乘法公式数学教案.docx

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乘法公式数学教案

乘法公式数学教案

第九课时

   教学目标

（一）教学知识点

   1．经历探索平方差公式的过程．

   2．会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

（二）能力训练要求

   1．在探索平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力．

   2．培养学生观察、归纳、概括的能力．

   （三）情感与价值观要求    在计算过程中发现规律，并能用符号表示，从而体会数学的简捷美．

   教学重点

   平方差公式的推导和应用．

   教学难点

   理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

   教学方法

   探究与讲练相结合．

   通过计算发现规律，进一步探索公式的结构特征，在老师的讲解和学生的练习中让学生体会公式实质，学会灵活运用．

   教具准备

   投影片．

   教学过程

   Ⅰ．提出问题，创设情境

   [师]你能用简便方法计算下列各题吗？

（1）2001×1999  

（2）998×1002

   [生甲]直接乘比较复杂，我考虑把它化成整百，整千的运算，从而使运算简单，2001可以写成2000+1，1999可以写成2000-1，那么2001×1999可以看成是多项式的积，根据多项式乘法法则可以很快算出．

   [生乙]那么998×1002=（1000-2）（1000+2）了．

   [师]很好，请同学们自己动手运算一下．

   [生]

（1）2001×1999=（2000+1）（2000-1）

   =20002-1×2000+1×2000+1×（-1）

   =20002-1

   =4000000-1

   =3999999．

（2）998×1002=（1000-2）（1000+2）

   =10002+1000×2+（-2）×1000+（-2）×2

   =10002-22

   =1000000-4

   =1999996．

   [师]2001×1999=20002-12

      998×1002=10002-22

   它们积的结果都是两个数的平方差，那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢？

我们继续进行探索．

   Ⅱ．导入新课

   [师]出示投影片

  计算下列多项式的积．

（1）（x+1）（x-1）

（2）（m+2）（m-2）

   （3）（2x+1）（2x-1）

   （4）（x+5y）（x-5y）

   观察上述算式，你发现什么规律？

运算出结果后，你又发现什么规律？

再举两例验证你的发现．

   （学生讨论，教师引导）

   [生甲]上面四个算式中每个因式都是两项．

   [生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积．例如算式

（1）是x与1这两个数的和与差的积；算式

（2）是m与2这两个数的和与差的积；算式（3）是2x与1这两个数的和与差的积；算式（4）是x与5y这两个数的和与差的积．

   [师]这个发现很重要，请同学们动笔算一下，相信你还会有更大的发现．

   [生]解：

（1）（x+1）（x-1）

             =x2+x-x-1=x2-12

（2）（m+2）（m-2）

       =m2+2m-2m-2×2=m2-22

   （3）（2x+1）（2x-1）

       =（2x）2+2x-2x-1=（2x）2-12

   （4）（x+5y）（x-5y）

       =x2+5y•x-x•5y-（5y）2

       =x2-（5y）2

[生]从刚才的运算我发现：

也就是说，两个数的和与差的积等于这两个数的平方差，这和我们前面的简便运算得出的是同一结果．

   [师]能不能再举例验证你的发现？

   [生]能．例如：

51×49=（50+1）（50-1）=502+50-50-1=502-12．

   即（50+1）（50-1）=502-12．

   （-a+b）（-a-b）=（-a）•（-a）+（-a）•（-b）+b•（-a）+b•（-b）

=（-a）2-b2=a2-b2

   这同样可以验证：

两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

   [师]为什么会是这样的呢？

   [生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后，中间两项是同类项，且系数互为相反数，所以和为零，只剩下这两个数的平方差了．

   [师]很好．请用一般形式表示上述规律，并对此规律进行证明．

   [生]这个规律用符号表示为：

   （a+b）（a-b）=a2-b2．其中a、b表示任意数，也可以表示任意的单项式、多项式．

   利用多项式与多项式的乘法法则可以做如下证明：

   （a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2．

   [师]同学们真不简单．老师为你们感到骄傲．能不能给我们发现的规律（a+b）（a-b）=a2-b2起一个名字呢？

   [生]最终结果是两个数的平方差，叫它“平方差公式”怎样样？

   [师]有道理．这就是我们探究得到的“平方差公式”，请同学们分别用文字语言和符号语言叙述这个公式．

   （出示投影）

   两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．

   即：

（a+b）（a-b）=a2-b2

   平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，用它直接运算会很简便，但必须注意符合公式的结构特征才能应用．

   在应用中体会公式特征，感受平方差公式给运算带来的方便，从而灵活运用平方差公式进行计算

   （出示投影片）

   例1：

运用平方差公式计算：

（1）（3x+2）（3x-2）

（2）（b+2a）（2a-b）

   （3）（-x+2y）（-x-2y）

   例2：

计算：

（1）102×98

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

   [师生共析]运用平方差公式时要注意公式的结构特征，学会对号入座．

   在例1的

（1）中可以把3x看作a，2看作b．

   即：

（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22

   （a+b）（a-b）=a2-b2

   同样的方法可以完成

（2）、（3）．如果形式上不符合公式特征，可以做一些简单的转化工作，使它符合平方差公式的特征．比如

（2）应先作如下转化：

   （b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）．

   如果转化后还不能符合公式特征，则应考虑多项式的乘法法则．

   （作如上分析后，学生可以自己完成两个例题．也可以通过学生的板演进行评析达到巩固和深化的目的）

   [例1]解：

（1）（3x+2）（3x-2）=（3x）2-22=9x2-4．

（2）（b+2a）（2a-b）=（2a+b）（2a-b）=（2a）2-b2=4a2-b2．

   （3）（-x+2y）（-x-2y）=（-x）2-（2y）2=x2-4y2．

   [例2]解：

（1）102×98=（100+2）（100-2）

   =1002-22=10000-4=9996．

（2）（y+2）（y-2）-（y-1）（y+5）

   =y2-22-（y2+5y-y-5）

   =y2-4-y2-4y+5

   =-4y+1．

   [师]我们能不能总结一下利用平方差公式应注意什么？

   [生]我觉得应注意以下几点：

（1）公式中的字母a、b可以表示数，也可以是表示数的单项式、多项式即整式．

（2）要符合公式的结构特征才能运用平方差公式．

   （3）有些多项式与多项式的乘法表面上不能应用公式，但通过加法或乘法的交换律、结合律适当变形实质上能应用公式．

   [生]运算的最后结果应该是最简才行．

   [师]同学们总结得很好．下面请同学们完成一组闯关练习．优胜组选派一名代表做总结发言．

   Ⅲ．随堂练习

   出示投影片：

   计算：

（1）（a+b）（-b+a）

（2）（-a-b）（a-b）

   （3）（3a+2b）（3a-2b）

   （4）（a5-b2）（a5+b2）

   （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）

   （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

   解：

（1）（a+b）（-b+a）=（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）（-a-b）（a-b）=（-b-a）（-b+a）=（-b）2-a2=b2-a2．

   （3）（3a+2b）（3a-2b）=（3a）2-（2b）2=9a2-4b2．

   （4）（a5-b2）（a5+b2）=（a5）2-（b2）2=a10-b4．

   （5）（a+2b+2c）（a+2b-2c）=（a+2b）2-（2c）2

   =（a+2b）（a+2b）-4c2

   =a2+a•2b+2b•a+（2b）2-4c2

   =a2+4ab+4b2-4c2

   （6）（a-b）（a+b）（a2+b2）

   =（a2-b2）（a2+b2）

   =（a2）2-（b2）2=a4-b4．

   优胜组总结发言：

   这些运算都可以通过变形后利用平方差公式．其中变形的形式有：

位置变形；符号变形；系数变形；指数变形；项数变形；连用公式．关键还是在于理解公式特征，学会对号入座，有整体思想．

   Ⅳ．课时小结

   通过本节学习我们掌握了如下知识．

（1）平方差公式

   两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．这个公式叫做乘法的平方差公式．即（a+b）（a-b）=a2-b2．

（2）公式的结构特征

   ①公式的字母a、b可以表示数，也可以表示单项式、多项式；

   ②要符合公式的结构特征才能运用平方差公式；

   ③有些式子表面上不能应用公式，但通过适当变形实质上能应用公式．如：

（x+y-z）（x-y-z）=[（x-z）+y][（x-z）-y]=（x-z）2-y2．

   Ⅴ．课后作业

   1．课本P179练习1、2．

   2．课本P182～P183习题15．3─1题．

   Ⅵ．活动与探究

   1．计算：

1234567892-123456788×123456790

   2．解方程：

5x+6（3x+2）（-2+3x）-54（x-）（x+）=2．

   过程：

   1．看似数字很大，但观察到：

123456788=123456789-1，123456790=123456789+1，所以可以用平方差公式去化简计算．

   2．方程中含有多项式的乘法，而且符合平方差公式特征，可以用平方差公式去化简．

   结果：

   1．1234567892-123456788×123456790

   =1234567892-（123456789-1）（123456789+1）

   =1234567892-（1234567892-1）

   =1234567892-1234567892+1

   =1．

   2．原方程可化为：

   5x+6（3x+2）（3x-2）-54[x2-（）2]=2

   ∴5x+6（9x2-4）-54x2+6=2

   即5x+54x2-24-54x2+6=2

   移项合并同类项得5x=20