第二专题整数的速算与巧算docx.docx
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【第二专题】整数的速算与巧算
前面专题初步讲解一些四则混合运算的性质和简单的运算技巧,但这仅仅是运算的基础,本专题将更深入地介绍一些特定的速算、巧算的方法,以提高计算的效率、节省计算时间,锻炼记忆力,提高综合分析、判断能力,提高解决复杂问题的能力。
【必会知识点】
一、基本运算定律
⑴加法交换律:
⑵加法结合律:
⑶乘法交换律:
⑷乘法结合律:
⑸乘法分配律:
(反过来就是提取公因数)
⑹减法的性质:
⑺除法的性质:
(8)其他性质:
a-(b-c)=a-b+c=a+c-b
a-(b+c)=a-b-c
a÷(b÷c)=a÷b×c=a×c÷b
[积不变性质]:
同时乘以(或除以)同一个非零数,积不变,即:
a×b=(a×n)×(b÷n)=(a÷n)×(b×n)(n≠0)
[商不变性质]:
被除数和除数除以(或乘以)同一个非0的数,商不变,即:
a÷b=(a×n)÷(b×n)=(a÷n)÷(b÷n)(n≠0)
[在连除时,可以交换除数位置,商不变],如a÷b÷c=a÷c÷b
[在乘除混合运算中,被乘数、乘数(或除数)必须连同运算符号一起交换位置(即带符号搬家)[,如:
a×b÷c=a÷c×b=b÷c×a
上面的这些运算律,既可以从左到右顺着用,【尤其是】可以从右到左逆着用.
二、在乘除运算中,去掉和添加括号的规则
【去括号原则:
】
1、括号前是“×”,去括号后,括号内的乘除符号不变,
即:
a×(b×c)=a×b×c,a×(b÷c)=a×b÷c
2、括号前是“÷”,去括号后,括号内的“×”变为“÷”,“÷”变为“×”,即:
a÷(b×c)=a÷b÷c,a÷(b÷c)=a÷b×c;
【添括号原则:
】
1、加括号时,括号前是“×”,原符号不变;但此时括号内不能有加减运算,只能有乘除运算;
即:
a×b×c=a×(b×c),a×b÷c=a×(b÷c);
2、括号前是“÷”,其中“×”号变成“÷”号,“÷”变为“×”,
但此时括号内不能有加减运算,只能有乘除运算.
即,a÷b÷c=a÷(b×c),a÷b×c=a÷(b÷c)。
(13)两个数之积除以两个数之积等于分别相除后在相乘,
即,(a×b)÷(c×d)=(a÷c)×(b÷d)=(a÷d)×(b÷c)
【多背勤背,灵活运用,尤其逆运算】
【概念】
1.什么是补数?
两个数相加,若能恰好凑成整十、整百、整千、整万„,就把其中的一个数叫做另一个数的“补数”。
如:
1+9=10,3+7=10,2+8=10,4+6=10,5+5=10。
又如:
11+89=100,33+67=100,
22+78=100,44+56=100,55+45=100,这些都互为补数。
对于一个较大的数,如何能很快地算出它的“补数”来呢?
一般来说,可以这样“凑”数:
从最高位凑起,使各位数字相加得9,到最后个位数字相加得10。
如:
87655→12345,46802→53198,87362→12638
【要求】补数要达到看见一个数马上想到他的补数的程度
【必背的固定算式】
A、式中含有25、125、(或4、8)的情况的
4×25=1×4×25=100,
8×25=2×4×25=200,
12×25=3×4×25=300
16×25=4×4×25=400
20×25=5×4×25=500
24×25=6×4×25=600
28×25=7×4×25=700
32×25=8×4×25=800
36×25=9×4×25=900
8×125=1×8×125=1000,
16×125=2×8×125=2000,
24×125=3×8×125=3000
32×125=4×8×125=4000
40×125=5×8×125=5000
48×125=6×8×125=6000
56×125=7×8×125=7000
64×125=8×8×125=8000
72×125=9×8×125=9000
625×16=10000 (注意) 24×5=120与25×4=100别混了
B、①计算结果为“11……”的
1×9+2=1111×11=121
12×9+3=111111×111=12321
123×9+4=11111111×1111=1234321
1234×9+5=1111111111×11111=123454321
12345×9+6=111111111111×111111=12345654321
123456×9+7=11111111111111×1111111=1234567654321
1234567×9+8=1111111111111111×11111111=123456787654321
12345678×9+9=111111111(等于12345679×9=11111111)
②计算结果为“88……”的
9×9+7=88
98×9+6=888
987×9+5=8888
9876×9+4=88888
98765×9+3=888888
987654×9+2=8888888
9876543×9+1=88888888
③计算结果为“10……”的
19+9×9=100
118+98×9=1000
1117+987×9=10000
11116+9876×9=100000
111115+98765×9=1000000
1111114+987654×9=10000000
11111113+9876543×9=100000000
111111112+98765432×9=1000000000
1111111111+987654321×9=10000000000
④数字142857循环的
142857×2=285714
142857×3=428571
142857×4=571428
142857×5=714285
142857×6=857142
142857×7=999999
其他的可以化为(n-2,3,4,5,6的形式),转化为加法算式
如142857×11=142857×(6+5)
=142857×6+142857×5=857142+714285=1571427
C、几个质数连乘积的,(啥叫质数?
需要学会)
质数(素数):
一个数除了1和它本身,不再有别的约数,这样的数叫做质数(素数)
互质数:
公约数只有1的两个数,叫做互质数。
(如:
5和6,8和9等)
7×11×13=1001
13×31=403,13×37=481, 37×3=111
D、常见数的平方、立方
1²=12²=43²=94²=165²=256²=367²=498²=649²=8110²=100
11²=12112²=14413²=16914²=19615²=22516²=25617²=289
18²=32419²=36120²=40025²=625
302=90 402=1600 502=2500 602=3600 702=4900 802=6400 352=1225 452=2025 552=3025 652=4225 752=5625 852=7225
1³=12³=83³=274³=645³=1256³=2167³=3438³=5129³=72910³=1000
E、分数、小数与百分数的关系
1/2=0.5=50%1/4=0.25=25%2/4=0.5=50%3/4=0.75=75%
1/5=0.2=20%2/5=0.40=40%3/5=0.6=60%4/5=0.8=80%
1/8=0.125=12.5%2/8=0.25=25%3/8=0.375=37.5%
4/8=0.500=50%5/8=0.625=62.5%6/8=0.7=70%
7/8=0.875=87.5%
1/10=0.1=10%3/10=0.3=30%……
1/20=0.05=5%3/20=0.15=15%……
1/25=0.04=4%2/25=0.08=8%……
1/50=0.02=2%3/50=0.06=6%……
1/100=0.01=1%
1/125=0.008=0.8%2/125=0.016=1.6%……
1/3≈0.333=33.3%2/3≈0.667=66.7%
1/6≈0.167=16.7%5/6≈0.833=83.3%
F、关于π的数(结果保留2位小数即可)
1π=3.142π=6.283π=9.424π=12.56
5π=15.76π=18.847π=21.988π=25.12
9π=28.2610π=31.411π=34.5412π=37.68
13π=40.8214π=43.9615π=47.116π=50.24
20π=62.824π=75.3625π=78.5
36π=113.0448π=150.72 49π=153.86
64π=200.96 72π=226.08 75π=235.5
G、100以内质数
2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97
H、关于时间的
1世纪=100年
一年的天数,平年365日、闰年366日;
1日=24小时1小时=60分=3600秒,1分=60秒;
1年有4个季度;每个季度有3个月;1年有12个月;
1、3、5、7、8、10、12月是大月,每月有31天;
4、6、9、11月是小月,每月有30天。
平年的2月是28天,闰年的2月是29天。
关于闰年(年份是100的倍数,如果能被400整除的,那一年是闰年;年份数不是100的倍数,如果能被4整除的,那一年是闰年)
I、100以内合数的分解
4=2×2;6=2×3;8=2×2×2;9=3×3;
10=2×5;12=2×2×3;14=2×7;15=3×5;
16=2×2×2×2;18=2×3×3;20=2×2×5;21=3×7;
22=2×11;24=2×2×2×3;25=5×5;26=2×13;
27=3×3×3;28=2×2×7;30=2×3×5;32=2×2×2×2×2;
33=3×11;34=2×17;35=5×7;36=2×2×3×3;
38=2×19;39=3×13;40=2×2×2×5;42=2×3×7;
44=2×2×11;45=3×3×5;46=2×23;48=2×2×2×2×3;
49=7×7;50=2×5×5;51=3×17;52=2×2×13;
54=2×3×3×3;55=5×11;56=2×2×2×7;57=3×19;
58=2×29;60=2×2×3×5;62=2×31;63=3×3×7;
64=2×2×2×2×2×2;65=5×13;66=2×3×11;68=2×2×17;
69=3×23;70=2×5×7;72=2×2×2×3×3;74=2×37;
75=3×5×5;76=2×2×19;77=7×11;78=2×3×13;
80=2×2×2×2×5;81=3×3×3×3;82=2×41;84=2×2×3×7;
85=5×17;86=2×43;87=3×29;88=2×2×2×11;
90=2×3×3×5;91=7×13;92=2×2×23;93=3×31;
94=2×47;95=5×19;96=2×2×2×2×2×3;98=2×7×7;
99=3×3×11;100=2×2×5×5;
J、关于两个数相乘,确定个位数的
1)末位数为6的,需要乘数末位是6和6,或者4和9,或者2和3,或者1和6,或者2和8,或者4和4,或者7和8;
2)末位数为4的,需要乘数末位是2和7,或者3和8,或者2和2,或者1和4,或者4和6,或者6和9,或者8和8;
K、其他两位数乘法规则
1)两位数×101公式:
两位数重复两次例:
45×101=4545
2)三位数×1001公式:
三位数重复两次例:
234×1001=234234
3)四位数×10001公式:
四位数重复两次例:
1234×10001=12341234
(以上经常反算)
4)两位数×99公式:
丢1凑百
例:
23×99=227723-1=22放前面100-23=77放后面
特殊:
99×99=980199-1=98放前面100-99=01放后面
5)三位数×999公式:
丢1凑千
例:
123×999=122877123-1=122放前面1000-123=877放后面
6)四位数×9999公式:
丢1凑万
例:
1234×9999=12338766
7)两位数×11公式:
头作头,尾作尾,两数相加放中间
例:
52×11=5725放前2放后5+2=7放中间
特殊:
89×11=9798放前9放后8+9=17放中间17的1要进位,所以8+1=9
8)个位为5的两位数的自乘:
十位数字×(十位数字加1)×100+25
如15×15=1×(1+1)×100+25=225
25×25=2×(2+1)×100+25=625
35×35=3×(3+1)×100+25=1225
45×45=4×(4+1)×100+25=2025
55×55=5×(5+1)×100+25=3025
65×65=6×(6+1)×100+25=4225
75×75=7×(7+1)×100+25=5625
85×85=8×(8+1)×100+25=7225
95×95=9×(9+1)×100+25=9025
【常用的计算方法】
在熟练掌握前面公式、定律及固定结果的基础上,还需要掌握一些解题技巧,即根据算式中数的不同特点,巧妙利用以上结论进行化简,进而快速得出结果。
一、分组法:
根据运算定律、运算性质以及和差积商的变化规律,对算式中的运算进行重新组合。
【例题1】6324-(789-676)
=6324-789+676(去括号原则)
=(6324+676)-789(结合律)
=7000-789=6211
【例题2】5×25×2×4
=(5×2)×(25×4)(交换律)
=10×100=1000
【例题3】2/5+0.23+0.77+3/5
=(2/5+3/5)+(0.23+0.77)
=1+1=2
【巩固】计算①175×34+175×66(分配律)
②67×12+67×35+67×52+67
③54+99×99+45
二、补数凑整法:
对于算式中接近整十、整百……的数,有时补上一个数,使其变成整十、整百……的数,可简化计算。
【例题1】536-198
=536-(200-2)
=536-200+2=338
【例题2】44×99
=44×(100-1)
=44×100-44=4356
【巩固】
(1)24+44+56
(2)53+36+47
(3)123×101
(4)123×99
三、基准数法:
若干个都接近某数的数相加,可以把某数作为基准数,然后把基准数与相加数的个数相乘,再加上各数与基准数的差,即可得到计算结果,好处是化为个位数相加。
【例题1】31+35+32+28+29
=30×5+(1+5+2-2-1)
=150+5=155
【巩固】
(1)计算:
23+20+19+22+18+21
(2)计算:
102+100+99+101+98
(3)计算78+76+83+82+77+80+79+85
(4)计算389+387+383+385+384+386+388
(5)计算(4942+4943+4938+4939+4941+4943)÷6
四、分解法:
在某些除法或乘法算式中,可以把一些数先分解开来进行恒等变换,使计算简便。
【例题1】25×1.25×32
=25×1.25×(4×8)
=(25×4)×(1.25×8)
=100×10=1000
【例题2】560÷35
=560÷(7×5)
=560÷7÷5
=80÷5=16
五、转化法:
1.某数乘或除以5,25,125,可以用10÷2,100÷4,1000÷8代替5,25,125,然后计算。
2.一个数除以另一个不为0的数,可以转化为成这个数的倒数。
【例题1】78×5
=78×(10÷2)=78×10÷2=780÷2=390
【例题2】37÷9/4+125×4/9
=37×4/9+125×4/9
=(37+125)×4/9
=162×4/9=72
六、公式法:
1.等差数列求和公式:
a1为第一项,an为第n项,n为项数,sn为前n项和,d为公差
常见数列前n项和,
1 1+2+3+4+.....+100=(1+100)×100/2=5050
2 2+4+6+......+98+100=2×(1+2+3+......+49+50)
=2×(1+50)×50/2=2550
3 1+3+5+........+99=(1+99)×50/2=2500
4 12+22+32+.......+n2=n×(n+1)×(2n+1)/6
5 13+23+33+.......+n3=[n×(n+1)/2]2
【例题1】2+4+6+......+198+200
=2×(1+2+3+4+.....+100)
=2×[(1+100)×100/2]
=101×100=10100
或者=(2+200)×100/2=10100
【巩固】计算(1+3+5+…+1989)-(2+4+6+…+1988)
2.平方差公式:
(互为反算)
【例题1】403×397
=(400+3)×(400-3)
=4002-32=15991
【例题2】1002-992+982-972+......+22-12
=(100-99)×(100+99)+(98-97)×(98+97)+......+(2-1)×(2+1)
=199+195+......+7+3
=(3+199)×50/2=5050
3.完全平方公式
(a+b)²=a²+2ab+b²
(a-b)²=a²-2ab+b²
【例题1】(a2-1)2-(a2+1)2
=(a4-2a2+1)-(a4+2a2+1)
=-2a2
【例题2】992-98×100
=992-(99+1)×(99-1)
=992-992+1=1
七、其他类型:
例1计算9+99+999+9999+99999
解:
在涉及所有数字都是9的计算中,常使用凑整法.例如将999化成1000—1去计算.这是小学数学中常用的一种技巧.
9+99+999+9999+99999
=(10-1)+(100-1)+(1000-1)+(10000-1)
+(100000-1)
=10+100+1000+10000+100000-5
=111110-5
=111105.
例2计算199999+19999+1999+199+19
解:
此题各数字中,除最高位是1外,其余都是9,仍使用凑整法.不过这里是加1凑整.(如199+1=200)
199999+19999+1999+199+19
=(19999+1)+(19999+1)+(1999+1)+(199+1)
+(19+1)-5
=200000+20000+2000+200+20-5
=222220-5
=22225.
例3计算9999×2222+3333×3334
解:
此题如果直接乘,数字较大,容易出错.如果将9999变为3333×3,规律就出现了.
9999×2222+3333×3334
=3333×3×2222+3333×3334
=3333×6666+3333×3334
=3333×(6666+3334)
=3333×10000
=33330000.
例41999+999×999
解法1:
1999+999×999
=1000+999+999×999
=1000+999×(1+999)
=1000+999×1000
=1000×(999+1)
=1000×1000
=1000000.
解法2:
1999+999×999
=1999+999×(1000-1)
=1999+999000-999
=(1999-999)+999000
=1000+999000
=1000000.
【练习题】
一、乘5、15、25、125
(1)17×4×5
(2)125×19×8
(3)125×72
(4)25×125×16
(5)19×25×64×125
二、乘9、99、999
(1)12×9
(2)12×99
(3)12×999
(4)12345678987654321×9(提示:
12345678987654321=1111111112)
(5)2999+999×999
三、乘11、111、101
(1)45×11
(2)56×11
(3)2222×11
(4)2456×11
(提示:
可以用公式
,另外,还有一种小技巧——一个数乘以11,“两头一拉,中间相加”)
(5)37×101
(6)85×101
(7)79×101
(8)23×10101
(9)69×101010101
(10)123×1001
(11)3985×100010001
(12)4567×10001
(13)43869×1000010000100001
(提示:
重叠数问题)
(14)1000001×999999=
(15)2×3×5×7×11×13×17÷(2004-2)=
5×7×22×39×49=
(提示:
乘法凑整之乘11、111、101,7×11×13=1001)
(16)2007-7×11×13×2
(17)295×295
(18)705×705
(提示:
把29、70看成一个数的问题)
【解析】(17)
(18)
(19)712×788(20)1708×1792(21)1127×8927
(22)817×9217
【解析】
我们先将互补的概念推广一下,当两个数的和是10,100,1000,
时,这两个数互为补数,简称互补.
当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型;当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型.
(19)
的结果后四位应该是
,第四位之前则是