（4）
"（W））=-^-J0（f）+Q&⑴）|*0
da
这是因为当变分存在时，增量
AJ=J（x（r）+q&）-J（x（r））=厶（x（r）,a&）+r（x（r）,a&）根据厶和厂的性质有
L（x（r）,cr<5r）=cd\x（t）.Sx）
lim心心％）&=0a®aqtoadi
所以
=血厶（"沃）+心，曲）=驻,&）=刃⑴a->oa
1.1.4极值与变分
利用变分的表达式（4）可以得到泛函极值与变分的关系:
若J（x（r））在观（0达到极值（极大或极小），则
（5）
刃（“）⑴）=0
这是因为对任意给定的J{x.+a8x）是变量a的函数，该函数在a=0处达到极值。
根据函数极值的必要条件知
J（x0+cz^r）|a=（）—0ccx
于是由（4）式直接得到（5）式。
1丄5.变分法的基本引理
引理^（x）eC[xpx2],V?
/（x）eC1[x1,x2],77（兀J=“（兀2）=0,有
J'0（x）〃（x）dx三0,
则0（兀）三0,xe[xnx2]o
1.2无约束条件的泛函极值求泛函
J=\F（t,x（t）,x（t））dt（6）
山0
的极值，一般是用泛函极值的必要条件去寻找一条曲线兀（/）,使给定的二阶连续可微函数F沿该曲线的积分达到极值。
常称这条曲线为极值曲线（或轨线），记为x\t）o
1.2.1端点固定的情况
（7）
设容许曲线x（f）满足边界条件
X（/0）=兀0，f^=xf
且二次可微。
首先计算（6）式的变分:
=-F（M）+Q&（r）,x（f）+曲⑴）|a=Qdt
对上式右端第二项做分布积分，并利用&仇）=&匕）=0,有
因为&的任意性，及&（/。
）=&（少）=0,所以由基本引理得到著名的欧拉方程
它是这类最简泛函取极值的必要条件。
（9）式乂可记作
通常这是x（f）的二阶微分方程，其通解的两个任意常数由（7）式中的两个端点条件确定。
1.2.2最简泛函的儿种特殊情形
（1）F不依赖于x,即F=F（t,x）
这时4三0,欧拉方程为代亿兀）=0,这个方程以隐函数形式给出x（f）,但它一般不满足边界条件，因此，变分问题无解。
（ii）F不依赖x,即F=F（t.x）
欧拉方程为
将上式积分一次，便得首次积分Fi（t,x）=clf由此可求出x=0（f,cj,积分后得到可能的极值曲线族
（hi）F只依赖于i,即F=F（x）这时F、=0,Flx=0,Fx.=0,欧拉方程为
由此可设丘=0或尸沃=0,如果x=0,则得到含有两个参数的直线族x=clt+c2O另外若尸云=°有一个或儿个实根时，则除了上面的直线族外，乂得到含有一个参数c的直线族x=kt+c,它包含于上面含有两个参数的直线族x=clt+c2中，于是，在F=F（x）情况下，极值曲线必然是直线族。
（iv）F只依赖于x和Q即F=F（x,x）这时有比上=0,故欧拉方程为
此方程具有首次积分为
F-xFr
事实上，注意到F不依赖于/,于是有
《（F-迅.）=Fxx+F,x-xF{-x^-F,=x（Fv-轨）=0。
atatat
例1（最速降线问题）最速降线问题是历史上变分法开始发展的第一个问题。
它是约翰•贝努里（J.Bernoulli）于1696年提出的。
问题的提法是这样的：
设A和B是铅直平面上不在同一铅直线上的两点，在所有连结A和B的平面曲线中，求一曲线，当质点仅受重力作用，且初速为零，沿此曲线从A滑行至B时，使所需时间最短。
解将A点取为坐标原点，x轴水平向右，y轴垂直向下，B点为B（x2,y2）。
根据能量守恒定律，质点在曲线y（x）上任一点处的速度牛满足（s为弧长）
2
=mgy
at
1（ds}—m\——
2\dt）
将ds=Jl+〉2（x）dx代入上式得
dt=I匕二dx
2gy
于是质点滑行时间应表为y（x）的泛函
端点条件为
y（0）=0,y（x2）=y2
最速降线满足欧拉方程，因为
等价于
-~（F-y,Fv.）=Oax
作一次积分得
y（l+yJ）=q
令y'=ctgy,则方程化为
静7曲卜訣―品）
积分之，得
由边界条件y（0）=0,可知c2=0,故得
这是摆线（圆滚线）的参数方程，其中常数C】可利用另一边界条件y（x2）=y2來确定。
例2最小旋转面问题
Jl+严
F-ylFy・=yyjl+y12-y'y/'、=q
化简得y=c^l+y'2
令y'=sht,代入上式，y=c{yj\+sh2t=c{cht由于d*卑二皿=訥积分之，得x=clt+c2消去f,就得到y=c[ch^^这是悬链线方程。
1.2.3最简泛函的推广
最简泛函取极值的必要条件可以推广到其它情况。
（i）含多个函数的泛函
使泛函
y（“）=）十y（x2）=y2,z（x1）=ZpZ（x2）=z2.的极值曲线y=y（x）忆=z（x）必满足欧拉方程组
（ii）含高阶导数的泛函
使泛函丿GG））=[：
F（x,y』,y”）dx
取极值且满足固定边界条件y（“）=yi，y也心血）'（“）=儿,）'（兀2）=）‘2的极值曲线），=y（x）必满足微分方程
（ill）含多元函数的泛函设z（x,y）ec2,（x,y）e£>,使泛函J（z（x,刃）=jjF（x,）',JJ,Zy）dxdy
D
取极值且在区域D的边界线/上取己知值的极值函数z=z（x,y）必满足方程
F.-—F.-—F.=0
4dxZxdyJ
上式称为奥式方程。
1.2.4端点变动的情况（横截条件）设容许曲线x（f）在固定，在另一端点t=tf时不固定，是沿着给定的曲线x="（/）上变动。
于是端点条件表示为
2Wo）=心/（0=0（f）
这里f是变动的，不妨用参数形式表示为t=tf+adtf
（11）
寻找端点变动情况的必要条件，可仿照前面端点固定情况进行推导，即有0=&/=[（F（t,x+aSx,x+a&）d^a=（）=[（&_非阳f+FS仁+F
再对（11）式做如下分析：
（1）对每一个固定的x（f）都满足欧拉方程，即（11）式右端的第一项积分为
零;
（11）为考察（11）式的第二、第三项，建立与&之间的关系，因为
Jt=tf
x（tf+adtf）+a&x匕+adtf）=+adtf）
对a求导并令a=0得
x（tf）dtf+6x\i=if
即
&匚（12）
把（12）代入（11）并利用的任意性，得
[F+（^-x）Fj|/=//=0（13）
（13）式就是确定欧拉方程通解中另一常数的定解条件，称为横截条件。
横截条件有两种常见的特殊情况：
G）当x=屮⑴是垂直横轴的直线时，卩固定，自由，并称为自由
端点。
此时（11）式中dtf=0及的任意性，便得自由端点的横截条件
（11）当x=i//⑴是平行横轴的直线时，0自由，兀（少.）固定，并称为平动端点。
此时鸭=0,（13）式的横截条件变为
F-xF花=0（15）
注意，横截条件与欧拉方程联立才能构成泛函极值的必要条件。
1.3有约束条件的泛函极值
在最优控制系统中，常常要涉及到有约束条件泛函的极值问题，其典型形式是对动态系统
=⑴）（16）寻求最优性能指标（目标函数）
丿（%（/））=0匕"4））+『F（r,x⑴上⑴）力（17）
其中u（f）是控制策略，X（f）是轨线，G固定，匚及x（//）自由，eRn,W（r）eRm（不受限，充满F”空间），gF连续可微。
下面推导取得目标函数极值的最优控制策略/（f）和最优轨线x\t）的必要条件。
釆用拉格朗日乘子法，化条件极值为无条件极值，即考虑
人（iM）=0（f/,x（y））+『[F（/,x,u）+力（t）（f（t,x,u）-x）]dt（18）
的无条件极值，首先定义（16）式和（17）式的哈密顿（Hamilton）函数为
H亿x,w,A）=F（r,x,w）+才（/）f（r,x.u）（19）
将其代入（18）式，得到泛函
丿i（x,u,2）=©（/f,兀（/广））+J[//（/,x,w,2）-x]dt（20）
下面先对其求变分°
刃严右{0码+如»兀匕）+Q次（ff））
+J[H（t,x+u+adi.A+aSX）-（2+a3A）T（x+a5:
）]（Jt}\a=Q
=[&E）F%）+（眄）他+（力/）丁观"-（叫）丁（才
+『[（&）丁Hx+Hlt+（<5Z）r比-（<5Z）rx—力3x]clt
=y[（ptf+F（r,X,U,r）|r]+）F%）
+『[qow+（血）w,+®）w—（皿）丁刃力一处s&l+『（&r加ffH&S，8xt=tf=6x（tf）-x（tf）dtf,因而
必利用边界条件
（用于确定X*）
（用于确定才）
山0
注意到&
SJ,=（dtf）T[（Ptf+H（t,x,u,2）|/=//]+[3x（tf）]r（（px-2）|/=//+『[（&r（Hx+刃+（对（77）+（诃Hu]dt
Jto
再令刃1=0,由瓯说的任意性，便得
（1）必满足正则方程：
1状态方程X=Ha=
2协态方程A=—Ho
人
（ii）哈密顿函数作为"的函数，也必满足
比=0
并由此方程求得/。
（iii）求x*,A*,w*时，
1g）=%，
2如/■）=0“），
3
（确定少、）
（ptf=-H（t,x,u,A）
1.4最大（小）值原理如果受控系统
x=f（t,x,u）fx（t0）=XQ
其控制策略u（f）的全体构成有界集"，求u（t）eU,使性能指标
J（«（0）=叫,M/））+『F（/,X,u）dt
达到最大（小）值。
最大（小）值原理：
如果0匕,兀匕））和尸匕兀川）都是连续可微的,那么最优控制策略u（t）和相应的最优轨线x\t）由下列的必要条件决定：
（1）最优轨线x\t）f协态向量才（/）由下列的必要条件决定：
dx
—=/（r,^w）,w（r）eU,dt
d几dHdtdx
（ii）哈密顿函数
//（r,A/,w,Z）=F（r,A*,w）+XT（r）/（r,x\u）作为U（O的函数，最优策略u（t）必须使
拿拿*拿*
H（t.x,u,2）=maxH（f,x
i（dJ
或使
H（t,x\u,X）=minH（t,x,u,X）（ft小值原理）
ueU
（ill）满足相应的边界条件
1若两端点固定，则正则方程的边界条件为
x（0）—Xq,x（/f）=x（°
2若始端固定，终端°也固定，而x（//J自由，则正则方程的边界条件为
x（0）=x0，几匕）=久a/）（"（f/））。
3若始端固定，终端都自由，则正则方程的边界条件为x（0）=心‘阿）=%）（tf,x（tf））‘
呵旳f）,2（rf））+%（»x（//））=0。
§2生产设备的最大经济效益
某工厂购买了一台新设备投入到生产中。
一方面该设备随着运行时间的推移其磨损程度愈来愈大，因此其转卖价将随着使用设备的时间增加而减小；另一方面生产设备总是要进行日常保养，花费一定的保养费，保养可以减缓设备的磨损程度，提高设备的转卖价。
那么，怎样确定最优保养费和设备转卖时间，才能使这台设备的经济效益最大。
2.1问题分析与假设
（1）设备的转卖价是时间『的函数，记为x（r）ox（r）的大小与设备的磨损程度和保养费的多少密切相关。
记初始转卖价双0）=旺。
（ii）设备随其运行时间的推移，磨损程度越來越大。
/时刻设备的磨损程度可以用/时刻转卖价的损失值来刻画，常称其为磨损函数或废弃函数，记为m（t）O
（ill）保养设备可以减缓设备的磨损速度，提高转卖价。
如果"（/）是单位时间的保养费，g（/）是f时刻的保养效益系数（每用一元保养费所增加的转卖价），那么单位时间的保养效益为。
另外，保养费不能过大（如单位时间保养费超过单位时间产值时，保养失去了意义），只能在有界函数集中选取，记有界函数集为W,则u（f）wW。
Gv）设单位时间的产值与转卖价的比值记为”，则px（t）表示在f时刻单位时间的产值，即r时刻的生产率。
（V）转卖价x（/）及单位时间的保养费u（f）都是时间/的连续可微函数。
为了统一标准，釆用它们的贴现值。
对于贴现值的计算，例如转卖价x（f）的贴现值计算，如果它的贴现因子为5（经过单位时间的单位费用贴现），那么由
=
M）=1
解得
令“=0,便得/时刻单位费用的贴现（称贴现系数）为厂&,所以设备在f时刻转卖价x（f）的贴现为x（t）e~Sto仿此计算，“（/）的贴现为u{t）e~5t,单位时间产值的贴现为px（t）e~Sto
（VI）欲确定的转卖时间tf和转卖价x（tf）都是自由的。
2.2模型构造
根据以上的分析与假设可知：
考察的对象是设备在生产中的磨损一保养系统；转卖价体现了磨损和保养的综合指标，可以选作系统的状态变量；在生产中设备磨损的不可控性强，其微弱的可控性也是通过保养体现，加之保养本身具有较强的可控性，所以选单位时间的保养费"（/）作为控制策略。
这样，生产设备的最大经济效益模型可以构成为在设备磨损一保养系统的（转卖价）状态方程
[竽一砍）+g（5（t）（21）
k（0）=Xo
之下，在满足的函数集W中寻求最优控制策略/（/）,使系统的经济效益这一性能指标
（22）
（23）
J（“⑴）=）严+J；[px（t）-u（t）]e~Stdt为最大，其中都是自由的。
2.3模型求解
首先写出问题的哈密顿函数
H=[px（t）一”⑴]不为++g（/）加⑴]
再由协态方程及边界条件求出A（r）,即由
^-=-Hx=-pe-Sl
\Z（tf）=（px{tf）=e~Stf
解得
久⑴=（1-£）严+£广"
OO
下面利用最大值原理求w*（r）o先将（23）式改变为
H=px（t）e^一加?
（f）+[々（『）一]w（r）
显然，H是对u的线性函数，因此得到
U
、
（25）
0,[（1-壬）严+宦F]g（/）-产<0
在上式中，还需解决两个问题:
一是u\t）=U与/（f）=0的转换点匚在什么位置,即匚等于多少？
二是u\t）是由〃到0,还是由0到“。
转换点匚应满足
[（1-£）严+”伽）-宀0
OO
（26）
[£—（£—1）严"]g（f）—1=0oo
从而可解出匚。
因为g（f）是时间/的减函数，所以（26）式的左端也是时间f的减函数，也就是说u\t）随时间应由U到0o于是最优控制策略的具体表达式为
*血00,ts至于5，x（//）的求法，请见下面的例子。
例3在生产设备的最大经济效益的问题中，设<0）=100,U=l,m（t）=2,
一2”p=0.1f8=0.05,g（t）=，试求—，x（//）和u（Z）o
（1+沪
（26）式可得求。
的公式
（27）
（1+土=4—2严…
当时,
u\t）=U=\,状态方程为
dx2
一=_2+T
dt（1+沪
当t>ts时,
/（『）=0,状态方程为
红一2
dt
于是t>ts时，有
-2+—]df+f（―2）力
（1+沪
解得
x（r）=4（1+jf+96-2/（28）
由自由边界条件H\t=tf=-（pJ（及=»勺，得
-px（ff）€*+2小叫=_&x（tf）于是
2
x（t.）==40
fp-8
当t=tf时，由（28）式有
_i
40=4（1+心尸+96-2—.
即
£tf=2（1+匚），+28（29）
将（27）和（29）联立求解，编写如下Matlab程序
[xzy]=solve（1（1+ts）A（1/2）=4-2*exp（0・05犬（ts-tf））','tf=2*（1+ts）A（1/2）4-28*）
求得ts=10.6,tf=34.8于是，最优控制策略（保养费）为
*fl,020,10.6习题十八
1.求自原点（0,0）到直线x+y-l=0的最速降线。
2.求概率密度函数0（x）,使得信息量
J=-（p（x）ln[i/0（x）]dx
J—00
取最大值，且满足等周条件
（p（x）dx=1,I20（x）dx=cr（常数）。
J—00J—00
3.在生产设备或科学仪器中长期运行的零部件，如滚珠、轴承、电器元件等会突然发生故障或损坏，即使是及时更换也已经造成了一定的经济损失。
如果在零部件运行一定时期后，就对尚属正常的零件做预防性更换，以避免一旦发生故障带来的损失，从经济上看是否更为合算？
如果合算，做这种预防性更换的时间如何确定呢？
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