中考数学总复习第四单元三角形课时训练19全等三角形和等腰三角形练习.docx

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中考数学总复习第四单元三角形课时训练19全等三角形和等腰三角形练习

课时训练（十九）　全等三角形和等腰三角形

|夯实基础|

1.如图19-21,已知AE=CF,∠AFD=∠CEB,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）

图19-21

A.∠A=∠CB.AD=CB

C.BE=DFD.AD∥BC

2.[2016·怀化]等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm,则它的周长为（）

A.16cm

B.17cm

C.20cm

D.16cm或20cm

3.已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°,则这个等腰三角形的顶角为（）

A.50°B.130°

C.50°或130°D.40°或140°

4.[2016·荆门]如图19-22,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为（）

图19-22

A.5B.6

C.8D.10

5.[2017·南充]如图19-23,等边三角形OAB的边长为2,则点B的坐标为（）

图19-23

A.（1,1）B.（,1）

C.（,）D.（1,）

6.[2018·湖州]如图19-24,AD,CE分别是△ABC的中线和角平分线.若AB=AC,∠CAD=20°,则∠ACE的度数是（）

图19-24

A.20°B.35°

C.40°D.70°

7.[2016·德州]如图19-25,在△ABC中,∠B=55°,∠C=30°,分别以点A和点C为圆心,大于AC的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,作直线MN,交BC于点D,连接AD,则∠BAD的度数为（）

图19-25

A.65°B.60°C.55°D.45°

8.如图19-26,在△ABC中,BD平分∠ABC,BC的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接CF.若∠A=60°,∠ABD=24°,则∠ACF的度数为（）

图19-26

A.48°B.36°C.30°D.24°

9.[2016·泰安]如图19-27,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是边PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK.若∠MKN=44°,则∠P的度数为（）

图19-27

A.44°B.66°

C.88°D.92°

10.[2018·包头]如图19-28,在△ABC中,AB=AC,△ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且∠DAE=90°,AD=AE.若∠C+∠BAC=145°,则∠EDC的度数为（）

图19-28

A.17.5°B.12.5°

C.12°D.10°

11.[2016·南充]如图19-29,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=1,D,E分别是直角边BC,AC的中点,则DE的长为（）

图19-29

A.1B.2

C.D.1+

12.[2015·湖州]如图19-30,已知在△ABC中,CD是AB边上的高,BE平分∠ABC,交CD于点E.若BC=5,DE=2,则△BCE的面积等于（）

图19-30

A.10B.7C.5D.4

13.[2018·淄博]如图19-31,在Rt△ABC中,CM平分∠ACB交AB于点M,过点M作MN∥BC交AC于点N,且MN平分∠AMC.若AN=1,则BC的长为（）

图19-31

A.4B.6C.4D.8

14.[2016·淮安]如图19-32,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有（）

图19-32

A.1个B.2个

C.3个D.3个以上

15.如图19-33,AD是△ABC的角平分线,DE,DF分别是△ABD和△ACD的高,有下面四个结论:

图19-33

①OA=OD;

②AD⊥EF;

③当∠BAC=90°时,四边形AEDF是正方形;

④AE2+DF2=AF2+DE2.

其中正确的是（）

A.②③B.②④

C.①③④D.②③④

16.[2018·金华]如图19-34,△ABC的两条高AD,BE相交于点F,请添加一个条件,使得△ADC≌△BEC（不添加其他字母及辅助线）,你添加的条件是. 

图19-34

17.[2018·成都]等腰三角形的一个内角为50°,则它的顶角的度数为. 

18.[2017·北京]如图19-35,在△ABC中,M,N分别为AC,BC的中点.若S△CMN=1,则S四边形ABNM=. 

图19-35

19.[2016·长沙]如图19-36,在△ABC中,AC=8,BC=5,AB的垂直平分线DE交AB于点D,交边AC于点E,则△BCE的周长为. 

图19-36

20.如图19-37,在△ABC中,AB=AC,BC=5,BD为AC边上的中线,且将△ABC的周长分成两部分,这两部分的差为3,则腰长为. 

图19-37

21.如图19-38,矩形ABCD的周长为16,点E,F分别在边AD,AB上,EF=EC,∠FEC=90°.若DE=2,则AE=. 

图19-38

22.[2017·扬州]如图19-39,把等边三角形ABC沿着DE折叠,使点A恰好落在BC边上的点P处,且DP⊥BC.若BP=4cm,则EC=cm. 

图19-39

23.[2012·包头]如图19-40,将△ABC纸片的一角沿DE向下翻折,使点A落在BC边上的点A'处,且DE∥BC.下列结论:

①∠AED=∠C;②=;③BC=2DE;④S四边形ADA'E=S△DBA'+S△EA'C.其中正确的有个. 

图19-40

24.[2017·宁夏]如图19-41,在边长为2的等边三角形ABC中,P是BC边上任意一点,过点P分别作PM⊥AB,PN⊥AC,垂足分别为M,N.

（1）求证:

不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高;

（2）当BP的长为何值时,四边形AMPN的面积最大,并求出最大值.

图19-41

25.[2017·莱芜]已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形.

（1）如图19-42①所示,连接AE,BD.试判断线段AE和BD的数量和位置关系,并说明理由;

（2）如图19-42②所示,连接BD,将线段BD绕点D顺时针旋转90°到DF,连接AF,试判断线段DE和AF的数量和位置关系,并说明理由.

图19-42

|拓展提升|

26.如图19-43,在△ABC中,AB=AC,AD,BE分别为∠BAC和∠ABC的平分线,交点为O.若OD=a,△ABC的周长为b,则△ABC的面积为（）

图19-43

A.abB.abC.2abD.

27.如图19-44,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,以AB的中点D为圆心,作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在上,设∠BDF=α（0°<α<90°）,当α由小到大变化时,图中阴影部分的面积（）

图19-44

A.由小变大

B.由大变小

C.不变

D.先由小变大,后由大变小

28.[2018·包头一模]如图19-45,等边三角形ABC的边长为9cm,点M,N同时从点A出发,均以1cm/s的速度分别沿AB,AC向点B,C运动,设运动时间为ts,以MN为边,在等边三角形ABC内部作正方形MNPQ,当点P到BC边的距离等于（3-3）cm时,t=. 

图19-45

29.[2018·包头样题三]如图19-46,O是等边三角形ABC内一点,OA=3,OB=4,OC=5,将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO',连接AO',下列结论:

①△BO'A可以由△BOC绕点B逆时针旋转60°得到;②点O与O'的距离为4;③∠AOB=150°;④S四边形AOBO'=6+3;⑤S△AOC+S△AOB=6+.其中正确的是.（填写所有正确结论的序号） 

图19-46

参考答案

1.B2.C3.C4.C

5.D[解析]过点B作BC⊥OA于点C,则OC=1,BC===,∴点B的坐标为（1,）.故选D.

6.B[解析]∵AB=AC,AD是△ABC的中线,∴AD⊥BC.∵∠CAD=20°,∴∠ACD=70°.∵CE是∠ACB的平分线,∴∠ACE=35°.故选B.

7.A

8.A[解析]∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD=∠DBC.

∵EF是BC的垂直平分线,

∴FB=FC,∴∠FCB=∠DBC.

∵∠ABD=24°,∴∠FCB=∠DBC=∠ABD=24°.

又∵∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,

即∠ABD+∠DBC+∠ACF+∠FCB=120°,

∴∠ACF=120°―24°―24°―24°=48°.

故选A.

9.D

10.D[解析]由∠C+∠BAC=145°得∠B=35°.由AB=AC知∠B=∠C=35°.由等腰直角三角形的性质可得∠AED=45°.又∵∠AED=∠EDC+∠C,∴∠EDC=45°-35°=10°.

11.A

12.C[解析]过点E作EK⊥BC于点K.

因为BE平分∠ABC,CD⊥AB,

所以EK=ED=2,

所以△BCE的面积=BC·EK=×5×2=5.故选C.

13.B[解析]∵MN∥BC,∴∠ANM=∠ACB,∠NMC=∠MCB.∵CM平分∠ACB,∴∠MCB=∠MCN=∠ACB,∴∠NMC=∠NCM,∴MN=NC.∵MN平分∠AMC,∴∠AMN=∠NMC=∠AMC,∴∠AMN=∠ACB=∠ANM.∵∠A=90°,∴∠AMN=30°.∵AN=1,∴MN=2,∴NC=2,∴AC=3.∵∠B=∠AMN=30°,∴BC=2AC=6,故选B.

14.D

15.D

16.答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等[解析]已知两角对应相等,可考虑全等三角形的判定方法ASA或AAS.故答案不唯一,如CA=CB,CE=CD等.

17.50°或80°

18.3[解析]由相似三角形的面积比等于相似比的平方可求解.由M,N分别为AC,BC的中点,得==,∴=

2=.∵S△CMN=1,∴S△ABC=4S△CMN=4,∴S四边形ABNM=3.

19.1320.821.3

22.（2+2）[解析]根据“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD=8,再由勾股定理求得DP=4.根据折叠的性质可以得到∠DPE=∠A=60°,DP=DA=4,易得∠EPC=30°,∠PEC=90°,所以EC=PC=（8+4-4）=2+2.

23.4[解析]由折叠的性质可得AD=A'D,AE=A'E.

∵DE∥BC,∴∠AED=∠C,故①正确.

∵DE∥BC,∴=,∴=,

故②正确.

∵DE∥BC,∴∠ADE=∠B,∠A'DE=∠BA'D.

由折叠的性质,得∠ADE=∠A'DE,∴∠B=∠BA'D,

∴BD=A'D=AD,

即D是AB的中点.

同理E是AC的中点,

∴DE是△ABC的中位线,∴BC=2DE,

故③正确.

∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,

∴=

2=,

∴S△ADE=S△A'DE=S△ABC,

∴S四边形ADA'E=S△DBA'+S△EA'C=S△ABC,

故④正确.

故答案为4.

24.[解析]

（1）连接AP,将△ABC分割成两个三角形,结合等边三角形的三条边相等,利用面积公式,即可求证结论;

（2）设BP的长为x,利用面积的和差关系,将四边形AMPN的面积S用含x的代数式表示,将几何问题转换成代数式求最值问题,在此即是S关于x的二次函数,运用配方法求出最值.

解:

（1）证明:

连接AP.

∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC=AC.

设BC边上的高为h.

∵PM⊥AB,PN⊥AC,

∴S△ABC=S△ABP+S△ACP=AB·PM+AC·PN=BC·（PM+PN）.

又∵S△ABC=BC·h,∴PM+PN=h,

即不论点P在BC边的何处,都有PM+PN的长恰好等于三角形ABC一边上的高.

（2）设BP=x.

在Rt△BMP中,∠BMP=90°,∠B=60°,BP=x,∴BM=BP·cos60°=x,MP=BP·sin60°=x,

∴S△BMP=BM·MP=·x·x=x2.

∵PC=2-x,同理可得:

S△PNC=（2-x）2.

又∵S△ABC=×22=,

∴S四边形AMPN=S△ABC-S△BMP-S△PNC=-x2-（2-x）2=-（x-1）2+,

∴当BP=1时,四边形AMPN的面积最大,是.

25.[解析]

（1）通过证明Rt△ACE≌Rt△BCD即可解决;

（2）通过证明△EBD≌△ADF即可得解.

解:

（1）AE=BD,AE⊥BD.

理由:

由题意可知,CA=CB,CE=CD,∠ACE=∠BCD=90°,∴Rt△ACE≌Rt△BCD,

∴AE=BD.

如图①,延长DB交AE于点M.

∵Rt△ACE≌Rt△BCD,

∴∠AEC=∠BDC.

又∵∠AEC+∠EAC=90°,

∴∠BDC+∠EAC=90°,

∴在△AMD中,∠AMD=180°-90°=90°,∴AE⊥BD.

（2）DE=AF,DE⊥AF.

理由:

如图②,设ED与AF相交于点N,由题意可知,BE=AD.

∵∠EBD=∠C+∠BDC=90°+∠BDC,

∠ADF=∠BDF+∠BDC=90°+∠BDC,

∴∠EBD=∠ADF.

又∵DB=FD,∴△EBD≌△ADF,

∴DE=AF,∠E=∠FAD.

∵∠E=45°,

∴∠FAD=45°.

又∠EDC=45°,∴∠AND=90°,

∴DE⊥AF.

26.A

27.C[解析]如图,设DE与AC交于点N,DF与BC交于点M,连接DC.∵CA=CB,D为AB的中点,∴DC⊥AB.∵∠ACB=90°,∴BD=DC=AD,∴∠B=∠DCN=45°.∵∠BDM+∠MDC=90°,∠MDC+∠CDN=90°,∴∠BDM=∠CDN,∴△BDM≌△CDN.同理,△AND≌△CMD,∴S四边形MDNC=S△BDM+S△ADN=S△ABC,∴图中阴影部分的面积S=S扇形DEF-S四边形MDNC=S扇形DEF-S△ABC.∵旋转过程中扇形DEF和△ABC的面积不会改变,∴阴影部分的面积大小不变.故选C.

28.3

29.①②③⑤

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。

州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。

予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。

读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。

是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。

予亦方举进士，以礼部诗赋为事。

年十有七试于州，为有司所黜。

因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：

学者当至于是而止尔！

因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。