最新人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线 《垂线》教案3.docx

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最新人教版七年级数学下册第五章相交线与平行线《垂线》教案3

5．1.2　垂线

第一课时

教学目标　　　　　

1．了解垂直的概念，能说出垂线的性质；会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线．

2．经历观察、操作、想象、归纳、概括、交流等活动，培养用几何语言准确表达的能力．

教学重难点　　　　　

教学重点：

两条直线互相垂直的概念、性质和画法．

教学难点：

过一点作已知直线的垂线．

教学方法　　　　　

教学过程的设计与展开都以问题为载体，给学生提供探索的空间，引导学生积极探索．在教学过程中引导学生通过动手实践、自主探究、讨论交流、总结归纳的方式来获取知识，形成技能，发展思维，让学生学会学习．

一、复习回顾，引入新课

设计说明

回顾邻补角、对顶角的概念及性质，为研究两直线垂直所形成的四角之间的特殊关系作准备，而相交线模型的演示，从运动的角度让学生感受两直线相交从“一般”到“特殊”再到“一般”的过程，加深对垂直特殊性的认识．

问题1：

回忆邻补角、对顶角的定义及性质．

问题2：

教师出示相交线的模型，演示模型，让学生观察思考（如图）：

固定木条a，转动木条b，当b的位置变化时，a，b所成的角α是如何变化的？

其中会有特殊情况出现吗？

当这种情况出现时，a，b所成的四个角有怎样的特殊关系？

讨论结果：

1.略；

2．当b的位置变化时，a，b所成的角α也会发生变化．当α＝90°时，a与b互相垂直．如右图，而角α从锐角变为钝角时，α是直角为特殊情况．其特殊之处还在于：

当α是直角时，它的邻补角、对顶角都是直角，即a，b所成的四个角都是直角，都相等．

学生对两直线相交的这种特殊情形并不陌生，在小学接触过，我们身边也存在大量的这种情形，请同学们再举一些例子．

教学说明

垂直是两直线相交的特殊情形，两直线垂直所形成的四角之间的关系，需要利用“邻补角和为180°”、“对顶角相等”来得出，因此通过问题1引导学生回忆有关内容是非常必要的；相交线模型的演示与有关问题的引导，使学生对垂直的认识由感性上升到理性，从而加深学生对垂直的理解．

二、探索新知

（一）归纳总结，得出垂直的有关概念

1．引导学生给出垂直定义．

问题3：

根据前面的活动，你能说出什么样的两条直线互相垂直吗？

鼓励学生大胆发表自己的见解，学生可能会说两条直线相交所构成的四个角都是直角时，两条直线互相垂直，这时可以引导学生认识到两线相交所构成的四个角中只要有一个角是直角就可以得出其他三个角也是直角．

讨论结果：

两条直线相交所构成的角中有一个角是直角时，我们就称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．

注意引导学生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：

“互相垂直”是指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名．如果说两条直线“互相垂直”时，那么其中一条必定是另一条的“垂线”；如果一条直线是另一条直线的“垂线”，那么它们必定“互相垂直”．

2．垂直的表示法

许多几何图形都可以用符号来表示，例如，角用“∠”表示，三角形用“△”表示等等，垂直也有它自己的符号，垂直用符号“⊥”来表示，“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，就可记为AB⊥CD，垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号．

我们可以借助图形将垂直的定义用符号表示出来（引导学生明确垂直定义的条件与结论，然后用符号表示出来）．

如下图，若直线AB，CD相交于点O，∠BOC=90°，则AB⊥CD，垂足为O，根据定义还可以得到：

如下图：

若AB⊥CD，垂足为O，则∠AOC=∠BOC=∠BOD=∠AOD=90°.

3．初步应用

判断以下两条直线是否垂直

（1）两条直线相交所成的四个角中有一个是直角．（　　）

（2）两条直线相交所成的四个角相等．（　　）

（3）两条直线相交，有一组邻补角相等．（　　）

（4）两条直线相交，对顶角互补．（　　）

答案：

（1）√　

（2）√　（3）√　（4）√

教学说明

两条直线垂直的定义在小学已经学过，因此课本没有再次给出，但是为了让学生更加系统地认识垂直，在教学中可再次明确给出垂直的定义，并且借助图形用符号语言来表示，可以让学生从文字语言、图形语言、符号语言等不同的角度来认识垂直，并且实现了三种语言之间的转化，在此过程中不仅培养了学生用几何语言表达问题的能力，同时还可以发展学生的符号感．类比其他图形的符号表示得出垂直的符号，自然贴切且便于学生理解记忆；初步应用是考查学生对垂直的掌握，通过这一问题让学生把握其实质．

（二）画图实践，探究垂线的性质

下面的活动，可以先让学生独立尝试，后小组交流，可以让学生到黑板演示用三角板或量角器画垂线的方法．

问题1：

已知直线l，能画出l的垂线吗？

能画几条？

讨论结果：

与直线l垂直的垂线有无数多条，即存在，但有不确定性．

问题2：

在直线l上取一点A，过点A画l的垂线，如何画？

能画几条？

你从中得到什么结论？

讨论结果：

经过直线上一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

问题3：

经过直线l外一点B画直线l的垂线，这样的垂线能画出几条？

从中你又得出什么结论？

讨论结果：

经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

教师让学生通过画图操作，所得两条结论合并成一条，并板书：

垂线的性质：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

2．初步应用

如图，根据下列语句画图：

（1）过点P画射线MN的垂线，Q为垂足．

（2）过点P画射线BN的垂线，交射线BN的反向延长线于Q点．

（3）过点P画线段AB的垂线，交线段AB的延长线于Q点．

画法：

略．

点评：

画一条射线或线段的垂线，就是画它们所在直线的垂线．

教学说明

在本环节的教学中有两个重要的任务，除了让学生掌握垂线的性质外，还应让学生在探究性质的过程中，掌握过一点作已知直线的垂线的方法，它是几何作图中的一种常用的基本作图，需要学生熟练掌握，虽然学生在小学已经接触过垂线的画法，但要在各种情境中熟练作图，对学生来说也是一个难点，尤其是过已知点作线段的垂线，因此在这一环节的教学中给了学生充分的机会来感受、体会、总结、训练垂线的画法，教师也可以在此基础上演示总结，用三角板过一点画已知直线的垂线的方法：

一靠，即三角板的一条直角边靠在已知直线也就是与已知直线重合；二过，即三角板的另一条直角边过已知点；三画，即画出垂线，使学生能够顺利突破难点．

三、巩固训练，熟练技能

（一）判断题

1．两条直线互相垂直，则所有的邻补角都相等．　（　　）

2．在同一平面内，一条直线不可能与两条相交直线都垂直．　（　　）

3．两条直线相交所成的四个角中，如果有三个角相等，那么这两条直线互相垂直．（　　）

（二）解答题

4．已知钝角∠AOB，点D在射线OB上，

（1）画直线DE⊥OB；

（2）画直线DF⊥OA，垂足为F.

5．如图，OA⊥OB，OD⊥OC，O为垂足，若∠AOC＝35°，求∠BOD的度数．

答案：

1.√　2.√　3.√　4.（略）　5.145°.

教学说明

是非判断题的特点是通过一些模糊的说法考查学生对知识的理解是否全面严谨，可以澄清学生对知识的模糊或错误理解，因此在处理时不仅要让学生判断出对错，还要对错的举出反例，对的说明理由；对于第2个判断题，学生可能很容易判断出对错，但不一定能说清理由，注意引导学生分析出其依据是过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，还可以根据学生情况将这一说法改编，将在“同一平面内”这一条件去掉，结论又会怎样，可以借这一机会让学生认识平面内直线的位置关系与空间内直线位置关系的不同．练习3可以先让学生独立解决，写出过程，然后进行交流，发现不同的作法，以积累学生的知识经验，培养学生的发散思维．

四、课堂小结

1．本节主要学习了两条直线互相垂直、垂线以及垂足的概念和垂线的一条性质．

2．会用三角板过一点画已知直线的垂线．

3．要关注三种语言，即文字语言、图形语言、符号语言之间的转化．

五、布置作业

课本习题5.1　第3,4,5题．

六、拓展练习

1．填空题

（1）如下图，AO⊥BO，O为垂足，直线CD过点O，且∠BOD＝2∠AOC，则∠BOD＝__________.

（2）如下图，直线AB，CD相交于点O，若∠EOD＝40°，∠BOC＝130°，那么射线OE与直线AB的位置关系是__________．

2．解答题

如图，已知直线AB与射线OC交于点O，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，试判断OD与OE的位置关系．

答案：

1.

（1）60°　

（2）垂直　2.垂直（判断过程略）．

数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上，因此，在新课的开始首先复习了研究垂直所需要的邻补角、对顶角的有关知识，为下面活动的开展做好了准备，在教的过程中通过多种形式的活动给学生提供充分参与数学活动的机会，激发学生的学习积极性，通过动手操作、合作交流、练习、反馈等各个环节，使学生掌握知识的同时，培养了学生的动手能力、表达能力以及合作的意识．

教学设计上，强调自主学习，注重交流合作，让学生与学生的交流合作在探究过程中进行，使他们在自主探索的过程中理解和掌握两直线垂直的有关概念、垂线的性质，并获得数学活动的经验，提高探究、发现和创新的能力．

第二课时

教学目标　　　　　

1．了解垂线段的概念；了解垂线段最短的性质．

2．体会点到直线的距离的意义，并会度量点到直线的距离．

教学重难点　　　　　

教学重点：

“垂线段最短”的性质，点到直线的距离的概念及其简单应用．

教学难点：

对点到直线的距离的概念的理解．

教学方法　　　　　

从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通过动手、探索、思考、交流获得知识，形成技能，有计划的设计数学活动，使学生在活动中不断地丰富活动经验，获得一些研究问题的经验和方法．教学中注意引导学生体会相近数学知识之间的联系，感受数学的整体性．

一、复习回顾

1．回忆两条直线互相垂直及垂线、垂足的定义及垂线的性质．

2．如何过一点作已知直线的垂线？

3．按要求作图：

分别过三角形的三个顶点作其对边的垂线．

教学说明

在这一环节的教学中，要关注学生用几何语言表达问题的能力，以及规范作图的能力，对于学生不规范的地方要及时指导纠正，通过这一环节的教学不仅让学生回忆起这些知识，更重要的是让他们进一步准确熟练的掌握这些知识，才可使本节内容的研究顺利进行．

二、创设情境，探究新知

（一）垂线段最短

1．提出问题：

要把河中的水引到农田P处，如何挖渠能使渠道最短？

学生看图思考．

可能会有部分学生凭着生活经验会想到过农田P作河岸的垂线，从农田P到垂足挖渠最短．是不是这样挖最短呢？

2．教师以问题串形式，启发学生思考．

问题1：

如果把渠道看成是线段，它的一个端点自然是P，把江河看成直线l，那么原问题又是怎样的？

讨论结果：

在连接直线l外一点P与直线l上各点的线段中，哪一条线段最短？

问题2：

上学期我们曾经学过什么最短的知识，还记得吗？

讨论结果：

两点之间线段最短．

问题3：

如果把渠道看成是线段，它的一个端点是P，那么另一个端点的位置在哪里呢？

3．教师演示教具，给学生直观的感受．

如图：

在硬纸板上固定木条l，l外一点P，转动的木条a一端固定在点P，使木条l与a相交，左右摆动木条a，l与a的交点A随之变化，线段PA的长度也随之变化．PA最短时，a与l的位置关系如何？

用三角尺检验．

4．学生画图操作、进行检验．

（1）画出直线l，l外一点P；

（2）过P点作出PO⊥l，垂足为O；

（3）点A1，A2，A3，…在l上，连接PA1，PA2，PA3，…；

（4）用叠合法或度量法比较PO，PA1，PA2，PA3，…长短．

5．师生交流，得出垂线的性质．

讨论结果：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：

垂线段最短．

问题4：

垂线段与垂线的区别与联系．

讨论结果：

垂线段是一条线段，而垂线是一条直线；垂线段是垂线上的一部分．

教学说明

首先以实际问题引入新知，问题的答案可以放手让学生大胆去猜想，带着答案是否正确的疑问开始新知的探索，然后利用问题串的形式引导学生思考分析，先让学生将实际问题转化为数学问题即可培养学生的符号感，也可让学生弄清问题的实质，利用相近知识进行引导，既便于学生发现知识间的内在联系，又容易对比出它们之间的不同；直观教具的演示，首先从运动的角度让学生对结论有初步的认识；而画图检验使学生对结论的正确性有了更深刻的认识，从而使学生对知识的认识从感性上升为理性；而最后的思考题便于学生弄清相近知识的区别与联系．在教学中要注意给学生充分参与的机会和时间，让学生充分去感悟知识．

（二）点到直线的距离

类比两点间的距离的意义，给出点到直线的距离．

结合下图，深入认识垂线段PO：

PO⊥l，∠POA1=90°，O为垂足，垂线段PO的长度与其他线段PA1，PA2，…相比较是最短的．

按照两点之间的距离，给出点到直线的距离概念，教师板书：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

在上图中，PO的长度是点P到直线l的距离，其余线段PA，PA2，…长度都不是点P到直线l的距离．

教学说明

点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量，在教学中注意强调距离是数量，而不能说成垂线段是距离．

三、巩固训练，熟练技能

1．线段AB＝10cm，点C为任意一点，当点C位于____________时，AC＋BC最短，依据______________；在△ABC中，∠ACB＝90°，则AC__________AB（填“＜”或“＝”或“＞”），依据____________________．

2．判断正误．

（1）直线外一点与直线上的一点之间的线段的长度是这一点到这条直线的距离．（　　）

（2）如下图，线段AE的长是点A到直线BC的距离．（　　）

3．已知直线a，b，如图所示，过直线a上一点A作AB⊥a，交b于点B，过点B作BC⊥b交a于点C.请说出哪一条线段的长是哪一点到哪一条直线的距离？

答案：

1.线段AB上　两点之间线段最短　<　垂线段最短

2．

（1）×　

（2）√

3．BA的长是点B到直线a的距离；CB的长是点C到直线b的距离

四、课堂小结

1．本节主要学习了垂线的一条性质和点到直线的距离．

2．注意垂直、垂线概念之间的区别与联系．

五、布置作业

课本习题5.1　第6、10题．

六、拓展练习

（一）填空题

1．如下图，AC⊥BC，点C为垂足，CD⊥AB，点D为垂足，BC＝8，CD＝4.8，BD＝6.4，AD＝3.6，AC＝6，那么点C到AB的距离是__________；点A到BC的距离是__________；点B到CD的距离是__________；A，B两点的距离是__________．

2．如上图，在线段AB，AC，AD，AE，AF中AD最短．小明说垂线段最短，因此线段AD的长是点A到BF的距离，对小明的说法，你认为__________．

（二）解答题

3．

（1）用三角尺画一个是30°的∠AOB，在边OA上任取一点P，过P作PQ⊥OB，垂足为Q，量一量OP的长，你发现点P到OB的距离与OP长的关系了吗？

（2）若所画的∠AOB为60°角，重复上述的作图和测量，你能发现什么？

4．如图，分别画出点A，B，C到BC，AC，AB的垂线段，再量出点A到BC，点B到AC，点C到AB的距离．

答案：

（一）1.4.8　6　6.4　10

2．是错误的，因为AD与BE是否垂直无法判定．

（二）3.

（1）PQ＝

OP.

（2）OQ＝

OP.4.略．

数学教学活动必须建立在学生认知发展水平和已有的知识经验基础之上，因此，在新课的开始首先复习了所要研究垂线的性质所必需的与垂直有关的知识，为下面活动的顺利开展做好了准备．

有效的数学学习过程不能是单纯的依赖模仿与记忆，因此在教学过程中，教师引导学生主动地从事猜想、观察、试验、验证、交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略，使学生学会探索，学会学习．

在教学中有意识、有计划的设计教学活动，引导学生体会数学间的内在联系，感受数学的整体性，丰富学生的知识体系，提高学生解决问题的能力．