdf求满足
的临界值
。
所以，这里的
取为0.05，即
>>Lambda=icdf（'chi2',0.05,15）
Lambda=
7.2609
【例2.7】在假设检验中，求临界值问题：
已知：
，查自由度为20的双边界检验t分布临界值
>>lambda=icdf（'t',0.025,20）
lambda=
-2.0860
2.2.2专用函数-inv计算逆累积分布函数
关于常用临界值函数可查下表2.2。
表2.2常用临界值函数表
函数名
调用形式
注释
unifinv
x=unifinv（p,a,b）
均匀分布（连续）逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求x）
unidinv
x=unidinv（p,n）
均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值
expinv
x=expinv（p,Lambda）
指数分布逆累积分布函数
norminv
x=Norminv（x,mu,sigma）
正态分布逆累积分布函数
chi2inv
x=chi2inv（x,n）
卡方分布逆累积分布函数
tinv
x=tinv（x,n）
t分布累积分布函数
finv
x=finv（x,n1,n2）
F分布逆累积分布函数
gaminv
x=gaminv（x,a,b）
分布逆累积分布函数
betainv
x=betainv（x,a,b）
分布逆累积分布函数
logninv
x=logninv（x,mu,sigma）
对数正态分布逆累积分布函数
nbininv
x=nbininv（x,R,P）
负二项式分布逆累积分布函数
ncfinv
x=ncfinv（x,n1,n2,delta）
非中心F分布逆累积分布函数
nctinv
x=nctinv（x,n,delta）
非中心t分布逆累积分布函数
ncx2inv
x=ncx2inv（x,n,delta）
非中心卡方分布逆累积分布函数
raylinv
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