18版高中数学第一章立体几何初步112棱柱棱锥和棱台的结构特征学案新人教B版必修2.docx

18版高中数学第一章立体几何初步112棱柱棱锥和棱台的结构特征学案新人教B版必修2.docx

《18版高中数学第一章立体几何初步112棱柱棱锥和棱台的结构特征学案新人教B版必修2.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《18版高中数学第一章立体几何初步112棱柱棱锥和棱台的结构特征学案新人教B版必修2.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

18版高中数学第一章立体几何初步112棱柱棱锥和棱台的结构特征学案新人教B版必修2

1．1.2　棱柱、棱锥和棱台的结构特征

学习目标

　1.认识组成我们生活世界的各种各样的多面体.2.认识和把握棱柱、棱锥、棱台的几何结构特征.3.了解多面体可按哪些不同的标准分类，可以分成哪些类别．

知识点一　多面体

思考　多面体是如何定义的？

能指出它们的侧面、底面、侧棱、顶点吗？

梳理　多面体的有关概念

（1）多面体：

由若干个________________所围成的几何体．

（2）多面体的相关概念

①面：

围成多面体的________________．

②棱：

相邻的两个面的________．

③顶点：

棱和棱的________．

④对角线：

连接________________的两个顶点的线段．

⑤截面：

一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部）．

（3）凸多面体：

把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面________________________，则这样的多面体就叫做凸多面体．

知识点二　棱柱

思考　观察下列两个棱柱，你认为棱柱应具有怎样的共同特征？

如何表示这两个棱柱？

梳理　

（1）棱柱的定义及表示

名称

棱柱

特征性质或定义

条件：

①有两个________________的面；

②夹在这两个平行平面间的___________________都互相平行

图形表示及相关名称

棱柱________________（或棱柱________）

（2）棱柱的分类

①按底面多边形的边数

棱柱

②按侧棱与底面是否垂直

棱柱

③特殊的四棱柱

知识点三　棱锥

思考　观察下列多面体，有什么共同特点？

梳理　

（1）棱锥的定义及表示

名称

棱锥

特征性质或定义

条件：

①有一个面是________；

②其余各面都是________________的三角形

图形表示及相关名称

棱锥________（或棱锥________）

（2）棱锥的分类

①按底面多边形的边数

棱锥

②特殊的棱锥

正棱锥

知识点四　棱台

思考　观察下列多面体，分析其与棱锥有何区别与联系？

梳理　

（1）棱台的结构特征及分类

名称

定义

图形及表示

相关概念

分类

棱台

棱锥被________________所截，截面和底面间的部分叫做棱台

如图可记作：

棱台_____________或棱台________

上底面：

原棱锥的________.

下底面：

原棱锥的________.侧面：

其他各面.侧棱：

相邻两侧面的公共边.高：

两底面间的距离

由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……

（2）特殊的棱台

正棱台：

由________截得的棱台．

类型一　棱柱、棱锥、棱台的有关概念

例1　

（1）下列命题中正确的是（　　）

A．棱柱的面中，至少有两个面互相平行

B．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面

C．在平行六面体中，任意两个相对的面均互相平行，但平行六面体的任意两个相对的面不一定可当作它的底面

D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

（2）下列说法正确的序号是________．

①棱锥的侧面不一定是三角形；

②棱锥的各侧棱长一定相等；

③棱台的各侧棱的延长线交于一点；

④有两个面互相平行且相似，其余各面都是梯形，则此几何体是棱台．

反思与感悟　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

（1）棱柱有两个主要结构特征：

一是有两个面互相平行，二是各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．

（2）棱锥有两个主要结构特征：

一是有一个面是多边形，二是其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

（3）棱台的上、下底面平行且相似，各侧棱延长交于一点．

跟踪训练1　

（1）下列命题：

①各侧面为矩形的棱柱是长方体；

②直四棱柱是长方体；

③侧棱与底面垂直的棱柱是直棱柱；

④各侧面是矩形的直四棱柱为正四棱柱．

其中正确的是________．（填序号）

（2）下列命题：

①各个侧面是等腰三角形的四棱锥是正四棱锥；

②底面是正多边形的棱锥是正棱锥；

③棱锥的所有侧面可以都是直角三角形；

④四棱锥的侧面中最多有四个直角三角形；

⑤棱台的侧棱长都相等．

其中正确的命题有________．（填序号）

类型二　简单几何体中的计算问题

例2　正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为2

，求正三棱锥的高．

引申探究

1．若本例条件不变，求正三棱锥的斜高．

2．若将本例中“正三棱锥”改为“正四棱锥”，其他条件不变，求正四棱锥的高．

反思与感悟　

（1）正棱锥中直角三角形的应用

已知正棱锥如图（以正四棱锥为例），其高为PO，底面为正方形，作PE⊥CD于点E，则PE为斜高．

①斜高、侧棱构成直角三角形，如图中Rt△PEC；

②斜高、高构成直角三角形，如图中Rt△POE；

③侧棱、高构成直角三角形，如图中Rt△POC.

（2）正棱台中直角梯形的应用

已知正棱台如图（以正四棱台为例），O1，O分别为上，下底面中心，作O1E1⊥B1C1于点E1，OE⊥BC于点E，则E1E为斜高．

①斜高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形E1ECC1；

②斜高、高构成直角梯形，如图中梯形O1E1EO；

③高、侧棱构成直角梯形，如图中梯形O1OCC1.

跟踪训练2　已知正四棱台的上、下底面面积分别为4、16，一侧面面积为12，分别求该棱台的斜高、高、侧棱长．

类型三　多面体的展开图

例3　如图，在侧棱长为2

的正三棱锥V－ABC中，∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝40°，过点A作截面△AEF，求截面△AEF周长的最小值．

反思与感悟　求几何体表面上两点间的最小距离

（1）将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图．

（2）将所求曲线问题转化为平面上的线段问题．

（3）结合已知条件求得结果．

跟踪训练3　如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝2，由顶点B沿棱柱侧面（经过棱AA1）到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为

（　　）

A．2

B．2

C．4D．4

1．下列说法中正确的是（　　）

A．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形

B．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点

C．棱柱中一条侧棱就是棱柱的高

D．棱柱的侧面一定是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形

2．下列说法中，正确的是（　　）

A．有一个底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥

B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台

C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形

3．下列说法错误的是（　　）

A．多面体至少有四个面

B．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C．长方体、正方体都是棱柱

D．三棱柱的侧面为三角形

4．正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面SAC，则截面面积为________．

5．对棱柱而言，下列说法正确的是________．（填序号）

①有两个平面互相平行，其余各面都是平行四边形；

②所有的棱长都相等；

③棱柱中至少有2个面的形状完全相同；

④相邻两个面的交线叫做侧棱．

1．在理解的基础上，要牢记棱柱、棱锥、棱台的定义，能够根据定义判断几何体的形状．

2．

（1）各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类

棱柱

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

（2）棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表：

名称

底面

侧面

侧棱

高

平行于底面的截面

棱柱

斜棱柱

平行且全等的两个多边形

平行四边形

平行且相等

与底面全等

直棱柱

平行且全等的两个多边形

矩形

平行、相等且垂直于底面

等于侧棱

与底面全等

正棱柱

平行且全等的两个正多边形

全等的矩形

平行、相等且垂直于底面

等于侧棱

与底面全等

棱锥

正棱锥

一个正多边形

全等的等腰三角形

有一个公共顶点且相等

过底面中心

与底面相似

其他棱锥

一个多边形

三角形

有一个公共顶点

与底面相似

棱台

正棱台

平行且相似的两个正多边形

全等的等腰梯形

相等且延长后交于一点

与底面相似

其他棱台

平行且相似的两个多边形

梯形

延长后交于一点

与底面相似

答案精析

问题导学

知识点一

思考　多面体是由若干个平面多边形围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱和棱的公共点叫做多面体的顶点．

梳理　

（1）平面多边形

（2）①各个多边形　②公共边　③公共点

④不在同一个面上

（3）都在这个平面的同一侧

知识点二

思考　共同特征：

①有两个面互相平行；

②夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行．

表示方法：

（1）棱柱ABCDE－A′B′C′D′E′.

（2）棱柱ABCD－A′B′C′D′.

梳理　

（1）①互相平行　②每相邻两个面的交线　ABCDE－A′B′C′D′E′　AC′

知识点三

思考　

（1）有一个面是多边形；

（2）其余各面都是有一个公共顶点的三角形．

梳理　

（1）①多边形　②有一个公共顶点

S－ABCD　S－AC

（2）②正多边形　过底面中心，且与底面垂直

知识点四

思考　

（1）区别：

有两个面相互平行．

（2）联系：

用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，其底面和截面之间的部分即为该几何体．

梳理　

（1）平行于底面的平面　ABCD－A′B′C′D′　AC′　截面　底面

（2）正棱锥

题型探究

例1　

（1）A　

（2）③

解析　

（1）正四棱柱中两个相对侧面互相平行，故B错；平行六面体的任意两个相对面可作底面，故C错；棱柱的底面可以是平行四边形，故D错．

（2）棱锥的侧面是有公共顶点的三角形，但是各侧棱不一定相等，故①②不正确；棱台是由平行于棱锥底面的平面截棱锥底面得到的，故各个侧棱的延长线一定交于一点，③正确；棱台的各条侧棱必须交于一点，故④不正确．

跟踪训练1　

（1）③

解析　①中一定为直棱柱但不一定是长方体；②直四棱柱的底面可以是任意的四边形，不一定是矩形；③符合直棱柱的定义；④中的棱柱为一般直棱柱，它的底面不一定为正方形．

（2）③④

解析　在四棱锥P－ABCD中，PA＝PB＝PC＝PD，底面ABCD为矩形，但不一定是正方形，这样的棱锥就不是正四棱锥，因此①错误；底面是正多边形，但侧棱长不一定都相等，这样的棱锥也不一定是正棱锥，故②错误；在三棱锥P－ABC中，PA垂直于平面ABC，∠ABC＝90°，则此三棱锥的所有侧面都是直角三角形，故③正确；在四棱锥P－ABCD中，PA垂直于平面ABCD，四边形ABCD为矩形，故④正确；棱台的侧棱长不一定都相等，故⑤错误．

例2　解　作出正三棱锥如图，SO为其高，连接AO，作OD⊥AB于点D，则点D为AB的中点．

在Rt△ADO中，

AD＝

，∠OAD＝30°，

故AO＝

＝

.

在Rt△SAO中，SA＝2

，AO＝

，

故SO＝

＝3，故三棱锥的高为3.

引申探究

1．解　作出正三棱锥如图，取AB的中点E，连接SE，则SE为该正三棱锥的斜高，在△SAE中，SA＝2

，AE＝

，

所以SE＝

＝

.

2．解　如图，在正四棱锥S－ABCD中，

AB＝BC＝CD＝DA＝3，

AC＝3

，

所以OC＝

.

在Rt△SOC中，

SC＝2

，

所以SO＝

＝

＝

.

即正四棱锥的高为

.

跟踪训练2　解　如图，设O′，O分别为上、下底面的中心，即OO′为正四棱台的高，E，F分别为B′C′，BC的中点，

∴EF⊥B′C′，即EF为斜高．由上底面面积为4，上底面为正方形，可得B′C′＝2；同理，BC＝4.

∵四边形BCC′B′的面积为12,

∴

×（2＋4）·EF＝12，∴EF＝4.

过B′作B′H⊥BC交BC于H，

则BH＝BF－B′E＝2－1＝1，B′H＝EF＝4.

在Rt△B′BH中，BB′＝

＝

.

同理，在直角梯形O′OFE中，计算出O′O＝

.

综上，该正四棱台的侧棱长为

，斜高为4，高为

.

例3　解　沿着侧棱VA把正三棱锥V－ABC展开在一个平面内，如图．

则AA′的长即为截面△AEF周长的最小值，

且∠AVA′＝3×40°＝120°.

在△VAA′中，AA′＝2×2

×

＝6，

故截面△AEF周长的最小值为6.

跟踪训练3　B　[沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开，得到一个矩形BB1B1′B′（如图）．

由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经过M到达C1的路线最短．

所以最短路线长为BC1＝

＝2

.]

学案导学与随堂笔记答案精析当堂训练

1．A　2.A　3.D

4.

a2

解析　AC＝

＝

a，由SA＝SC＝a，

则有SA2＋SC2＝AC2，

∴∠ASC＝90°.

所以S△SAC＝

·a·a＝

a2.

5．①③

解析　①正确，根据棱柱的定义可知；②错误，因为侧棱与底面上棱长不一定相等；③正确，根据棱柱的特征知，棱柱中上下两个底面一定是全等的，棱柱中至少有两个面的形状完全相同；④错误，因为底面和侧面的交线不是侧棱．