计算方法复习题大全doc.docx
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计算方法复习题大全doc
计算方法总复习
第一章绪论
例1．已知数x=2.718281828...,取近似值x*=2.7182,那麽x具有几位有效数字点评；考查的有效数字的概念。
*
x
x
*
L
2.7182
0.00008182
e
2.718281828
解；
1
103
1
101
4
0.0005
2
2
故有四位有效数字。
例2．近似数x*
0.01999
关于真值x*
0.02000有几位有效数字
*
*
L
0.02000
0.00001
ex
x
0.01999
解：
1
104
1
1013
0.00005
2
2
故有三位有效数字。
－2
），则称x有4位有
例3．数值x*的近似值x=0.1215×10
，若满足xx（
效数字
点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。
解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如
0.a1a2a3Kan的数
则绝对误差限一定为1
10
4，由于题目中的数x0.a1a2L
an
102,故最终的
1
2
1
绝对误差为
104
102
106
2
2
例4．有效数x1*
3.105,x2*
0.001,x3*
0.100
，试确定x1*
x2*
x3*的相对误差限。
点评；此题考查相对误差的传播。
*
n
f
*
*
*
er（y
）
i1
（
xi
）
er（xi
）xi
y*
*
*
*
er（x1*）x1*
er
（x2*）x2*
er（x3*）x3*
e（x1*）
e（x2*）e（x3*）
故有er（x1
x2
x3）
x1*
x2*
x3*
x1*
x2*
x3*
*
*
*
1103
1103
1103
*
*
*
e（x1）e（x2）e（x3）
2
2
2
=0.0004993
解：
er（x1
x2
x3）
x1*
x2*
x3*
3.1050.0010.100
例5．sin1有2位有效数字的近似值
0.84的相对误差限是
.
解法1：
1
10
21
1
101
0.00625（有效数字与相对误差限的关系）
2
8
16
解法2；1
10
2
0.84
（相对误差限的概念）
2
0.0059524
例6．nx*
的相对误差为x*的相对误差的----倍。
*
n
f
*
*
*
解：
根据误差传播公式
er（y）
i1（
xi
）er（xi）xi
y*
则有er（nx*）
（nx*）'er（x*）x*/nx*
1
n
第二章
例1．设f（x）可微，求x
f（x）根的牛顿迭代公式----。
解；化简得到
x
f（x）
0
根据牛顿迭代格式
xk1
xk
f（xk）
（k
0,
1,2,）
f'（xk）
则相应的得到
xk1
xk
f（xk）
（k
0,1,2,L）
xk
f'（xk）
1
例2：
求方程
f（x）
x3
x
1
0
在区间[1,1.5]内的实根。
要求准确到小数点后第
2位。
思路；用二分法，这里a=1,b=1.5，且f（a）<0，f（b）>0。
取区间[a,b]的中点
x=1.25将区间二等分，由于f（x
）<0，即f（x）与f（a）同号，故所求的根必在x
0
0
0
0
的右侧，这里应令a1
0
，
1
1
1
=x
=1.25b=b=1.5，而得到新的有根区间（
a,b）。
对区间（a1
1）再用中点
1
=1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤
2
、；
b
x
3
解：
预先估计一下二分的次数：
按误差估计式
x
*
xk
bk1
ak1
1
k1（ba）
2
解得k=6，即只要二分6次，即达所求精度。
计算结果如下表：
k
a
b
x
f（xk）的符号
k
k
k
0
1
1.5
1.25
-
1
1.25
1.5
1.375
+
2
1.25
1.375
1.3125
-
3
1.3125
1.375
1.3438
+
4
1.3125
1.3438
1.3281
+
5
1.3125
1.3281
1.3203
-
6
1.3203
1.3281
1.3242
-
例3：
求方程
f
（）
x
10x
20
的一个根
x
解：
因为f
（0）=1>0
f
（1）=-7<0，知方程在[0,1]中必有一实根，现将原方
程改为同解方程
10x
x2
x
lg（x
2）
由此得迭代格式
xk
1
lg（xk
2）
收敛性判断；当x
（0,1）
时，（x）
lg（x
2）
（0,1），且由于
'（x）
1
1
0.2171
1，故迭代格式收敛
（x2）ln102ln10
取初始值x0=1，可逐次算得
x1=0.4771
x2=0.3939
x6=0.3758
x7=0.3758
例4：
求方程x33x10在[0,0.5]内的根，精确到10-5。
解：
将方程变形
x
1
（x3
1）
（x）
3
因为
'（x）
x2
0，在[0,0.5]内为增函数，所以
Lmax'（x）
0.52
0.251
满足收敛条件，取x0=0.25，用公式（2.3）算得
x1=（0.25）=0.3385416
x2=（x1）=0.3462668
x3=
（x2）=0.3471725
x4=
（x3）=0.3472814
x
5
=
（x）=0.3472945
4
x
6
=
（x）=0.3472961
5
x7=
（x6）=0.3472963
取近似根为x*
=0.347296
例5：
用牛顿迭代法建立求平方根
c（c>0）的迭代公式，并用以上公式求
0.78265
解：
设f（x）
x2
c，（x>0）则c就是f（x）=0的正根。
由为f’（x）=2x，所以得
迭代公式
xk1
xk
xk2
c
2xk
或
xk1
1xk
c
（2.6）
2
xk
由于x>0时，f’（x）>0，且f
（x）>0，根据定理3知：
取任意初值x0
c，所确
定的迭代序列{xk}必收敛于
c。
取初值x=0.88，计算结果见表
kxk
00.88
10.88469
20.88468
30.88468
故可取0.782650.88468
第三章
例1．.用列主元消去法解线性方程组
12x13x23x315
18x13x2x315
x1x2x36
计算过程保留
4位小数.
12
3
3
15
解.[Ab]=18
3
1
15
（选a21
18为主元）
1
1
1
6
18
3
1
15
（r1,r2）
12
3
3
15（换行，消元）
1
1
1
6
r
12r
2
18
1
18
3
1
15
r
1r
3
18
1
0
1
2.3333
5（选a32
1.1667为主元，并换行
0
1.1667
0.9444
5.1667
消元）
（r2,r3）
r
1
r2
31.1667
18
3
1
15
0
1.1667
0.9444
5.1667
系数矩
0
0
3.1428
9.4285
阵为上三角形矩阵，于是回代得解
x3
9.4285
3.0000
3.1428
x2
[5.166
70.9444
3.0000]/1.1667
2.0000
x1
[15
3.00003
2.0000]/（18）
1.0000
T
方程组的解为X（1.0000,2.0000,3.0000）
例2：
用列主元高斯消去法求解方程
2x1
x
2
3x3
1
4x1
2x2
5x3
4
x1
2x
2
7
由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的
“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。
对这种增广矩阵施行消元手续：
2131
4*254
1207
第一步将4选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到
4
2
5
4
1
0.5
1.25
1
2
1
3
1
第一步消元
0
2*
0.5
1
1
2
0
7
0
1.5
1.25
6
1
0.5
1.25
1
1
0.5
1.25
1
第二步消元
0
1
0.25
0.5
第三步消元
0
1
0.25
0.5
0
0
0.875
5.25
0
0
1
6
消元过程的结果归结到下列三角形方程组：
x10.5x2
1.25x3
1
x2
0.25x3
0.5
x3
6
回代，得
x19
x21
x36
例3：
用直接三角分解法解
1
2
3
x1
14
2
5
2
x2
18
3
1
5
x3
20
解：
（1）对于r=1，利用计算公式
u111u122u133
l21=2
l31=3
（2）对于r=2，
u22
a22
l21u12=5–22=1
u23
a23
l21u13=2–23=-4
l32
（a32
l31u12）
（1
32）
5
u22
1
（3）r=3
u33
a33（l31u13
l32u23）
5
（33（5）（4））
24
于是
1
1
2
3
A
2
1
1
4
LU
3
5
1
24
（4）求解：
Ly=b
得到
y
=14
1
y2=b2–l21y1=18–214=-10
y
=b
–（ly
1
+l
y）=20–（314+（-5）（-10））=-72
3
3
31
32
2
从而y=（14,-10,-72）T
由Ux=y
得到
y3
72
3
x3
24
u33
（y2
u23x3）
10（43）
x2
u22
2
1
y1（u12x2
u13x3）14（2233）
x1
u11
1
1
x（1,2,3）T
例5：
用雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法解线性方程组
9
1
1
x1
7
1
8
0
x2
7
1
0
9
3
8
x
解：
所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法都收敛。
D=diag（9,8,9）
D-1=diag（1/9,1/8,1/9）
0
1/9
1/9
7/9
ID1A1/80
0
D1b7/8
1/9
0
0
7/9
雅克比迭代法的迭代公式为：
0
1/9
1/9
7
/9
X（k1）
1/8
0
0X（k）
7/8
1/9
0
0
7/9
取X（0）=（0,0,0）T，由上述公式得逐次近似值如下：
k
0
1
2
3
4
X（i）
0
0.7778
0.9738
0.9942
0.9993
0
0.8750
0.9723
0.9993
0.9993
0
0.8889
0.9753
0.9993
0.9993
高斯――赛得尔迭代法：
x1（k1）
x2（k1）
1x2（k）
9
1x1（k1）
8
x3（k）7
x3（k）7
x3（k1）
1x1（k1）
0x2（k1）
8
9
迭代结果为：
k
0
1
2
3
4
x（i）
0
0.7778
0.9942
0.9998
1.000
0
0.9722
0.9993
1.0000
1.000
0
0.9753
0.9993
1.0000
1.000
9x1
2x2
x3
6
例6．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组
x1
8x2
x3
8
x1
x2
8x3
8
收敛性，并取x（0）
（1,0,0）T，求近似解x（k1）
，使得xi（k1）
xi（k）
103（i=1，2，3）
解法同上（1，1，-1）
10
2
1
例7.设矩阵A＝2
10
1
1
2
5
，那么以A为系数矩阵的线性方程组AX＝b的雅
可比迭代矩阵为（A
）
0
0.2
0.1
1
0.2
0.1
（A）0.2
0
0.1
（B）
0.2
1
0.1
0.2
0.4
0
0.2
0.4
1
0
0.2
0.1
0
2
1
（C）
0.2
0
0.1
（D）
2
0
1
0.2
0.4
0
1
2
0
例8、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组
的迭代格式中求＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿
例9、若则矩阵A的谱半径（A）=＿＿＿
第五章
第六章
．矛盾方程组
x1
2.8的最小二乘解为----。
1
x1
3.2
2．给出拟合三点A
（0,1）,B（1,0）和C
（1,1）的直线方程。
第七章
1．插值型求积公式的求积系数之和为＿1＿＿
已知f（x）x21，则差商f[1,2,3]。
3．求积公式
3
2f
（2）有几次的代数精确度？
（1）
f（x）dx
1
b
n
f（x）dx
Aif（xi）的代数精确度至少是----次。
N
4．插值型求积公式
a
i0
．已知
n=4
时牛顿－科茨求积公式的科茨系数
C（4）
7
C（4）
16
C（4）
2,那么C
（4）
5
0
90
1
45
2
15
3
＝（
）
（A）
7
（B）16
（C）2
（D）1
7
16
2
39
90
45
15
90
45
15
90
b
n
6．设求积公式f（x）dx
Akf（xk），若对
的多项式积分
a
k0
公式精确成立，而至少有一个m+1次多项式不成立。
则称该求积公式具有m次代数精度.
7．取m=4,即n=8，用复化抛物线求积公式计算积分
计算过程保留4位小数.
1.2
2）dx
ln（1x
0
解n=8,h=1.200.15,f（x）=ln（1+x2）
8
计算列表
f（xk）
=
ln（1xk2）
k
xk
奇数号
偶数号
端点
0
0.00
0
1
0.15
0.0223
2
0.30
0.0862
3
0.45
0.1844
4
0.60
0.3075
5
0.75
0.4463
6
0.90
0.5933
7
1.05
0.7431
8
1.20
0.892
0
1.3961
0.9870
0.892
0
代入抛物线求积公式
1.2
x2）dx
h
ln（1
[f0
f84（f1
f3f5
f7）2（f2
f4f6）]
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