数值分析计算实习题列主元高斯消去法解线性方程组.docx

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数值分析计算实习题列主元高斯消去法解线性方程组

数值分析计算实习题

第5章解线性方程组的直接方法

列主元高斯消去法解线性方程组。

书上的计算实习题1、2、3都要求用列主元高斯消去法解线性方程组，所以考虑写一个普适的程序来实现。

对于线性方程组Ax=b,程序允许用户从文件读入矩阵数据或直接在屏幕输入数据。

文件输入格式要求：

（1）第一行为一个整数n（2<=n<=100）,表示矩阵阶数。

（2）第2〜n+1行为矩阵A各行列的值。

（3）第n+2〜n+n+2行为矩阵b各行的值。

屏幕输入：

按提示输入各个数据。

输出：

A、b、det（A）、列主元高斯消去计算过程、解向量X。

【算法说明】

设有线性方程组Ax=b,其中设A为非奇异矩阵。

方程组的增广矩阵为

[a,b]=

an„

第1步（k=l）：

首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素％,作为第一步的主元素：

如凜产如工0

然后交换（A,b）的第1行与第1行元素，再进行消元计算。

设列主元素消去法已经完成第1步到第k・l步的按列选主元，交换两行，消元计算得到与原方程组等价的方程组A（k）x=b（k）

用姐…哦盘…於？

MB

•

■

•

■

■

[A,b]T[A（?

b（*）]=

■

…盅

•

a"〉

■

唱”

■

■

■

•

•

•

•

...卅

IUI

•

第k步计算如下：

对于k=l,2,n-1|時卜maxaf"

（1）按列选主元：

即确定t使

（2）如果tHk,则交换［A,b］第t行与第k行元素。

（3）消元计算

aikJ叫=-bgk+X・・Ji）

akk

%<-%+叫ciy（i,j=k+l,…川）

»〜乞+叫几（j=k+l,…屮）

消元乘数mik满足:

M=吃+1,产•,）

（4）回代求解

（b厂工陶形）

兀＜,（'=〃_1屮_2,・・、1）

【程序】

/*

【普适列主元消去法解线性方程组】对于线性方程组：

Ax=b

输入：

［选择屏幕直接输入］

1・A的行阶数11（1<=n<=100）

2.A的值

3.b的值

［选择读取文件］

文件名（和主程序同级文件夹下）

输出：

1.A

2.b

3.det（A）

4.解向量x

#include

#include

#include

doubleA[1O5][1O5],A_B[1O5][1O习、b[105],x[105];doubledetA;

intnjnaik=1;

〃读入数据

voidinput（）{

intij;

charch[20],name[100];

FILE*f;

printfC^—-\ii是否从文件读取数据（Y/N）:

”）;scaufp%s：

&ch）;

if（ch[O]=Y'||ch[0]=V）{

prmtfC'请输入文件名（包扌舌扩展名）：

”）；scanfi（H%s,\name）;

f=fbpen（name；,in）;

fscaiif（f/%d*\&n）;

fbr（i=0;i

for（j=0j

fbr（i=0;i

住canfg'%lf；&b[i]）;

pnntfC请输入A的阶数：

”）；scanf（n%d%cT,&n）;

prmtfC请输入A的值：

”）；

fbr（i=0;i

for（j=Oj

printf（"请输入b的值：

”）；

fbr（i=0;i

}

}

〃计算行列式的值

doubledet（doubles[105][105],intm）{

intzj,k;

doubleb[105][105],total=0,r;/*b[N][N]ffl于存放,在矩阵s[N][N]中元素s[0]的余子式*/

fbr（z=0;z

for（j=0j

for（k=0;k

if（k>=z）

b[j][k]=s[j+l][k+l];

else

bQ][k]=s[j+l][k];

if（z%2==0）

r=s[0][z]*det（b4ii-1）;/*递归调用

else

r=（-1）*s[O]JXl*det（bjn-1）;

total=total+r;

}

}

elseif（m=2）

total=s[0][0]*s[l][l]-s[0][l]*s[l][0];

elseif（m=1）

total=s[0][0];

returntotal;

}

//输出A和b和det（A）voidoutput_lQ{

intij;

pnntffA=\iin）;

for（i=0;i

for。

=OJ

}

printf（H\nb=\n”）；

for（i=0;i

pnntfC%15・4f\iT；b[i]）;

printf（M\iidet（A）=%.4fn*\detA）;}

//主计算函数

voidcount_x（）{

mtij,k;

intmax;

doubletmpjiuk;

//构造增广矩阵

for（i=0;i

A_B[i][j]=A[i]|j];A_B[i][n]=b[i];

}

pnntf（”\n展示消元过程（A_E为A的増广矩阵printf（HA_B=\iT）;

for（i=0;i

}

〃按列选主元

for（k=0;k

fbr（i=k;iabs（A_B[max][k]））max=i;

〃若A[inax][k]=0,即det（A）=0,则无唯一解，退出计算

「s3al<餐s3al<•a==alvHs曰alvsggrfg曰q—v丄二sq—v丄二SST<

（++「u:

>■:

?

+;

「32al<二兰三alvH3H〕alv

）（++=uV匚+上HT）」OJ

M七賦泌s

QluuH3XGUTMIVs〔xc3qlv丄二gST

Hv蛋HmE

）（4I!

.HcgT

oH4TU2

）（0HHg〔xuu二8—vm

xu3ql<*msql

（++ruv^+thmE工U」zql

X!

^0ha=e;HnTOJ

•U=T•sale二U=T'aqlfms'umc•u」x

rsT:

oH4TU2

（0==〔「U=T;»1<七M44m型•灌—誉宋耳0H<

七UT】d

「■§zql<・J寸・3贾呂目d

（++■?

Hv〔0H

X++-SV「0HVOJ「（Mhgrv.^md

oHssalv

//输出解向量xvoidoutput_2Q{

intij;

if（?

niaik）

pnntf（”\n该方程没有唯一解！

else{

prmtf（M\iib=\iin）;

fbr（i=0;i

printf（H%15.5fn*\x[i]）;

}

}

intmam（）{

charch[20];

pnntfC普适列主元消去法解线性方程组E）;

wlule（l）{

mput（）;

detA=det（A.n）;output」（）；count_xQ;

output_2（）;

//读取数据

//计算A的行列式

//输出A和bfndet（A）

//主计算函数

//输出解向量X

是否继续（Y/N）小）;

scanf（M%sH,&ch）;

if（ch[O]==T11|ch[0]=V）contmue;

else

break;

【结果测试】

一共采用了书上的例题和习题内的5组数据（dl〜d5）,均采用文件读入方式读取，计算结果，与mntlab运算结果进行比对均相符合，基本验证了程序的正确性。

下面给出各组数据和运行结果：

［数据］

dl.txt

3

3.016.031.99

1.274.16-1.23

0.987-4.819.34

1

1

1d2.txt

3

3.006.031.99

1.274.16-1.23

0.99-4.819.34

1

1

1d3.txt

3

0.0012.0003.000

-1.0003.7124.623

-2.0001.0725.643

1.000

2.000

3.000d4.txt

4

10-701

-32.09999962

5-15-1

2102

8

5.900001

5d5.txt

4

10787

7565

86109

75910

32

2333

31

［运行结果］

普适列主元消去法解线性方程组

是否从文件读取数据（Y/N）y请输入文件名（包括扩展名）：

dl.txt

A=

3.0100

6.0300

1.9900

1.2700

4.1600

-1.2300

0.9870

-4.8100

9.3400

1.0000

1.0000

1.0000

det（A）=-0.0305

展示消元过程（AJB为A的增广矩阵）:

A_B=

3.0100

6.0300

1.9900

1.0000

1.2700

4.1600

-1.2300

1.0000

0.9870

-4.8100

9.3400

1.0000

A_B=

3.0100

6.0300

1.9900

1.0000

0.0000

1.6158

-2.0696

0.5781

0.0000

-6.7873

8.6875

0.6721

A_B=

3.0100

6.0300

1.9900

1.0000

0.0000

-6.7873

8.6875

0.6721

0.0000

0.0000

-0.0015

0.7381

A_B=

3.0100

6.0300

1.9900

1.0000

0.0000

-6.7873

8.6875

0.6721

0.0000

0.0000

-0.0015

0.7381

b=

1592.59962

-631.91138

-493.61772

是否继续（Y/N）:

y

是否从文件读取数据（Y/N〉：

y

请输入文件名（包拾扩展名）：

d2.txt

A=

3.0000

6.0300

1.9900

1.2700

4.1600

-1.2300

0.9900

-4.8100

9.3400

1.0000

1.0000

1.0000

det（A）=-0.4070

展示消元过程（AJB为A的增广矩阵）:

A_B=

3.0000

1.2700

0.9900

6.0300

4.1600

-4.8100

1.9900

-1.2300

9.3400

1.0000

1.0000

1.0000

A_B=

3.0000

6.0300

1.9900

1.0000

0.0000

1.6073

-2.0724

0.5767

0.0000

-6.7999

8.6833

0.6700

A_B=

3.0000

6.0300

1.9900

1.0000

0.0000

-6.7999

8.6833

0.6700

0.0000

0.0000

-0.0200

0.7350

A_B=

3.0000

6.0300

1.9900

1.0000

0.0000

-6.7999

8.6833

0.6700

0.0000

0.0000

-0.0200

0.7350

119.52734

-47.14260

-36.84026

是否继续（Y/N）y

是否从文件读取数据（Y/N〉：

y

请输入文件名（包括•扩展名）：

d3.txt

A=

0.0010

2.0000

3.0000

-1.0000

3.7120

4.6230

-2.0000

1.0720

5.6430

1.0000

2.0000

3.0000

det（A）=11.8660

展示消元过程（A_E为A的增广矩阵）:

A_B=

0.0010

2.0000

3.0000

1.0000

-1.0000

3.7120

4.6230

2.0000

-2.0000

1.0720

5.6430

3.0000

A_B=

-2.0000

1.0720

5.6430

3.0000

0.0000

3.1760

1.8015

0.5000

0.0000

2.0005

3.0028

1.0015

A_B=

-2.0000

1.0720

5.6430

3.0000

0.0000

3.1760

1.8015

0.5000

0.0000

0.0000

1.8681

0.6866

A_B=

-2.0000

1.0720

5.6430

3.0000

0.0000

3.1760

1.8015

0.5000

0.0000

0.0000

1.8681

0.6866

-0.49040

-0.05104

0.36752

是否继续（Y/N）:

y

是否从文件读取数据（Y/N）:

y请输入文件名（包括扩展名）：

d4.txtA=

10.0000

-7.0000

0.0000

1.0000

-3.0000

2.1000

6.0000

2.0000

5.0000

-1.0000

5.0000

-1.0000

2.0000

1.0000

0.0000

2.0000

b=

8.0000

5.9000

5.0000

1.0000

det（A）=-762.0001

展示消元过程（AJB为A的增广矩阵）:

A_B=

10.0000

-7.0000

0.0000

1.0000

8.0000

-3.0000

2.1000

6.0000

2.0000

5.9000

5.0000

-1.0000

5.0000

-1.0000

5.0000

2.0000

1.0000

0.0000

2.0000

1.0000

A_B=

10.0000

-7.0000

0.0000

1.0000

8.0000

0.0000

-0.0000

6.0000

2.3000

8.3000

0.0000

2.5000

5.0000

-1.5000

1.0000

0.0000

2.4000

0.0000

1.8000

-0.6000

A_B=

10.0000

-7.0000

0.0000

1.0000

8.0000

0.0000

2.5000

5.0000

-1.5000

1.0000

0.0000

0.0000

6.0000

2.3000

8.3000

0.0000

0.0000

-4.8000

3.2400

-1.5600

A_B=

10.0000

-7.0000

0.0000

1.0000

8.0000

0.0000

2.5000

5.0000

-1.5000

1.0000

0.0000

0.0000

6.0000

2.3000

8.3000

0.0000

0.0000

0.0000

5.0800

5.0800

A_B=

10.0000

-7.0000

0.0000

1.0000

8.0000

0.0000

2.5000

5.0000

-1.5000

1.0000

0.0000

0.0000

6.0000

2.3000

8.3000

0.0000

0.0000

0.0000

5.0800

5.0800

-0.00000

-1.00000

1.00000

1.00000

是否继续（Y/N）:

y

是否从文件读取数据（Y/N）:

y请输入文件名（包括扩展名）：

d5.txtA=

10.0000

7.0000

8.0000

7.0000

7.0000

5.0000

6.0000

5.0000

8.0000

6.0000

10.0000

9.0000

7.0000

5.0000

9.0000

10.0000

32.0000

23.0000

33.0000

31.0000

det（A）=1.0000

展示消元过程（AJB为A的增广矩阵）:

A_B=

10.0000

7.0000

8.0000

7.0000

7.0000

5.0000

6.0000

5.0000

8.0000

6.0000

10.0000

9.0000

7.0000

5.0000

9.0000

10.0000

32.0000

23.0000

33.0000

31.0000

A_B=

10.0000

7.0000

8.0000

7.0000

32.0000

0.0000

0.1000

0.4000

0.1000

0.6000

0.0000

0.4000

3.6000

3.4000

7.4000

0.0000

0.1000

3.4000

5.1000

8.6000

A_B=

10.0000

7.0000

8.0000

7.0000

32.0000

0.0000

0.1000

0.4000

0.1000

0.6000

0.0000

0.0000

0.0000

0.0000

2.0000

3.0000

3.0000

5.0000

5.0000

8.0000

A_B=

10.0000

7.0000

8.0000

7.0000

32.0000

0.0000

0.1000

0.4000

0.1000

0.6000

0.0000

0.0000

3.0000

5.0000

8.0000

0.0000

0.0000

0.0000

-03333

-0.3333

A_B=

10.0000

7.0000

8.0000

7.0000

32.0000

0.0000

0.1000

0.4000

0.1000

0.6000

0.0000

0.0000

3.0000

5.0000

8.0000

0.0000

0.0000

0.0000

-03333

-0.3333

1.00000

1.00000

1.00000

1.00000

是否继续（Y/N）: