中考第一轮复习第27讲《尺规作图》专题训练含答案.docx

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中考第一轮复习第27讲《尺规作图》专题训练含答案

第27讲　尺规作图

考纲要求

命题趋势

1．能用尺规完成五种基本作图．

2．会写已知、求作，了解作图的道理，保留作图的痕迹，不要求写出作法．

3．能运用尺规的基本作图方法解决作图的简单应用问题.

　　中考对本部分内容的考查主要是利用尺规作图解决实际问题的能力，题型主要以设计、探究形式的解答题为主.

知识梳理

一、尺规作图

1．定义

只用没有刻度的__________和__________作图叫做尺规作图．

2．步骤

①根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分；②分析

作图的方法和过程；③用直尺和圆规进行作图；④写出作法步骤，即作法．

二、五种基本作图

1．作一条线段等于已知线段；2．作一个角等于已知角；3．作已知角的平分线；4．过一点作已知直线的垂线；5．作已知线段的垂直平分线．

三、基本作图的应用

1．利用基本作图作三角形

（1）已知三边作三角形；

（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形．

2．与圆有关的尺规作图

（1）过不在同一直线上的三点作圆（即三角形的外接圆）．

（2）作三角形的内切圆．

自主测试

1．如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：

分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D两点，则直线CD即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC一定是（　　）

A．矩形B．菱形

C．正方形D．等腰梯形

2．用直尺和圆规作一个菱形，如图，能得到四边形ABCD是菱形的依据是（　　）

A．一组邻边相等的四边形是菱形

B．四边相等的四边形是菱形

C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D．每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

3．如图，△ABC是直角三角形，∠ACB＝

90°.

（1）实验与操作

利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（保留作图痕迹，不写作法）．

①作△ABC的外接圆，圆心为O；

②以线段AC为一边，在AC的右侧作等边△ACD；

③连接BD，交⊙O于点E，连接AE.

（2）综合运用

在你所作的图中，若AB＝4，BC＝2，则

①AD与⊙O的位置关系是__________．

②线段AE的长为__________．

4．A，B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2,2），点B的坐标是（7,3）．

（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A，B两校的距离相等？

如果有，请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．

（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．

考点一、基本作图

【例1】按要求用尺规作图（只保留作图痕迹，不必写出作法）．

（1

）在图

（1）中作出∠ABC的平分线；

（2）在图

（2）中作出△DEF的外接圆O.

方法总结依据基本作图的方法步骤，规范作图，注意一定保留好作图痕迹．

触类旁通1画△ABC，使其两边为已知线段a，b，夹角为β.（要求：

用尺规作图，写出已知、求作；保留作图痕迹；不在已知的线、角上作图；不写作法）

已知：

求作：

考点

二、基本作图的实际应用

【例2】如图，要在一块形状

为直角三角形（∠C为直角）的铁皮上裁出一个半圆形的铁皮，需先在这块铁皮上画出一个半圆，使它的圆心在线段AC上，且与AB，BC都相切．请你用直尺和圆规画出来（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）．

分析：

∵圆与AB，BC都相切，∴圆心到AB，BC的距离相等．∴圆心应是∠ABC的角平分线与AC的交点．

解：

下图即为所求图形．

方法总结要作一个圆与角的两边都相切，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可解决问题．

触类旁通2为了推进农村新型合作医疗制度改革，准备在某镇新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等（A，B，C不在同一直线上，地理位置如下图），请你用尺规作图的方法确定点P的位置．

要求：

写出已知、求作；不写作法，保留作图痕迹．

1．（2019浙江绍兴）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内切正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：

甲：

1．作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点．

2．连接AB，AC.

△ABC即为所求作的三角形．

乙：

1．以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点．

2．连接AB，BC，AC.

△ABC即为所求作的三角形．

对于甲、乙两人的作法，可判断（　　）

A．甲、乙均正确B．甲、乙均错

误

C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确

2．（2019山东济宁）用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠

AOC＝∠BOC的依据是（　　）

A．SSSB．ASA

C．AASD．角平分线上的点到角两边距离相等

3．（2019贵州铜仁）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A，B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A，B，C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置．（要求：

不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹，必须用铅笔作图）

4．（2019山东德州）有公路l1同侧、l2异侧的两个城镇A，B，如

下图．电信部门要修建一座信号发射塔，按照设计要求，发射塔到

两个城镇A，B的距离必须相等，到两条公路l1，l2的距离也必须相等，发射塔C应修建在什么位置？

请用尺规作图找出所有符合条件的点，注明点C的位置．（保留作图痕迹，不要求写出画法）

5．（2019广东）在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，

（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在

（1）中作出∠ABC的平分线BD后，求∠BDC的度数．

1．如图，锐角△ABC中，BC＞AB＞AC，小靖依下列方法作图：

（1）作∠A的角平分线交BC于D点．

（2）作AD的中垂线交AC于E点．

（3）连接DE.

根据他画的图形，判断下列关系何者正确？

（　　）

A．DE⊥ACB．DE∥AB

C．CD＝DED．CD＝BD

2．如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，则cos∠AOB的值等于__________．

3．数学活动课上，老师在黑板上画直线平行于射线AN（如图），让同学们在直线l和射线AN上各找一点B和C，使得以A，B，C为顶点的三角形是等腰直角三角形．这样的三角形最多能画__________个．

4．如图，已知∠AOB，点M，N，求作点P，使点P在∠AOB的角平分线上，且PM＝PN.（保留作图痕迹，不写作法）

5．某汽车探险队要从A城穿越沙漠去B城，途中需要到河流l边为汽车加水，汽车在河边哪一点加水，才能使行驶的总路程最短？

请你在图上画出这一点．

（1）用尺规作图的方法，作出△ABC绕点A逆时针旋转45°后的图形△AB1C1（保留作图痕迹）；

（2）若AB＝3，BC＝5，求tan∠AB1C1.

参考答案

导学必备知识

自主测试

1．B　∵分别以A和B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧相交于C，D，

∴AC＝AD＝BD＝

BC，

∴四边形ADBC一定是菱形．故选B.

2．B　由图形作法可知，AD＝AB＝DC＝BC，

∴四边形ABCD是菱形，故选B.

3．解：

（1）如图，

（2）①相切　②

4．解：

（1）存在满足条件的点C.

作出图形，如图所示．

（2）作点A关于x轴对称的点A′（2，－2），连接A′B，与x轴的交点即为所求的点P.设A′B所在直线的解析式为y＝kx＋b，把（2，－2）和（7,3）代

入得解得

∴y＝x－4，当y＝0时，x＝4，

∴交点P为（4,0）．

探究考点方法

触类旁通1．解：

已知：

线段a，b，角β.

求作：

△ABC，使边BC＝a，AC＝b，∠C＝β.

画图（保留作图痕迹）

触类旁通2．解：

已知A村、B村、C村，求作新建一个医疗点P，使P到该镇所属A村、B村、C村的村委会所在地的距离都相等．

品鉴经典考题

1．A　根据甲的思路，作出图形如下：

连接OB.∵BC垂直平分OD，

∴E为OD的中点，且OD⊥BC，

∴OE＝DE＝OD.

在Rt△OBE中，∵OB＝OD，

∴OE＝OB，

∴∠OBE＝30°.又∠OEB＝90°，∴∠BOE＝60°.

∵OA＝OB，∴∠OAB＝

∠OBA.

又∠BOE为△AOB的外角，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBE＝60°.

同理∠C＝60°，∴∠BAC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝∠C，

∴△ABC为等边三角形，故甲的作法正确．

根据乙的思路，作图如下：

连接OB，BD.∵OD＝BD，OD＝OB，

∴OD＝BD＝OB，∴△BOD为等边三角形，

∴∠OBD＝∠BOD＝60°.

同理可知△COD也为等边三角形，∠OCD＝∠COD＝60°，

∴∠BOC＋∠OCD＝∠BOD＋∠COD＋∠OCD＝180°，

∴BO∥CD.

又∵△BOD和△COD是等边三角形，

∴四边形BDCO是菱形，

∴∠OBM＝∠DBM＝30°.

又OA＝OB，且∠BOD为△AOB的外角，

∴∠BAO＝∠ABO＝30°，

∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBM＝60°，

同理∠ACB＝60°，∴∠BAC＝60°，

∴∠ABC＝∠ACB＝∠BAC，

∴△ABC为等边三角形，故乙的作法正确．故选A.

2．A　连接NC，MC.

在△ONC和△OMC中，

∴△ONC≌△OMC（SSS），∴∠AOC＝∠BOC.故选A.

3．解：

作图如图所示．

（2）∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝72°，∴∠BAC＝36°.

又∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠ABC＝×72°＝36°，

∴∠BDC＝∠ABD＋∠BAC＝36°＋36°＝72°.

研习预测试题

1．B　依据题意画出图形．

可得知∠1＝∠2，A

E＝DE，∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，即DE∥AB.故选B.

2．

3．3

4．解：

如图，连接MN，作线段MN的垂直平分线EF，∠AOB的角平分线OC，EF与OC相交于点P.则点P即为所求．

5．解：

如图所示，点C即为所求．

6．解：

（1）作∠CAB的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，

作C1A⊥AB1，在AC1上截取AC1＝AC，

如图所示即是所求．

（2）∵AB＝3，BC＝5，∴AC＝4，

∴A

B1＝3，AC1＝4，tan∠AB1C1＝＝.