几何证明与计算.docx

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几何证明与计算

第二轮复习

第74讲几何证明与计算

（“K”字型的妙用）

三角形和四边形作为初中几何的核心知识，是近几年重庆中考重点考查的内容，试卷呈现的有关几何题问题的计算、证明与探究，能较好地考察学生的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力，常考的知识包括：

全等三角形、特殊三角形和特殊四边形性质与判定，线段中垂线、角平分线的性质与判定等相关知识，灵活地掌握辅助线的做法是解决这类问题的关键。

学习目标：

1.学会识别、构造“K”字型，积累作辅助线的数学经验

2.经历识别、构造基本图形的过程，提高综合分析问题的能力

学习重点：

会用“K”字型的性质解决问题

学习难点：

“K”字型的构造

学习过程：

一、温故知新

观察下列基本图形，你能得出什么结论？

（1）如图，已知：

点B、C、D在同一直线上，AC⊥EC，AB⊥BD，ED⊥DB.

追问1：

这个图形有什么特征？

追问2：

若AC=CE，若AC≠CE，你有什么新的发现？

（2）如图，已知：

∠ABC=∠ACE=∠D，问：

∠A、∠ECD有何关系？

（3）“K”字型呈现形式：

二、自主练习：

1．如图，等边△ABC的边长为9，BD=3，∠ADE=60度，则AE长为.

2．如图，F是正方形ABCD的边CD上的一个动点，BF的垂直平分线交对角线AC于点E，连接BE，FE，则∠EBF的度数是（　　）.

A．45°B．50°C．60°D．不确定

三、经典例题：

例：

如图，在中，

，过点C作AC的垂线CE，且CE=CA，连接AE、BE.

（1）若

，求四边形ABCE的面积；

（2）若

，求证

.

四、赢在中考：

1．小明课间把老师的三角板的直角顶点放在黑板的两条平行线a、b上（如图），已知∠2=35°，则∠1的度数为（　　）.

A．55°B．35°C．45°D．125°

2．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD顶点A的坐标为（0，2），B点在x轴上，对角线AC，BD交于点M，OM=

，则点C的坐标为．

3．正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，过点E作EF⊥CE交AB于点F．若BF=2，BC=6，求FE的长.

五、感悟数学：

六、课后作业：

1．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y=

的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y=

的图象上，且OA⊥OB，tanB=

，

则k的值

2.如图，在

中，

，点B在

轴上，且

，A点的横坐标是2，AB=3BC，双曲线

经过A点，双曲线

经过C点，则

的值为（）

A．12B．9C．6D．3

3．如图，矩形ABCD的顶点A、D在反比例函数

的图象上，顶点C、B分别在x轴、y轴的正半轴上，且

，再在其右侧作正方形DEFG、FPQR（如图所示），顶点F、R在反比例函数

的图象上，顶点E、Q在x轴的正半轴上，则点R的坐标为．

4．已知：

在

ABCD中，AE⊥CD，垂足为E，点M为AE上一点，且ME=AB，AM=CE，连接CM并延长交AD于点F．

（1）若点E是CD的中点，求证：

△ABC是等腰三角形．

（2）求证：

∠AFM=3∠BCF．

德中命制人：

邓宏书审稿人：

刘加勇

“K”字型的妙用参考答案

二、自主练习：

1．7

2.【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，证明Rt△BHE≌Rt△EIF，可得∠IEF+∠HEB=90°，再根据BE=EF即可解题．

【解答】解：

如图所示，过E作HI∥BC，分别交AB、CD于点H、I，则∠BHE=∠EIF=90°，

∵E是BF的垂直平分线EM上的点，

∴EF=EB，

∵E是∠BCD角平分线上一点，

∴E到BC和CD的距离相等，即BH=EI，

Rt△BHE和Rt△EIF中，，

∴Rt△BHE≌Rt△EIF（HL），

∴∠HBE=∠IEF，

∵∠HBE+∠HEB=90°，

∴∠IEF+∠HEB=90°，

∴∠BEF=90°，

∵BE=EF，

∴∠EBF=∠EFB=45°．

故选：

A．

【点评】本题考查了正方形角平分线和对角线重合的性质，考查了直角三角形全等的判定，全等三角形对应角相等的性质．

三、经典例题：

【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形．

【分析】

（1）易求得AC的长，即可求得BC，AC的长，根据四边形ABCE的面积=S△ABC+S△ACE即可解题；

（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，易证∠BAC=∠ECF，即可证明△ABC≌△CFE，可得EF=BC，再根据等腰三角形底边三线合一即可求得AD=BD，即可解题．

【解答】解：

（1）∵AC⊥CE，CE=CA，

∴AC=CE=AE=，

∵tan∠BAC=，

∴∠BAC=30°，

∴BC=AC=，

∴AB=BC=，

∴四边形ABCE的面积=S△ABC+S△ACE=AB•BC+AC•CE

=××+××=+1；

（2）作ED⊥AB，EF⊥BC延长线于F点，

则四边形BDEF为矩形，∴EF=BD，

∵∠ACB+∠ECF=90°，∠ACB+∠BAC=90°，

∴∠BAC=∠ECF，

∵在△ABC和△CFE中，，

∴△ABC≌△CFE，（AAS）

∴EF=BC，

∵△ABE中，AE=BE，ED⊥AB，

∴AD=BD，

∴AB=AD+BD=2BD=2EF=2BC，

即AB=2BC．

【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的性质，本题中求证△ABC≌△CFE是解题的关键．

四、赢在中考：

1.【考点】平行线的性质；余角和补角．

【分析】根据∠ACB=90°，∠2=35°求出∠3的度数，根据平行线的性质得出∠1=∠3，代入即可得出答案．

【解答】解：

∵∠ACB=90°，∠2=35°，

∴∠3=180°﹣90°﹣35°=55°，

∵a∥b，

∴∠1=∠3=55°．

故选A．

【点评】本题考查了平行线的性质和邻补角的定义，解此题的关键是求出∠3的度数和得出∠1=∠3，题目比较典型，难度适中．

2.【考点】正方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质．

【专题】压轴题．

【分析】过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，MP⊥y轴，根据正方形的性质可以得出MB=MA，可证明△AMP≌△BMF，就可以得出PM=MF，就可以证明四边形OFMP是正方形，由勾股定理就可以求出OF的值，再由△AOBP≌△BECF，从而得出C点的纵坐标．

【解答】解：

过点C作CE⊥x轴于点E，过点M作MF⊥x轴于点F，连结EM，

∴∠MFO=∠CEO=∠AOB==∠APM=90°，

∴四边形POFM是矩形，

∴∠PMF=90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC=∠AMB=90°，AM=BM，

∴∠OAB=∠EBC，∠AMP=∠BMF，

∴△AMP≌△BMF（AAS），

∴PM=FM，PA=BF，

∴四边形POFM是正方形，

∴OP=OF=

=3，

∵A（0，2），

∴OA=2，

∴AP=BF=3-2=1，

∴OB=3+1=4，

∵在△AOB和△BEC中，

，

∴△AOB≌△BEC（AAS），

∴OB=CE=4，AO=BE=2．

∴OE=4+2=6，

∴C（6，4）．

故答案为：

（6，4）．

【点评】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，平行线等分线段定理的运用，坐标与图形的性质的运用，解答时求证四边形POFM是正方形是关键．

3.【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．

【分析】连接CF，由正方形的性质得出∠B=90°，再由EF⊥CE，证得△MEF≌△NCE，得出△CEF为等腰直角三角形，求得EF==CF，再由勾股定理求得CF即可．

【解答】解：

连接CF,过点E作MN∥AD，交边AB于点M，边CD于点N.如图所示：

∵四边形ABCD为正方形，

可得四边形AMND为矩形，

∴MN=AD=CD

∵∠DNE=90°，∠BDC=45°，

∴DN=EN

∴ME=CN

∵EF⊥CE，

∴∠CEF=90°，

∴∠MEF=∠ECN

且∠FME=∠ENC=90°

∴△MEF≌△NCE（ASA），

∴EF=CE

∴△CEF为等腰直角三角形，

∴EF==CF，

由勾股定理得：

CF===2，

∴EF=×2=2，

故答案为：

2．

【点评】本题考查了正方形性质、三角形全等的性质与判定、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．

六、课后作业：

1.【考点】相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征．

【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得，根据tanB==，可得，根据待定系数法，可得答案．

【解答】解：

作AD⊥x轴于点D，作BC⊥x轴于点C，设A点坐标是（x，y），

∴∠C=∠D=90°．

∵∠AOB=90°，

∴∠BOC+∠AOD=90°，∠AOD+∠OAD=90°，

∴∠BOC=∠OAD，

又∵∠D=∠C，

∴△OAD∽△BOC，

．

∵tanB==，

∴，

y=AD=OC，x=OD=BC，

∵第一象限内的点A在反比例函数y=的图象上，

∴xy=OC×BC=2，

∴k=OC•BC=2×3=﹣6，

故答案为：

﹣6．

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，待定系数法求函数解析式．

2.【考点】反比例函数系数k的几何意义．

【分析】过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，由A点的横坐标是2，且在双曲线y=

上，求出点的坐标，得到线段的长度，利用三角形相似得到点的坐标，列方程求解．

【解答】解：

过点A作AE⊥x轴于E，过点C作CF⊥x轴于F，

∵A点的横坐标是2，且在双曲线y=

上，

∴A（2，2m），∵∠ABC=90°，

∴∠ABC+∠CBF=∠ABC+∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠FCB，

∴△ABE∽△BCF，

∴===3，

∴CF=1，BF=

，

∴C（﹣1﹣

，1），

∵双曲线y=

经过C点，

∴﹣1﹣

=﹣m，

∴m=3，

故选D．

【点评】本题考查了根据函数的解析式求点的坐标，相似三角形的判定和性质，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，构造直角三角形．

3.【考点】反比例函数综合题．

【专题】综合题．

【分析】过D作DM⊥x轴，FN⊥x轴，RI⊥FN，RH⊥x轴，由ABCD为矩形，利用对称性得三角形OBC为等腰直角三角形，继而得到三角形CDM为等腰直角三角形，即两三角形相似，且相似比为1：

2，设OB=OC=a，则有CM=DM=2a，表示出D坐标，代入反比例解析式求出a的值，确定出D坐标，得出DM与OM长，利用AAS得到三角形DME与三角形EFN全等，利用全等三角形对应边相等得到ME=FN，DM=EN，设F纵坐标为b，代入反比例解析式得到横坐标为，由OM+ME+EN表示出ON，即为横坐标，列出关于b的方程，求出方程的解得到b的值，确定出F坐标，得到ON，FN的长，同理得到三角形RFI与三角形RQH全等，设R纵坐标为c，由ON+NH表示出横坐标，将R坐标代入反比例解析式求出c的值，即可确定出R坐标．

【解答】解：

过D作DM⊥x轴，FN⊥x轴，RI⊥FN，RH⊥x轴，

∵ABCD为矩形，A与D在反比例图象上，且AB=2BC，

∴∠BCD=90°，∠OBC=∠OCB=45°，

∴∠MCD=∠MDC=45°，

∴△BOC∽△CMD，且相似比为1：

2，

设OC=OB=a，则CM=DM=2a，OM=OC+CM=a+2a=3a，

∴D（3a，2a），

将D坐标代入反比例y=中得：

6a2=6，即a2=1，

解得：

a=1（负值舍去），

∴DM=2，OM=3，

∵DEFG为正方形，

∴DE=EF，∠DEF=90°，

∴∠MDE+∠MED=90°，∠MED+∠NEF=90°，

∴∠MDE=∠NEF，

在△DME和△ENF中，

，

∴△DME≌△ENF（AAS），

∴DM=EN=2，FN=ME，

设F（，b），则FN=ME=b，ON=OM+ME+EN=3+b+2，

可得5+b=，即b2+5b﹣6=0，即（b+6）（b﹣1）=0，

解得：

b=1或b=﹣6（舍去），

∴F（6，1），即ON=6，FN=1，

同理△RFI≌△RQH，

设RH=RI=NH=c，即R（6+c，c），

将R坐标代入y=中得：

c（6+c）=6，

即c2+6c+9=（c+3）2=15，

解得：

c=﹣3+或c=﹣3﹣（舍去），

则R（3+，﹣3+）．

故答案为：

（3+，﹣3+）．

【点评】此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：

相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，坐标与图形性质，利用了方程的思想，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．

4.【考点】平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．

【专题】证明题．

【分析】

（1）易证△ADC是等腰三角形，所以AC=AD，根据平行四边形的性质可知：

AD=BC，所以AC=BC，即△ABC是等腰三角形．

（2）连接BM，由已知条件可证明：

△ABM≌△ECM，所以∠CME=∠AMF，再根据三角形外角之间的关系即可证明：

∠AFM=3∠BCF．

【解答】证明：

（1）∵AE⊥CD，CE=DE，

∴AC=AD，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD，

∴AC=BC，

∴△ABC是等腰三角形；

（2）连接BM，

∵AB∥CD，

∴∠BAM=∠CEM，

在△ABM和△ECM中，

，

∴△ABM≌△ECM（SAS），

∵∠AMF=∠ACM+∠CAM，∠CME=∠AMF，

∴∠CME=∠ACM+∠CAM，

∵∠CAE=∠DAE，

∴∠AFM=3∠BCF．