几何变换.docx

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几何变换

专题29几何变换

阅读与思考

几何变换是指把一个几何图形

变换成另一个几何图形

的方法，若仅改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.

1.平移变换

如图1，如果把图形

上的各点都按一定方向移动一定距离得到图形

后，则由

到

的变换叫平移变换.

平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致.

2.对称变换

如图2，将平面图形

变换到与它成轴对称的图形

，这样的几何变换就叫做关于直线

（对称轴）的对称变换.

对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.

3.旋转变换

如图3，将平面图形

绕这一平面内一定点M旋转一个定角

，得到图形

，这样的变换叫旋转变换，M叫旋转中心，

叫旋转角.

旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.

例题与求解

【例l】如图，∠AOB=

，角内有点P，PO=

，在角的两边上有两点Q，R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值为_______________.（黄冈市竞赛试题）

解题思路：

作P点关于OA，OB的对称点，确定Q，R的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.

【例2】如图，P是等边△ABC的内部一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比是

，则以PA，PB，PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）

A.

B.

C.

D.不能确定

（全国通讯赛试题）

解题思路：

解本例的关键是如何构造以PA，PB，PC为边的三角形，若把△PAB，△PBC，△PCA中的任一个，绕一个顶点旋转

，就可以把PA，PB，PC有效地集中在一起.

【例3】如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，∠B=2∠C，求证：

AB+BD=CD.

（天津市竞赛试题）

解题思路：

用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.

【例4】如图，六边形ABCDEF中，AB∥DE，BC∥FE，CD∥AF，对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD＞

，求证：

该六边形的各角都相等.

（全俄数学奥林匹克竞赛试题）

解题思路：

设法能将复杂的条件BC-FE=ED-AB=AF-CD＞

，用一个基本图形表示，题设条件有平行条件，考虑实施平移变换.

【例5】已知Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=

，∠MCN=

（1）如图1，当M、N在AB上时，求证：

（2）如图2，将∠MCN绕C点旋转，当M在BA的延长线时，上述结论是否成立？

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

（天津市中考试题）

解题思路：

符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM沿直线CM对折，得△DCM.连DN，只需证DN=BN，∠MDN=

；或将△ACM（或△BCM）旋转.

【例6】如图，∠DAC=

，∠DBC=

，∠CAB=

，∠ABD=

，求∠DCA的度数.

（日本算术奥林匹克试题）

解题思路：

已知角的度数都是

的倍数，

，这使我们想到构作正三角形.

能力训练

1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到△

，则

的度数是_______.

（泰安市中考试题）

（第1题）（第2题）（第3题）

2.如图，P是等边△ABC内一点，PA=6，PB=8，PC=10，则∠APB=_________.