北师大版九年级上册数学课后答案.docx
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北师大版九年级上册数学课后答案
北师大版九年级上册数学
第4页练习答案
解：
因为在菱形ABCD中，AC±BD于点O，所以∠AOB=90°.
在Rt△ABO中，OB=√（AB^2-AO^2）=√（5^2-4^2）=3（cm）.
因为在菱形ABCD中，对角线AC，BD互相平分，所以BD=2OB=6cm.
1.11.证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴BC=AB,BC//AD,∴∠B+∠BAD=180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠BAD=2∠B,∴∠B+2∠B=180°，∴∠B=60°.∵BC=AB，
∴△ABC是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形的等边三角形）.
2.解：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=DC=CB=BA,∴AC±BD,AO=1/2AC=1/2×8=4，DO=1/2BD=1/2×6=3.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD=√（AO²+DO²）=√（4²+3²）=5.∴菱形ABCD的周长为4AD=4×5=20.
3.证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB,AC±BD，DO=BO,∴△ABD是等腰三角形，∴AO是等腰△ABD低边BD上的高，中线，也是∠DAB的平分线，∴AC平分∠BAD.
同理可证AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.
4.解：
有4个等腰三角形和4个直角三角形.
第7页练习答案
解，所画菱形AB-CD如图1-1-32所示，使对角线AC=6cm，BD=4cm.
1.21.证明：
在□ABCD中，AD//BC,∴∠EAO=∠FCO（两直线平行，内错角相等）.
∵EF是AC的垂直平分线，∴AO=CO.在△AOE和△COF中，
∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF.∵AE//CF,
∴四边形AFCE是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
∵EF±AC,∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
2.证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AC±BD,OA=OC,OB=OD.又∵点E,F,G,H,分别是OA,OB,OC,OD的中点，
∴OE=1/2OA,OG=1/2OG,OF=1/2OB,OH=1/2OD,∴OE=OG,OF=OH,
∴四边形EFGH是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
∵AC⊥BD,即EG⊥HF,∴平行四边形EFGH是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
3.解：
四边形CDC′E是菱形.
证明如下：
由题意得，△C′DE≌△CDE.所以∠C′DE=∠CDE,C^'D=CD,CE=C^'E.又因为AD//BC,所以∠C′DE=∠CED,所以∠CDE=∠CED,所以CD=CE（等角对等边），所以CD=CE=C′E=C′D,所以四边形CDC′E是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
第9页练习答案
1.解：
（1）如图1-1-33所示.∵四边形AB-CD是菱形，∴AB=BC=CD=DA=1/4×40=10（cm）.
∵对角线AC=10cm，∴AB=BC=AC,∴△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=∠ACB=60°.
∵AD//BC,∴∠BAD+∠B=180°，∴∠BAD=180°-∠B=180°-60°=120°，∴∠BCD=∠BAD=120°，∠D=∠B=60°.
（2）如图1-1-34所示，连接BD，交AC于点O，∴AO=1/2AC=1/2×10=5（cm）.
在Rt△AOB中，∠AOB=90°，由勾股定理，得BO=√（AB^2-AO^2）=√（〖10〗^2-5^2）=5√3（cm），
∴BD=2BO=2×5√3=10√3（cm），∴这个菱形另一条对角线的长为10√3cm.
2.证明：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°，
∴∠B=90°-∠BAC=90°-60°=30°.
∵FD是BC的垂直平分线，∴EB=EC,∴∠ECB=∠B=30°（等边对等角）.
∴∠ECA=∠ACB-∠ECB=90°-30°=60°.
在△AEC中，∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=180°-∠EAC-∠ECA=180°-60°-60°=60°.
∴△AEC是等边三角形，∴AC=CE.在Rt△BDE中，∠BDE=90°，
∴∠BED=90°-∠B=90°-30°=60°.∴∠AEF=∠BED=60°（对顶角相等）.
∵AE=CF,AF=CE,∴AF=AE,
∴△AEF是等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.
∴AF=EF，∴AF=EF=CE=AC,∴四边形ACEF是菱形（四边相等的四边形是菱形）.
1.31.证明：
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD,AB=CB,∠A=∠C.
∵BE=BF,∴AB-BE=CB-BF,即AE=CF.
在△ADE和CDF中，
.
（2）∵△ADE≌△CDF,∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE（等边对等角）.
2.已知：
如图1-1-35所示，四边形ABCD是菱形，AC和BD是对角线.
求证：
S菱形ABCD=1/2AC∙BD.证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,AO=CO,BO=DO.∴S△AOB=S△AOD=S△BOC=S△COD=1/2AO.BO.
∴S菱形ABCD=4×1/2AO∙BO=1/2×2AO∙2BO=1/2AC∙BD.
3.解：
在菱形ABCD中，AC⊥BD，∴∠AOB=90°，AO=1/2AC=1/2×16=8，BO=1/2BD=1/2×12=6.
在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=√（AO^2+BO^2）=√（8^2+6^2）=10.
∵S菱形ABCD=1/2AC∙BD=1/2×16×12=96，
又∵DH⊥AB,∴S菱形ABCD=AB∙DH,
∴96=AB∙DH,即96=10DH,DH=9.6.
∴菱形ABCD的高DH为9.6.
4.证明：
∵点E,F,G,H分别是AB,CD,AC,BD,的中点，∴GF是△ADC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴GF//AD,GF=1/2AD,EH//AD,EH=1/2AD,
∴GF//EH,GF=EH,∴四边形EGFH是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
又∵FH是△BDC的中位线，∴FH=1/2BC.
又∵AD=BC,∴GF=FH,∴平行四边形EGFH是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
5.略
第13页练习答案
解：
在矩形ABCD中，AO=4，BD=AC=2AO=8.因为∠BA=90°，所以在Rt△BAD中，由勾股定理，得AD=√（BD^2-AB^2）=√（8^2-6^2）=2√7.
所以BD与AD的长分别为8与2√7.
1.4
1.解：
如图1-2-33所示，设这个矩形为ABCD，两条对角线相交于点O，OA=OB=3.在△AOB中，∠OAB=∠OBA=45°，于是∠AOB=90°，AB=√（OB^2+OA^2）=3√2,同理AD=3√2,所以BC=AD=3√2AB=DC=3√2
所以这个矩形的各边长都是3√2.
2.解：
如图1-2-34所示，
设这个矩形AB-CD两条对角线相交于点O，∠AOB=60°，AC=BD=15，∴AO=1/2AC=7.5，BO=1/2BD=7.5，∴OA=OB,
∴△AOB是等边三角形，∴AB=7.5.
3.解：
四边形ADCE是菱形.
证明如下：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=1/2AB,AD=1/2AB,
∴AD=CD.∵AE//CD,CE//AD,∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵AD=CD,∴平行四边形ADCE是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）
4.已知：
如图1-2-35所示，
在△ABC中，BO为AC边上的中线，BO=1/2AC.
求证：
△ABC是直角三角形.
证明：
如图1-2-35所示，延长BO到D，使BO=DO,连接AD,CD.
∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是矩形.∴∠ABC=90°.
∴△ABC是直角三角形.
第16页练习答案
证明：
∵四边形ABCDS是平行四边形，∴AB=DC.
∵M是AD的中点，∴AM=DM.又∵MB=MC，∴△ABM≌△DCM（SSS）,
∴∠A=∠D.又∵AB//DC,∴∠A+∠D=180°，∴∠A=∠D=90°.
∴平行四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
1.51.解：
（1）四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
（2）当△ABC是直角三角形，即∠BAC=90°时，四边形ABEC是矩形.
2.解：
四边形ACBD是矩形.证明如下：
如图1-2-36所示.
∵CD//MN,∴∠2=∠4.∵BD平分∠ABN,∴∠1=∠4，∴∠1=∠2，∴OB=OD（等角对等边）.同理可证OB=OC,∴OC=OD.∵O是AB的中点，∴OA=OB,
∴四边形ACBD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
又∵BC平分∠ABM,∴∠3=1/2∠ABM.∵BD平分∠ABN,∴∠1=1/2∠ABN.
∵∠ABM+∠ABN=180°，∴2∠3+2∠1=180°，∴∠3+∠1=90°，即∠CBD=90°.
∴平行四边形ACBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
3.解：
做法如下：
如图1-2-37所示，
（1）连接AC,BD;
（2）过A,C两点分别作EF//BD,GH//BD;
（3）同法作FG//AC,EH//AH,与EF,GH交于四个点E，F,G,H,则矩形EFGH即为所求，且S矩形EFGH=2S菱形ABCD.
第18页练习答案
证明：
∵四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和CBD组成，
∴AB=AD=CD=BC,∴四边形ABD和CBD组成，∴AB=AD=CD=BC,
∴四边形ABCD是菱形.∵M,N分别是BC和AD的中点，∴DN=1/2AD,BM=1/2BC,∴DN=BM.∵BN=DM,
∴四边形BMDN是平行四边形.
∴∠DBN=1/2∠ABD=1/2×60°=30°，∠DBM=60°，∴∠NBM=∠DBN+∠DBM=30°+60°=90.
∴平行四边形BMDN是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）.
1.61.解：
在矩形ABCD中，AC=BD=4，∠ABC=90°，∠ACB=30°，∴AB=1/2AC=1/2×4=2.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=√（AC^2-AB^2）=√（4^2-2^2）=2√3.
∴S矩形ABCD=BC∙AB=2√3×2=4√3.
2.解：
在矩形ABCD中，∠BAD=90°，即∠BAE+∠EAD=90°.
∵∠EAD=3∠BAE,∴∠BAE+3∠BAE=90°，∠BAE=22.5°.
∴∠EAD=3∠BAE=3×22.5°=67.5°.∵AE⊥BO,∴∠AEB=90°,∴∠BAE+∠ABE=90°，即22.5°+∠ABE=90°，∴∠ABE=67.5°.
∵AC=BC,OA=1/2AC,OB=1/2BD,∴OA=OB,∴∠OAB=∠ABE=67.5°.
∵∠EAO+∠BAE=∠OAB,∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=67.5°-22.5°=45°.
3.证明：
∵D是BC的中点，∴BD=CD.
∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE//BC,AE=BD,ED=AB（平行四边形的性质）.∴AE=CD.
∵AE//CD,∴四边形ADCE是平行四边形（一组对边平行且相等的平行四边形是矩形）.
∵AB=AC，∴ED=AC,∴平行四边形ADCE是矩形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
※4.解：
将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合得到的图形如图1-2-38所示.
折痕为EF，则AE=CE,EF垂直平分AC，连接AC交EF于点O，在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=8cm，设CE=xcm，则AE=xcm，BE=BC-CE=（8-x）cm.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE²=AB²+BE²,X²=6²+（8-x）²，解得x=25/2，即EC=25/4cm.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC=√（AB^2+BC^2）=√（6^2+8^2）=10cm.
∴OC=1/2=AC=1/2×10=5cm.
∵EF⊥AC,∴∠EOC=90°.在Rt△EOC中，由勾股定理，得EO²=EC²-OC²,EO=√（EO^2-OC^2）=√（（25/4）^2-5^2）=15/4cm，∴折痕EF=2EO=2×15/4=15/2cm.
※5.解：
如图1-2-39所示，
连接PO.S矩形ABCD=AB.BC=3×4=12.在Rt△ABC中，AC=B√（AB²+BC²）=√（3²+4²）=5.又因为AC=BD,AO=1/2AC,DC=1/2BD,
所以AO=DO=5/2.所以S△AOD=S△APO+S△POD=1/2AO.PE+1/2DO∙PE=1/2AO（PE+PE）=1/2×5/2（PE+PE）=5/4（PE+PE）.又因为S△AOD=1/4S矩形ABCD=1/4×12=3，所以5/4（PE+PE）=3，解得PE+PE=12/5.
第21页练习答案
1.解：
以正方形的四个顶点为直角顶点的等腰直角三角形共有四个，以正方形的两条对角线的交点为顶点的等腰直角三角形也有四个，所以共有八个等腰直角三角形.
2.：
△ADF≌△ABF,△DCF≌△BCF,△ADC≌△ABC.
以△ADF≌ABF为例加以证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB,∠DAF=∠BAF.∵AF=AF,∴△ADF≌ABF（SAS）.
1.71.解：
设正方形的边长为为想xcm，则x²+x²=2²，解得x=√2，即正方形的边长为√2cm.
2.解：
∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠DCB=90°，AB=BC=DC.
∵△CBE是等边三角形，∴BE=EC=CB,∠EBC=∠ECB=60°.
∴∠ABE=30°.
∴AB=BE,
∴∠AEB=BAE=（180°-∠ABE）/2=（180°-30°）/2=75°.
3.证明：
如图1-3-24所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=D,∠BAD=∠D=90°，AB=DA.
∵PD=QC,
∴AP=DQ
∴△ABP≌△DAQ.
∴BP=AQ,∠1=∠2.
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1+∠3=90°，
即BP⊥AQ.
※4.解：
过正方形两条对角线的交点任意做两条互相垂直的直线，即可将正方形分成大小，形状完全相同的四部分.答案不唯一，如图1-3-25所以方法仅供参考.
第24页练习答案答案：
满足对角线垂直的矩形是正方形或有一组邻边相等的矩形是正方形.满足对角线相等的菱形是正方形或有一个角是直角的菱形是正方形证明结论如下：
（1）对角线垂直的矩形是正方形.
（2）已知：
如图1-3-7
（1）多事，四边形ABCD是矩形，AC,BD是对角线，且AC⊥BD.求证：
四边形ABCD是正方形.
证明：
∵四边形ABCD是矩形，∴AC平分BD.
又∵AC⊥BD，∴AC是BD的垂直平分线.
∴AB=AD.∴四边形ABCD是正方形.
（4）有一个角是直角的菱形是正方形.
已知，如图1-3-7（4）所示，四边形ABCD是菱形，∠A=90°.
求证：
四边形ABCD是正方形.
证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形.
又∵∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.
又AB=BC，∴矩形ABCD是正方形.
1.81.答案：
对角线相等的菱形是正方形.
已知：
如图1-3-7（3）所示，四边形ABCD是菱形，AC,BD是对角线，且AC=DC.
求证：
四边形ABCD是正方形.
证明：
∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC.
又∵AB=BA,BD=AC,∴△ABD≌△BAC（SSS）.∴∠DAB=∠CBA.
又∵AD//bc,∴∠dab+∠cba=180°.∴∠DAB=∠CBA=90°.
∴四边形ABCD是正方形.
2.证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CB,AD//CB,
∴∠ADF=∠CBE.
在△ADF和=∠CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CF,∠AFD=∠CEB.
∵∠AFD+∠AFE=180°，∠CEB+∠CEF=180°，
∴∠AFE=∠CEF（等角的补角相等）.
∴AF//CE（内错角相等，两直线平行）.
∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）.
∵AD=AB,
∴∠ADF=∠ABE.
在△AFD和AEB中，
∴△AFD≌△AEB（SAS）.
∴AF=AE,
∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
3.解：
四边形EFGH是正方形.
在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
因为AE=BF=CG=DH,所以AB-AE=BC-BF=CD-CG=AD-DH,
即BE=CF=DG=AH.
所以△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），所以∠AEH,HE=EF=FG=GH.所以四边形EFGH是菱形.
因为∠AEH+∠AHE=90°，
所以∠DHG+∠AHE=90°，
所以∠EHG=90°，所以菱形EFGH是正方形.
4.解：
重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的1/4.
证明如下：
重叠部分为等腰直角三角形时，重叠部分为面积为正方形ABCD面积的1/4，即S△AOB=S△BOC=S△COD=S△AOD=1/4S正方形ABCD.
重叠部分为四边形是，如图1-3-26所示.设OA′与AB相交于点E,OC′与BC相交于点F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°，AO⊥BD.
又∵∠AOE=90°-∠EOB,∠BOF=90°-∠EOB,
∴∠AOE=∠BOF,
∴△AOE≌△BOF.
∴S△AOE+S△BOE=S△BOE+S△BOE,
∴S△AOB=S四边形EBFO.
又∵S△AOB=1/4S正方形EBFO.
∴S四边形EBFO=1/4S正方形ABCD.
第一章复习题
1.解：
设该菱形为菱形ABCD，两对角线交于点O，则△AOB为直角三角形，直角边长分别为2cm和4cm，则有勾股定理，得AB=√（OA^2+OB^2）=√（2^2+4^2）=2√5（cm），
即林习惯的边长为2√5cm.
2.解：
由OA=OB=√2/2AB,可知OA^2+OB^2=AB^2,则∠AOB=90°.
因为OA=OB=OC=OD,所以AC,BD互相垂直平分且相等，
故四边形ABCD必是正方形.
3.解：
不一定是菱形，因为也可能是矩形.
4.已知：
如图1-4-20所示，菱形BACD中，对角线AC,BD相交于点O,AC=60cm，周长为200cm.求
（1）BD的长；
（2）菱形的面积.
解：
（1）因为菱形四边相等，对角线互相垂直平分，所以AB=1/4×200=50（cm），
AC⊥BD且OA=OC=1/2AC=1/2×60=30（cm），OB=OD.在Rt△AOB中，OB=√（AB²-AO²）=√（50²-30²）=40（cm）.
所以BD=2OB=80cm.
（2）S菱形ABCD=1/2AC∙BD=1/2×60×80=2400（cm^2）.
5.已知：
如图1-4-21所示，在四边形AB-CD，对角线AC⊥BD,E,F,P,Q分别为边AB,BC,CD,DA的中点.
求证：
四边形EFPQ为正方形.
证明：
∵E,Q分别为B,AD的中点，
∴四边形EFPQ为平行四边形.
∵AC=BD,∴EF=EQ.
∴□EFPQ为菱形.
∵AC⊥BD,∴EF⊥EQ.
∴∠QEF=90°.
∴菱形EFPQ是正方形.
6.解∵AC=EC,∴∠CEA=∠CAE.由四边形ABCD是正方形.得AD//BE,
∴∠DAE=∠CEA=∠CAE.
又∠DAC=∠DAE+∠CAE=45°，
∴∠DAE=1/2∠DAC=1/2×45°=22.5°.
7.解：
（1）是正方形，因为对角线相等的菱形必为正方形.
（2）是正方形，因为这个四边形的对角线相等，四条边也相等.
8.证明：
如图1-4-22所示，
∵AD平分∠BAC,∴∠1=∠2.
∵DE//AC,∴∠2=∠3.
∴∠1=∠3.∴AE=DE.
∵DE//AC,DF//AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.
又AE=DE,∴□AEDF是菱形.
9.证明：
如图1-4-23所示，
∵BE⊥AC,ME为Rt△BEC的中线，
∴ME=1/2BC.
同理MF=1/2BC,∴ME=MF.
10.已知：
四边形ABCD是正方形，对角线AC=BD=l.求正方形的周长和面积.解：
正方形ABCD中，AB=BC,∠B=90°.在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²,2AB²=l²,所以AB=√2/2l.所以正方形的周长=4AB=4×√2/2l=2√2l,S四边形ABCD=AB^2=（√2/2l）^2=1/2l^2.
11.证明：
∵CP//BD,DP//AC,
∴四边形CODP是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.
∵OC=1/2AC,OD=1/2BD,∴OC=OD
∴四边形CODP是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
12.证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD.
∵OA=OC,OB=OD,
又∵AM=BP=CN=DQ,
∴OA-AM=OC-CN,即OM=ON,OB-BP=OD-DQ,即OP=OQ,
∴四边形MPNQ是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）.
∵AM+MN+NC=AC,BP+PQ+DQ=BD,
∴MN=PQ,∴四边形MPNQ是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
13.证明：
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD平分∠ACB,
∴∠FCD=1/2∠ACB=45°.
∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.
在Rt△FCD中，∠FDC=90°-∠FCD=90°-45°=45°，
∴∠FCD=∠FDC,∴FC=FD.
∵DE⊥BC,∴∠DEC=90°.
∴∠DFC=∠FCE=∠DEC=90°.
∴四边形DFCE是矩形（有个三角是直角的四边形是矩形）.
∵FC=FD,∴四边形CEDF是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）.
14.解：
由AP=4tcm，CQ=lcm，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC-CQ=（20-t）cm.
∴DQ=DC-CQ=（20-t）cm.
当四边形APQD是矩形时，则有DQ=AP,
∴20-t=4t，解得t=4
∴当t为4时，三角形APQD是矩形.
15解：
△BFD是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC,∴∠ADB=∠DBC.
∵∠FBD=∠DBC,
∵∠FBD=∠ADB,∴BF=DF.
∴△BFD是等腰三角形.
16.解由题意知，矩形ABCD≌矩形GCDF,
∴AB=FG,BC=GC,AC=FC,
∴△ABC≌△FGC,
∴∠ACB=∠FCG.
∵∠ACB+∠ACD=90°，
∴∠FCG+∠ACD=90°，
即∠ACF=90°.
∵AC=CF,∴△ACF是等腰直角三角形
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