二重积分的应用.docx
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二重积分的应用
§9.3二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分，使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性（即：
当闭区域D分成许多小闭区域d时，所求量U相应地分成许多部分量U,且UU）。
2、在D内任取一个直径充分小的小闭区域
d时，相应的部分量
U可近似地
表示为f（x，y）d,其中（x,y）
d
J
称f（x,y）d为所求量
U的元素,
并记作dU。
（注：
f（x,y）d的选择标准为：
U
f（x,y）d
是d直径趋于零时较
d更咼阶的无穷小量）
U
f（x,y）d
3、所求量U可表示成积分形式
D
一、曲面的面积
设曲面S由方程zf（x,y）给出，Dxy为曲面S在xoy面上的投影区域,函数f（x，y）在Dxy上具有连续偏导数fx（x，y）和fy（x,y）,现计算曲面的面积A。
在闭区域Dxy上任取一直径很小的闭区域d（它的面积也记作d）,在
d内取一点P（x,y）,对应着曲面S上一点M（x,y,f（x,y））,曲面s在点M处的切平面设为T。
以小区域d的边界为准线作母线平行于z轴的柱面，该柱面在曲面S上截下一小片曲面，在切平面T上截下一小片平面，由于d的直径很小，那一小片平面面积近似地等于那一小片曲面面积。
曲面S在点M处的法线向量（指向朝上的那个）为
n{fx（x,y）,fy（x,y）,1}
它与z轴正向所成夹角的方向余弦为
cos
1f?
（x,y）f：
（x,y）
dA—而cos
所以dA
1f$（x,y）f：
（x,y）d
fx2（x,y）fy2（x,y）d
2
A
故
dxdy
面积
解:
所求曲面在xoy面的投影区域Dxy{（x,y）|xyax}
222
曲面方程应取为Zaxy,则
V2
x2
y2
zy
x2
1zx
z2
x2
曲面在xoy面上的投影区域Dxy为
据曲面的对称性，有
A葺厂a2—X2—y2dXdy
acos
2
22acos_
2aar0d
2
2a（aasin）d
2
4a（aasin）d
0
2a2
（2）
面或zox面,设所得到的投影区域分别为Dyz或Dzx,类似地有
2
X
dydz
z
2
DzxJ
ydzdx
x
二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
设s面上有旳个质点.分别位于点3,”）』（七七）（%弘）处」质量分别为码，朋2厂、叫,由力学卸道」质点系对弋轴，F轴的力矩
分别为
j=lj=1
n
总质量为战二另朋其质点系的重心坐标为
-My
x
m
mixi
i1
Mx
mi
i1
i1
n
mi
i1
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域d,在点（x,y）处的面密度为（x，y）,假定（x,y）在d上连续,如何确定该薄片的重心坐标（x,y）。
在闭区域D上任取一直径很水的闭区域dcr〔这个小闭区域的面积也记作da）,（xj）是这个小闭区域内的一点,由于丛J的直径很小，且MXy）在D上连织所以质片中村应于Rb的邹介的质量近借爭干烦兀y）止力这部分质量可近似地看作集中在点（禺y）处于是，小区域对*轴、y轴的力矩为
dMx=yp（x.y）d（r
dMy=xp{x,y）d
这就是力矩兀素,于是
Mxy（x,y）d
Myx（x,y）d
（x,y）d
又平面薄片的总质量D
从而,薄片的重心坐标为
特别地，如果薄片是均匀的，即面密度为常量，则
十分显然，这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定，因此，习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
［例2】设薄片所占的闭区域D为介于两个圆racos,rbcos
（0ab）之间的闭区域，且面密度均匀，求此均匀薄片的重心（形心）
解:
2
bcos
A
d
d
rdr
：
（b2a2）
D
acos
4
2
2
bcos
My
xd
d
2
rcos
dr
D
2
acos
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有n个质点，它们分别位于点
（Xi，yd（X2，y2）,,（xn，yn）
处，质量分别为m1,m2,,mn。
设质点系对于X轴以及对于y轴的转动惯量依次为
2ymi1
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有xoy面上的闭区域D,在点（x，y）处的面密度为（x，y）,假定（x，y）在D上连续。
现要求该薄片对于x轴、y轴的转动惯量lx,ly与平面薄片对坐标轴的力矩相类似，转动惯量元素为
dlv=x2pCx、加亦
从而』
D
D
2
【例3】求由抛物线yX及直线y1所围成的均匀薄片（面密度为常数）y1
对于直线的转动惯量。
=-1
解：
转动惯量元素为
dl（y1）2d
I（y1）2d
D
11
dx（y1）2dy
1
2x
1
*（y
11
1）3dx8（x21）3dx
1
3
x231
16
64
368
3
35
105
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有xoy面上的闭区域d,在点（x,y）处的面密度为
（x,y）,假定（x,y）在D上连续,现计算该薄片对位于z轴上点M0（°,0,1）
处的单位质量质点的引力
在闭区域D上任取一个丿卜的闭区域川b（该小区域的面积也记作川b\
0』）是皿7内旳一為它的质量近似等于p（x7yjdcr.可将小闭区域伯的质量近似地看作集中在点（禺夕）处，于是薄片对质点的引力近似值为
kp（xry）d^
引力的方向与向量亿”0-1｝一致.其中尸二jM+長+代上为引力常数。
陆（0Q1）
于是，薄片对质点的引力F在三个坐标轴上的分力Fx，Fy,Fz的力元素为
dFx
k（x,y）xd
3r
dF
k（x,y）yd
dFy
3
r
dFz
k（x,y）（01）d
3
Fx
Fy
Fz
k
D
k
D
k
（x,y）xd
3
r
（x,y）yd
3
r
（x,y）d
3
r
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